Topologische Isolatoren: Warum K-Theorie-Klassifizierung und nicht Homotopie-Klassifizierung?

Ganz grob gesagt ist die Argumentation dies. Stellen Sie sich ein Zwei-Band-System vor, in dem das Fermi-Meer ein gefülltes Band mit der Chern-Nummer hat$n$und ein anderes System mit$N$gefüllte Bänder aber auch mit Chernzahl$n$. Physikalisch haben sie die gleichen topologischen Eigenschaften (z. B. gleiche Hall-Leitfähigkeit, Kantenzustände usw.), können aber nicht homotop ineinander verformt werden, da die Hamilton-Operatoren unterschiedlich groß sind. Physikalisch würden Sie das nicht als zwei verschiedene Phasen betrachten, und Ihre Klassifizierung sollte das wissen.

Betrachten Sie im Allgemeinen zwei Hamiltonoperatoren$H_1(\bf k)$und$H_2(\bf k)$von gleicher Größe. Möglicherweise gehören sie nicht derselben Homotopieklasse an und können daher nicht ineinander deformiert werden. Durch Hinzufügen einiger trivialer Bänder (und damit triviales Vergrößern der Hamilton-Operatoren) könnte man sie jedoch homotop ineinander verformen. Physikalisch existieren diese trivialen Bänder immer, aber wir ignorieren sie normalerweise und betrachten endlichdimensionale Hamiltonoperatoren, die die Niedrigenergiebänder beschreiben. Aber da sie nach dem Hinzufügen einiger trivialer Banden (die beispielsweise die Chern-Zahl nicht ändern) in derselben Homotopieklasse liegen, müssen sie physikalisch dieselbe Phase beschreiben.

Eine eher physikalische Äquivalenzbeziehung besteht also darin, nicht nur Homotopieklassen von Hamiltonianern zu berücksichtigen, sondern auch die Hinzufügung trivialer Bänder zuzulassen. Topologisch$K$-Theorie ist im Wesentlichen die Klassifizierung von Vektorbündeln, nicht bis zur Homotopieäquivalenz, sondern bis zur stabilen Äquivalenz, was im Wesentlichen bedeutet, dass Sie triviale Bündel (direkte Summe) hinzufügen dürfen. In dieser entspannteren Äquivalenzbeziehung können beispielsweise Bündel unterschiedlichen Ranges in derselben Äquivalenzklasse sein. Dies ist physikalisch sinnvoller, als Vektorbündel bis zur Homotopieäquivalenz zu betrachten.

Sie können es sich auch als Homotopie-Klassifizierung sehr sehr großer Matrizen vorstellen, um die Ausnahmen kleiner Dimensionen zu beseitigen, die normalerweise existieren. Siehe zum Beispiel, wie chaotisch Homotopiegruppen von Kugeln für niedrige Dimensionen sind: Wikipedia .

Nehmen Sie als einfaches Beispiel ein Zweibandsystem$3$Dimensionen und nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Brillouin-Zone eine Kugel ist$S^3$eher als ein Torus der Einfachheit halber (es ändert sich nicht viel). Wir können dies allgemein schreiben als

$$H(\bf k) = \epsilon(\bf k) I + \bf d(\bf k)\cdot\bf{\sigma},$$ mit dem Spektrum $E(\bf k) = \epsilon(\bf k)\pm |\bf d(\bf k)|$. Wir können diese also kontinuierlich in den Hamilton-Operator verformen (Homotopie).

$$\tilde H(\bf k) = \hat{\bf d}(\bf k)\cdot\bf{\sigma},$$ wo $\hat{\bf d}(\bf k)$ist nur $\bf d(\bf k)$normalisiert. So haben wir die Bänder abgeflacht $\tilde E(\bf k) = \pm 1$, ohne die Lücke zu schließen. Nun sehen wir, dass der Raum von Zweiband-Hamiltonoperatoren mit Lücken topologisch durch die Homotopieklassen von Abbildungen klassifiziert wird $\hat{\bf d}:S^3\rightarrow S^2$, und somit $\pi_3(S^2)$. Von der berühmten Hopf-Karte ist das bekannt $\pi_3(S^2) = \mathbb Z$, und es gibt daher viele verschiedene nicht-triviale Phasen für Hamiltonoperatoren mit zwei Bandlücken. Aus der allgemeinen Klassifikation topologischer Isolatoren (basierend auf $K$-Theorie) ist bekannt, dass es für ladungserhaltende Systeme ohne Symmetrie keine nicht-trivialen topologischen Isolatoren im Raum gibt. Dies liegt daran, dass man durch Hinzufügen einiger trivialer Bänder zeigen kann, dass keine topologische Phase überlebt. Deswegen, $K$-Theorie ist eine physikalisch robustere Klassifikation, die das seltsame Verhalten von Systemen mit kleinen Hamiltonoperatoren beseitigt.