Funktioniert ein Propeller in einer Superflüssigkeit?

Nein.

Ich habe das tatsächlich vor langer Zeit in einem Physiklabor für Studenten ausprobiert. Wir haben zwei Lüfterblätter direkt in einem Glasdewar gegeneinander gestellt. Einer wurde angetrieben und der andere konnte sich frei drehen. Wir füllten das Dewar mit flüssigem He und drehten den Ventilator. Der andere drehte sich gut.

Wir pumpten das LHe auf, bis es in eine Superflüssigkeit überging. Wir haben den Ventilator gedreht. Der andere saß einfach nur da und begann sich dann langsam langsam zu drehen.

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Also ja, es hat ein bisschen funktioniert. Aber so schlecht, dass die beste Antwort nein ist. Wie hat jede Superflüssigkeit eine normale und eine superflüssige Komponente? sagt, es hat zwei Komponenten. Für die Restviskosität war die Normalkomponente verantwortlich. Wenn wir die Temperatur verringert hätten, gäbe es einen kleineren Anteil an normaler Komponente und eine geringere Viskosität. Es würde noch schlechter funktionieren.

Und ich muss das obligatorische XKCD einbinden .

Interessante Frage. Zunächst zu der allgemeineren Frage: Es ist sicherlich möglich, Geräte zu entwerfen, die Schub in einem Suprafluid liefern, und einige Beispiele wurden in dem von Ihnen verlinkten Thread gegeben. Ein einfacher Propeller hingegen wird nicht funktionieren, wenn wir davon ausgehen können, dass die Viskosität genau Null ist. Wenn es nur sehr klein ist, sollte der Propeller immer noch gut funktionieren.

Nun könnte man immer noch fragen, ob es eine Möglichkeit gibt, einen Propeller mit Hilfsmitteln in einer nullviskosen Flüssigkeit zum Laufen zu bringen. Das entscheidende Problem ist, dass wir ohne die Hilfe der Viskosität eine Zirkulation in der Flüssigkeit erzeugen müssen. Es gibt Möglichkeiten, eine solche Zirkulation zu erzeugen (z. B. durch tangentiale Wanddüsen), aber ich bin mir nicht sicher, ob effektive Geräte, die Kräfte in solchen Flüssigkeiten erzeugen, auf diese Weise konstruiert werden können. Mein Bauchgefühl ist, dass die einfache Verwendung von Jet-Thrustern, die von einer Art Verdrängerpumpe angetrieben werden, der richtige Weg sein könnte.

Um dieses Argument strenger zu machen, betrachten wir die grundlegenden Gleichungen, die dieses Flüssigkeitsströmungsproblem beschreiben, nämlich die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen für eine inkompressible Flüssigkeit,

wobei wir potenzielle Volumenkräfte (wie Gravitationskräfte) sowie die divergenzfreie Bedingung ignorieren,

innerhalb einer geschlossenen zweidimensionalen Domäne$\Omega$(im Allgemeinen mehrfach verbunden; siehe Kommentare unten für den 3-D-Fall).

Wir werden Probleme betrachten, die durch Randbedingungen gekennzeichnet sind, die die Strömung entweder als senkrecht zur Grenze vorschreiben,${\mathbf u}\cdot{\mathbf t}=0$auf einem Teil der Grenze$\partial\Omega$(an Zufluss-/Abflussgrenzen) oder tangential zur Grenze,${\mathbf u}\cdot{\mathbf n}=0$an anderen Teilen der Grenze (entlang fester Wände). Hier$\mathbf n$und$\mathbf t$sind die Einheitsnormalen bzw. Tangentenvektoren an der Grenze. Als zweite Randbedingung schreiben wir einen "zugfreien Zustand" vor,$\nu\,\Delta{\mathbf u}\cdot {\mathbf t}=0$, was bedeutet, dass die Flüssigkeit reibungsfrei über die Oberfläche gleitet.

Wir wählen eine Anfangsbedingung für ein Geschwindigkeitsfeld${\mathbf u}_0={\mathbf u}(t=0)$was befriedigt$\nabla\cdot{\mathbf u}=0$(Inkompressibilitätsbedingung) sowie$\nabla\times{\mathbf u}=0$(Irrotationalität) im Inneren von$\Omega$. Schließlich benötigen wir das anfängliche Geschwindigkeitsfeld${\mathbf u}_0$ist mindestens$C^0$-kontinuierlich auf der geschlossenen Domäne$\Omega$. Wir bemerken nebenbei, dass diese Bedingung nicht trivial ist und bei vielen praktischen Problemen (Bedeutung, numerische Lösungen) oft verletzt wird. Es spielt jedoch eine entscheidende Rolle in der Mathematik des Navier-Stokes-Problems: Wenn diese Bedingung verletzt wird, dann ist das Navier-Stokes-Problem tatsächlich schlecht gestellt. Um unnötige Komplikationen zu vermeiden, benötige ich die etwas stärkere Bedingung von$C^1$-Kontinuität unten. Der Unterschied ist mathematisch nicht trivial, sollte aber keine physikalischen Konsequenzen haben.

Mit diesen Vorbereitungen ist es nun möglich zu beweisen, dass der Raum der potentiellen Strömungslösungen dieses Problems ein invarianter Unterraum der Navier-Stokes-Gleichungen ist, was bedeutet, dass, wenn unsere Anfangsbedingung eine drehungsfreie, inkompressible Strömung darstellt, die Strömung so bleiben muss alle zukünftigen Zeiten. Eine spezifische Folge dieser Situation ist, dass die Zirkulation$\Gamma$erfüllt

jederzeit. Ich werde bemerken, dass ich den Beweis weglasse. Die technischen Details sind etwas streng; Einzelheiten finden Sie in Ladyzhenskayas Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow .

An dieser Stelle brauchen wir nur noch das Joukowski-Theorem , das besagt, dass Kräfte in Potentialströmungen um geschlossene Konturen proportional zur Zirkulation sind$\Gamma$um die Kontur. Da wir oben gezeigt haben, dass die Zirkulation Null bleibt, kann es keine Kräfte geben.

Ich erinnere den Leser daran, dass das obige Argument einen zweidimensionalen Bereich annimmt. Ich behaupte einfach ohne Beweis, dass es auf Kosten einer beträchtlichen mathematischen Komplexität auf den dreidimensionalen Fall ausgedehnt werden kann ...

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass das obige Argument die Mathematik dieses Problems für den Fall einer idealen reibungsfreien Flüssigkeit anspricht. Wenn Sie ein Experiment in einem solchen Flow durchführen, können eine Reihe von realen Effekten das Ergebnis erheblich verändern. Beispielsweise erfordert die potenzielle Umströmung scharfer Hinterkanten der Propellerflügel extrem starke Druckgradienten. Ich bin mir ziemlich sicher, dass jede echte Flüssigkeit unter diesen Bedingungen Kavitation ausgesetzt wäre, und wer weiß, was dann passieren könnte. Das Modell der idealen inkompressiblen Flüssigkeit wird sicherlich nicht mehr auf die Situation zutreffen.

Flüssigkeiten mit der Viskosität Null (Superflüssigkeiten) sind nicht in der Lage, Energie mit einem darin eingetauchten sich bewegenden Objekt auszutauschen. Wenn das Objekt also ein rotierender Propeller ist, kann die Flüssigkeit keine Energie darauf übertragen, was dasselbe ist wie wenn der Propeller an einem U-Boot befestigt ist, kann die kinetische Energie des U-Bootes nicht zunehmen, also hat der Propeller keine verwenden. Selbst ein quadratisches Stück Metall, das sich durch eine Supraflüssigkeit bewegt, erfährt keine Geschwindigkeitsänderung (was eher kontraintuitiv ist).

Während mir immer noch nicht ganz klar ist, ob ein "rotierender" Propeller funktioniert (andere Antworten behaupten "nein", aber ich würde "ja" sagen , siehe auch this ), gibt es eine Art Propeller, der mit Sicherheit funktioniert, wie er hat nichts mit Viskosität zu tun (nur einfache Aktionsreaktion , dh totale Impulserhaltung): Betrachten Sie einen Propeller, der wie eine mit Supraflüssigkeit gefüllte "Spritze" funktioniert. Zum "Aufladen" können Sie die Hauptdüse schließen und Ventile an den Seiten der Spritze öffnen, damit die Superflüssigkeit von den Seiten (und nicht entlang der Bewegungsrichtung) angesaugt wird. Dann schließen Sie die seitlichen Ventile und drücken die Superflüssigkeit aus der Hauptdüse heraus.

Außerdem: Wird eine "anguilliforme", "thunniforme" (etc ... siehe Wikipedia für Fortbewegung von Fischen ) Art der Bewegung in einer Superflüssigkeit funktionieren? Ich würde ja sagen (auch wenn der Effizienteste vielleicht nicht derjenige ist, der im Wasser am Effizientesten ist). Tatsächlich gibt es "Schwimmstrategien", die in inkompressiblen perfekten Flüssigkeiten (dh Nullviskosität) funktionieren können, siehe dieses Papier und die darin enthaltenen Referenzen oder dieses (der andere Extremfall, viskositätsdominiert, wird in dem Papier Life at low Reynolds beschrieben Nummer ). Auch diese Antwort, während hier ein Vergleich zwischen dem Fall mit niedriger Reynolds-Zahl und dem nicht viskosen Fall skizziert wird .

Hinweis zu rotierenden Propellern in reibungsfreien Flüssigkeiten: Zur Untersuchung von Propellern werden Euler-Gleichungen verwendet! ZB eine Übersicht über Propellermodellierungstechniken basierend auf Euler-Methoden (1998): "Diskrepanzen zwischen Experimenten und Simulationen können auf die Vernachlässigung der physikalischen Viskosität zurückgeführt werden". Dies stimmt mit der grundlegenden Beschreibung der Funktionsweise eines Propellers überein , wo Viskosität oder Reibung nicht wirklich erwähnt werden (aber Bernoulli ja, und das Bernoulli-Prinzip gilt in Supraflüssigkeiten!). Tatsächlich ist bekannt, dass ein Suprafluid bei Nulltemperatur (dh keine viskose normale Komponente) nichts anderes als ein reibungsfreies Fluid ist, das von der üblichen Euler-Gleichung (plus der Quantisierung der Zirkulationsbedingung) beherrscht wird.