Finden von Stagnationspunkten aus dem komplexen Potenzial

Ich versuche, den Staupunkt einer Flüssigkeitsströmung aus einem komplexen Potential zu finden. Das komplexe Potential ist gegeben durch

Ω ( z ) = U z + M 2 π ln ⁡ z .
Daraus habe ich die Streamfunktion gefunden ψ = U R Sünde ⁡ θ + M 2 π θ und das Geschwindigkeitspotential zu sein ϕ = U R cos ⁡ θ + M 2 π ln ⁡ R .

Ich denke, die Stagnationspunkte treten auf, wenn u = v = 0 , Wo u = ∂ ϕ ∂ X Und v = ∂ ψ ∂ j . Wenn ja, müsste ich wieder in kartesische Koordinaten umwandeln? Jede Hilfe geschätzt!

Antworten (2)

Sie haben größtenteils Recht (außer das v ist eigentlich ∂ ϕ ∂ j ). Es ist jedoch am einfachsten damit umzugehen Ω ( z ) direkt.

Da die Geschwindigkeitskomponenten sind u = ∂ ϕ ∂ X = ∂ ψ ∂ j Und v = ∂ ϕ ∂ j = − ∂ ψ ∂ X , ein Staupunkt mit Nullgeschwindigkeit muss beide verschwinden. Sie können dies zurück in die komplexe Ableitung von übersetzen Ω als

D D z Ω = ∂ ϕ ∂ X + ich ∂ ψ ∂ X = ∂ ψ ∂ j − ich ∂ ϕ ∂ j = 0.
Das bedeutet, dass Sie direkt in (komplexen) kartesischen Koordinaten arbeiten können, um den Staupunkt leicht zu finden:
0 = D Ω D z = U + M 2 π 1 z , So z = X + ich j = − 2 π M U + 0 ich .
Einfach!

Super, viel einfacher als ich dachte :-)

Das Arbeiten für diese letzte Lösung war richtig, mit Ausnahme der endgültigen Antwort. Es sollte sein:

z = − M 2 π U + 0 ich

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