Gesetz von Ampère vs. Gesetz von Biot Savart

Wenn Sie fragen

Warum gilt das Ampère-Gesetz oft für einen unendlich langen Draht und das Biot-Savart-Gesetz für einen kurzen Draht?

Sie irren sich völlig: Sowohl das Ampère-Gesetz als auch das Biot-Savart-Gesetz gelten immer .

Genauer gesagt, wenn Sie einen Strom haben$I$über eine Kurve laufen$\mathcal C_0$, Dann:

• Das Biot-Savart-Gesetz spezifiziert das Magnetfeld$\mathbf B(\mathbf r)$an jeder beliebigen Stelle$\mathbf r$als Integral über den stromführenden Stromkreis,

  $$\mathbf B(\mathbf r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathcal C_0} \frac{I\mathrm d\mathbf l \times(\mathbf r-\mathbf r')}{\|\mathbf r-\mathbf r'\|^3}.$$

• Das Ampèresche Gesetz spezifiziert die Zirkulation von$\mathbf B$über eine beliebige Kurve$\mathcal C$in Bezug auf den von der Kurve eingeschlossenen Strom:

  $$\oint_\mathcal{C} \mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l = \mu_0 I_\mathrm{enc}.$$

Wenn Ihr Ziel das Finden ist$\mathbf B(\mathbf r)$an einem bestimmten Punkt, dann können Sie eine oder beide verwenden, um ihn zu finden, und Sie verwenden normalerweise die einfachste verfügbare Route. Wenn Sie einen unendlichen Draht mit viel Symmetrie haben, ist der einfachste Weg, das Gesetz von Ampère zu verwenden, weil Sie keine Integrale machen müssen. Wenn Sie diese Symmetrie nicht haben, verwenden Sie standardmäßig das Biot-Savart-Gesetz, da das Ampère-Gesetz dann nichts über einen einzelnen Punkt im Raum aussagt.

Letztendlich ist das Biot-Savart-Gesetz für magnetostatische Berechnungen wahrscheinlich der stabilste Weg, um Magnetfelder zu erhalten (obwohl es in einigen Situationen sinnvoll sein kann, das Ampère-Gesetz in seiner differentiellen Form numerisch zu lösen). In Bezug auf die grundlegende Bedeutung gewinnt jedoch das Ampère-Gesetz als fester Bestandteil der Maxwell-Gleichungen und daher als zentraler Bestandteil des Hauptrahmens der Elektrodynamik.

Für den Anfang ist das Ampere-Gesetz nur eine etwas andere Variante der vierten Maxwell-Gleichung. Es kann also fast überall verwendet werden (genau wie das Gauß-Gesetz, aber Sie erhalten keine nützlichen Ergebnisse, außer in einigen Fällen offensichtlicher Symmetrie.) Das Biot-Savart-Gesetz ist das magnetische Analogon des Coulombschen Gesetzes. Sie können das Feld für beliebige Stromverteilungen finden, sofern Sie es integrieren können, um nützliche Ergebnisse zu erhalten.

Aus Maxwells 4. Gleichung haben wir:

$\nabla \times \vec B = \mu_0. J + \frac{1}{c^2}.\frac{\partial \vec E}{\partial t}$

Das Ampere-Gesetz hat den zweiten Term vernachlässigt und sieht in integraler Form so aus:

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

Dieser ist bekannt, nehme ich an. Man kann das Ampere-Gesetz auf einen unendlichen Draht anwenden, nur weil$\vec B$ist gleichmäßig und kreisförmig um diesen Draht. Das ist nicht der Fall für endliche Drähte, wo Sie nicht nehmen können$\vec B$aus dem Integral auf der linken Seite, und machen Sie guten Gebrauch davon. Das Gesetz ist nicht falsch, außer in Fällen vom Kondensatortyp, wenn der zweite Term in Maxwells Gl. muss berücksichtigt werden. Es wird immer die richtige Antwort geben. Aber ohne ein gewisses Maß an Symmetrie, Beispiel: eine regelmäßige Form wie ein Toroid, ein Solenoid, ein Kreis usw., ist das Ampere-Gesetz im Allgemeinen nutzlos. Das Biot-Savart-Gesetz hingegen kann Ihnen B für jede aktuelle Distribution geben, vorausgesetzt, Sie können sich angemessen integrieren.