Wenn Lichtstrahlen der Wellengleichung gehorchen, warum können sie dann als gerade Linien gedacht werden?

Lichtstrahlen sind im Vergleich zu allen anderen Längenskalen des Problems nur ein guter Weg, um Licht an der Grenze sehr kurzer Wellenlängen zu beschreiben. Dies nennt man die geometrisch-optische Grenze, und dort kann man die Maxwell-Gleichungen in der sogenannten eikonalen Näherung lösen, um das Fermatsche Prinzip und damit eine Lichtstrahlbeschreibung des Lichts zu erhalten.

Der wesentliche Punkt der eikonalen Annäherung besteht darin, einen Ansatz der Form zu machen

$$E(\mathbf x,t)=E_0 e^{i(\chi(\mathbf x)-\omega t)}$$ für das elektrische Feld. Hier ignoriere ich die Vektornatur von Licht und multichromatischen Feldern, aber das Folgende lässt sich gut verallgemeinern. Ansonsten ist der Ansatz recht allgemein gehalten. In diesen Begriffen lautet die Wellengleichung $$-i\nabla^2\chi+\| \nabla \chi\|^2= \frac{n^2\omega^2}{c^2}.$$ Die eikonale Näherung besteht dann darin, den ersten Term zu vernachlässigen. Der Grund dafür liegt in der kurzwelligen Grenze $\chi$enthält einen Begriff der Form $\mathbf k\cdot \mathbf x$was macht $\nabla\chi$sehr groß im Vergleich zu $\nabla^2\chi$, das räumliche Variationen in der Hüllkurve misst und daher "klein" ist.

Sobald Sie das tun, erhalten Sie die eikonale Gleichung, die lautet

$$\| \nabla \chi\|^2= \frac{n^2\omega^2}{c^2}.$$ (Dies hat übrigens ein sehr interessantes Gegenstück in der klassischen Mechanik, die Hamilton-Jacobi-Gleichung .) Die Trajektorien von Lichtstrahlen lassen sich dann als Integralkurven des Gradienten definieren $\nabla\chi$, dh Trajektorien $\mathbf r=\mathbf r(s)$, parametrisiert durch die Pfadlänge, die folgen $$\frac{d\mathbf r}{ds}=\frac{\nabla \chi}{n\omega/c}.$$ Diese Trajektorien sind orthogonal zu den Wellenfronten, die konstante Oberflächen sind $\chi$, breiten sich geradlinig im freien Raum aus und interagieren mit optischen Elementen so, wie man es erwarten würde: Für alle Welt sind es Lichtstrahlen.

Weitere mathematische Details finden Sie in dieser Frage . Wenn das obige immer noch zu kompliziert ist, lassen Sie es mich wissen.

Ich bin sicher, die Antwort von Emilio Pisanty ist in Ordnung, +1, aber sie geht mir etwas über den Kopf. Es appelliert auch an spezifische Eigenschaften elektromagnetischer Wellen, während die Strahlennäherung viel allgemeiner ist. Hier ist ein einfacheres Plausibilitätsargument, das möglicherweise eher auf der Ebene liegt, die das OP verstehen kann.

Wenn Sie eine Welle durch einen Spalt der Breite beugen$w$erhalten Sie ein Beugungsmuster mit einer Winkelbreite$\theta$der Ordnung$\lambda/w$(im Bogenmaß). Wann$\lambda$ist klein im Vergleich zu$w$,$\theta$wird klein. In der Grenze wo$\lambda/w\rightarrow0$,$\theta\rightarrow0$, und Sie haben einen Strahl, der durch den Schlitz kommt. Verschiedene Arten von Wellen (Wasserwellen, Schallwellen, Lichtwellen, ...) haben unterschiedliche Details in Bezug auf Dinge wie Polarisation, aber nichts davon beeinflusst das obige Argument.

Wenn dem so ist, sollte es der Wellengleichung gehorchen, und dies scheint mir keinen geradlinigen Strahl zu beschreiben.

Recht. Ein perfekt kollimierter, paralleler Wellenzug kann niemals eine Lösung der Wellengleichung sein. Ein Beugungsmuster mit einer sehr kleinen Winkelbreite kann jedoch eine Lösung sein, und wenn die Breite klein genug ist, ist es nicht von einem parallelen Wellenzug zu unterscheiden.