Was macht eine Theorie zu einem „Quantum“?

Die Kommutatorbeziehungen bilden meines Wissens ein Theoriequant. Wenn alle Observablen pendeln, ist die Theorie klassisch. Wenn einige Observable Kommutatoren ungleich Null haben (egal ob sie proportional zu$\hbar$oder nicht), die Theorie ist Quantentheorie.

Was eine Theorie zu einem Quanten macht, ist intuitiv die Tatsache, dass Beobachtungen den Zustand des Systems beeinflussen. In gewisser Weise ist dies in den Kommutatorbeziehungen codiert: Die Reihenfolge der Messungen beeinflusst ihr Ergebnis, die erste Messung beeinflusst das Ergebnis der zweiten.

Ich denke, das ist eine subtile Frage, und ich denke, es hängt etwas davon ab, wie Sie sich entscheiden, die Quantenmechanik darzustellen. Um ein Extrem davon zu sehen, betrachten Sie den Standpunkt von Kibble in [1]. Der Einfachheit halber werde ich hier an endlichdimensionale Quantensysteme denken; Es gibt einige Feinheiten in unendlichen Dimensionen, aber soweit ich weiß, bleibt das Grundbild bestehen. Darin zeigt er, dass, wenn wir die Theorie in Bezug auf physikalische Zustände (Strahlen im Hilbert-Raum) beschreiben, die Dynamik der Schrödinger- Evolution über die symplektische Form von der Kähler-Struktur auf dem projektiven Hilbert-Raum (die das heißt, die Evolution ist die eines klassischen Systems). Es gibt jedoch zwei Unterscheidungen, die die Quantenmechanik von der klassischen Mechanik unterscheiden:

• Der Phasenraum muss ein projektiver Hilbert-Raum sein (im Gegensatz zu nur einer symplektischen Mannigfaltigkeit), und der Hamilton-Operator ist darauf beschränkt, eine quadratische Form in den homogenen Koordinaten im projektiven Raum zu sein. In der klassischen Mechanik ist jede (hinreichend glatte) Funktion als Hamiltonoperator zulässig.
• Verbundsysteme werden unterschiedlich beschrieben. In der klassischen Mechanik ist der Phasenraum eines zusammengesetzten Systems das kartesische Produkt der Phasenräume. In der Quantenmechanik ist es die Segre-Einbettung (die vom Tensorprodukt der Hilbert-Räume abstammt). Dies ist parametrisch unterschiedlich; wenn die Phasenräume der beiden Teilsysteme sind$2m$und$2n$, dann hat in der klassischen Mechanik das zusammengesetzte System Dimension$2m+2n$, während es in der Quantenmechanik eine Dimension hat$2(n+1)(m+1)-2$. Die zusätzlichen Zustände sind die verschränkten Zustände. Praktisch alle beobachtbaren Konsequenzen von QM kommen hier vor, zB Bellsche Ungleichungen. Wenn wir identische Teilchen betrachten, wird die Sache natürlich noch etwas komplizierter.

Wenn Sie den zweiten Punkt ignorieren und sich nur auf ein einzelnes Quantensystem konzentrieren, ist die überraschende Schlussfolgerung, dass jedes quantenmechanische System ein Spezialfall der klassischen Mechanik ist (mit der Maßgabe, dass ich die Details wiederum nicht in unendlichen Dimensionen überprüft habe, aber es ist zumindest moralisch wahr). Ein Teil der Struktur der Quantenmechanik besteht jedoch darin, zusammengesetzte Systeme zu beschreiben, sodass Sie diesen zweiten Punkt nicht einfach ignorieren können. Ein Mathematiker würde sagen, dass dies einen injektiven Funktor aus der Kategorie der quantenmechanischen Theorien in die Kategorie der klassischen Theorien gibt, der mit den symmetrischen monooidalen Strukturen auf beiden nicht kompatibel ist.

Ich möchte darauf hinweisen, dass wir das Korrespondenzprinzip in der Quantenmechanik ganz und gar nicht so verstehen. Das heißt, es ist eine Abbildung von einem endlichdimensionalen quantenmechanischen System auf ein endlichdimensionales klassisches System (derselben Dimension). Normalerweise, wenn wir zB an ein freies Teilchen in einer Dimension denken, ist der Hilbert-Raum für dieses Quantensystem unendlichdimensional, entspricht aber einem zweidimensionalen klassischen Phasenraum. Aber der Punkt ist, dass wir uns zumindest in dieser Frage nicht auf den gewöhnlichen Begriff der Korrespondenz beschränken können, da wir keine physikalische Interpretation für das Gleichungssystem haben, das die Theorie beschreibt.

Außerdem hat, trotz des obigen Beispiels, ob eine Theorie klassisch oder quantenmechanisch ist, im Wesentlichen nichts damit zu tun, wo die Staaten leben. Wenn wir ein freies Teilchen nur noch einmal in einer Dimension betrachten wollen, würden wir seinen Zustand typischerweise als einen selbstadjungierten Spurklassen-Einheitsspuroperator beschreiben$\hat \rho$auf dem Hilbertraum$L^2(\mathbb R)$. Im Gegensatz dazu würden wir in der klassischen Mechanik einen Zustand als Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben$\rho$auf dem Phasenraum$\mathbb R^2$(Beachten Sie, dass wir im obigen Beispiel nur reine klassische Zustände hatten, dh nur die durch a beschriebenen$\delta$Funktion auf dem Phasenraum, während wir jetzt gemischte Zustände haben). Wir könnten den Quantenzustand jedoch genauso gut durch seine Wigner-Funktion beschreiben , in diesem Fall lebt er in genau demselben affinen Raum wie die klassische Verteilung. Die Wigner-Funktion erfüllt jedoch etwas andere Ungleichungen als die klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung; insbesondere kann er leicht negativ und nicht zu positiv sein. Die Details dazu wurden erstmals in [2] ausgearbeitet. In diesem Fall ist es die Dynamik, die die Quantennatur verrät. Um von der klassischen zur Quantenmechanik zu gelangen, müssen wir insbesondere die Poisson-Klammer durch die Moyal-Klammer ersetzen (die hat$O(\hbar^2)$Korrekturen), was auf das Versagen des Satzes von Liouville in der Phasenraumformulierung der Quantenmechanik hinweist: Die (Quasi-)Wahrscheinlichkeitsdichte bleibt entlang der Trajektorien des Systems nicht erhalten.

All dies soll sagen, dass es schwierig (und vielleicht unmöglich) zu sein scheint, ein einziges Unterscheidungsmerkmal zwischen klassischer und Quantenmechanik zu finden, ohne zusammengesetzte Systeme zu berücksichtigen. Wenn Sie das also wollen, bin ich mir nicht sicher, ob ich eine Antwort habe . Wenn Sie jedoch zusammengesetzte Systeme zulassen, ist dies eine ziemlich eindeutige Unterscheidung. Angesichts dessen ist es vielleicht nicht verwunderlich, dass alle uns vorliegenden experimentellen Tests, die zeigen, dass die Welt quantenhaft und nicht klassisch ist, auf Verschränkung beruhen.

Verweise:

[1]: Kibble, TWB „Geometrisierung der Quantenmechanik“. Komm. Mathematik. Phys. 65 (1979), Nr. 2, 189--201.

[2]: HJ Groenewold (1946), "Über die Prinzipien der elementaren Quantenmechanik", Physica 12 , S. 405-460.

Rahmenherausforderung: Ich denke, die Frage basiert auf einer irreführenden Prämisse.

Während es im Gegensatz zu klassischen Theorien eine Reihe von Merkmalen gibt, die für Quantentheorien typisch sind - einige haben Sie bereits in der Frage aufgelistet, andere wurden in den vorhandenen Antworten vorgeschlagen -, gibt es keinen besonderen Grund zu der Annahme, dass es eine einzige eindeutige Regel gibt die jede willkürliche Theorie entweder als Quantentheorie oder als klassische kategorisiert.

Es besteht auch keine besondere Notwendigkeit für eine solche Regelung. Sie geben das Beispiel der Quantengravitation. Aber wir wollen eine Quantentheorie der Gravitation nicht, weil sie mit dem Etikett „Quantum“ versehen ist, als wäre sie eine Handtasche, die ohne das richtige Etikett nicht angemessen modisch wäre, sondern weil wir wollen, dass sie es kann um bestimmte Fragen über die Realität zu beantworten, von denen wir bereits wissen, dass die Allgemeine Relativitätstheorie sie nicht beantworten kann.

Kurz gesagt, machen Sie sich keine Gedanken darüber, ob die Theorie "Quanten" ist oder nicht - machen Sie sich Gedanken darüber, ob sie die Fragen beantwortet, die Sie beantwortet haben möchten oder nicht.

Auch relevant.

Nachtrag: Gleiches gilt natürlich auch für die bestehenden Theorien. Wir mögen das Standardmodell nicht, weil es Quanten ist. Wir mögen es, weil es funktioniert .

TL;DR: Korrelationen.

Das Wichtigste zuerst: Da das OP nach einem Kriterium fragt, um festzustellen, ob ein Modell quantenmechanisch ist, muss die Antwort Observables beinhalten. Denn wenn Sie Ihr "Quanten"-Modell in ein "klassisches" Modell umschreiben könnten, wären diese Etiketten doch nicht viel wert.

Darüber hinaus sind alle Quantentheorien (die ich kenne) probabilistisch, daher konzentriert sich diese Antwort auf probabilistische Observablen, dh Korrelationsfunktionen .

Der grundlegende Unterschied zwischen einer Quantentheorie und einer klassischen Theorie ist ihre Korrelationsstruktur. Das heißt, Quantentheorien können Korrelationen zeigen, die klassische Theorien nicht können.

Das historisch erste und einfachste Beispiel dafür ist die Bellsche Ungleichung . Inzwischen gibt es viele solcher Ungleichungen für alle Arten von Observablen, eine häufig verwendete ist die CHSH-Ungleichung . Im Allgemeinen setzen diese Ungleichungen Grenzen für Korrelationsfunktionen, die von einer klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie nicht verletzt werden können, wenn letztere präzise gemacht werden kann (siehe unten). Quantenwahrscheinlichkeitstheorien können gegen einige dieser Ungleichungen verstoßen, was sie von Natur aus unterschiedlich macht.

Interessanterweise gibt es auch Theorien, die Zusammenhänge aufweisen, die noch stärker sind als in der Quantentheorie . Diese sind als Popescu-Rohrlich-Boxen bekannt und es wurde gezeigt, dass sie eine maximale Verletzung der sogenannten Tsirelson-Grenze zulassen , einer weiteren Ungleichung, die jedoch von der Quantentheorie erfüllt wird.

Diese Aussagen zu machen (die alle auf der Ebene von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einem Raum von Observablen funktionieren) ist ein ganzes Feld. Einige Referenzen (ich werde versuchen, morgen weitere hinzuzufügen, jetzt zu müde):

1. Man kann versuchen, die Quantentheorie eindeutig als „besondere“ Wahrscheinlichkeitstheorie herauszuheben, indem man von bestimmten informationstheoretischen Postulaten ausgeht: https://arxiv.org/abs/1203.4516
2. Sogenannte Bell-Tests ohne Lücken haben gezeigt, dass wir in einer Welt leben, die gegen die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie verstößt (auch wenn einige Leute dagegen argumentieren werden): https://www.nature.com/articles/nature15759
3. Eine schöne Präsentation über die oben genannten Ideen von einem Mann, der (im Gegensatz zu mir) tatsächlich weiß, wovon er spricht: http://www.math.umd.edu/~diom/RIT/QI-Spring10/ClassvsQuantInfo.pdf

Hier ist die Antwort eines Experimentators:

Ein mathematisches System, entweder algebraische oder Differentialgleichungen, hat Axiome und Theoreme und ist in sich abgeschlossen und in sich konsistent.

Eine physikalische Theorie ist eine Teilmenge eines mathematischen Systems, das durch das Auferlegen zusätzlicher Axiome, Gesetze oder Postulate genannt, definiert wird, die für die Konstruktion notwendig sind, um aus dem gesamten mathematischen Satz diejenigen Lösungen herauszugreifen, die zu Daten, dh Messungen und Beobachtungen, passen.

Klassische Theorien sind solche, die klassische Gesetze verwenden, wie zum Beispiel: Newtonsche Gesetze für die Mechanik, die Reihe von Gesetzen für Elektrizität und Magnetismus, die in Maxwells Gleichungen vereinheitlicht sind, die thermodynamischen Gesetze (und vielleicht usw.).

Quantentheorien sind diejenigen, die quantenmechanischen Gesetzen gehorchen, dh den Postulaten der Quantenmechanik , unabhängig von der mathematischen Formulierung.

Um die Daten und Beobachtungen anzupassen, waren quantenmechanische Postulate notwendig, und das unterscheidet Klassik von Quanten, IMO.

Bearbeiten nach Kommentaren:

In deiner Liste:

Dirac-von-Neumann-Axiome: Diese sind zu restriktiv (z. B. passen sie nicht zu topologischen Quantenfeldtheorien).

Dies war das erste Mal, dass ich auf topologische Quantenfeldtheorien (TQFT) traf. (Solche Einführungen sind einer der Gründe, warum ich dieser Seite folge – um einen Hauch von Physik zu bekommen, die mir neu ist.)

Der Maßstab ist, ob dieser Satz von Theorien zu Daten passt und Messungen vorhersagt.

In axiomatischen mathematischen Theorien können Theoreme als Axiome aufgestellt werden, und dann müssen die früheren Axiome als Theoreme für eine in sich widerspruchsfreie Theorie bewiesen werden. Üblicherweise werden die Axiome als einfachster Ausdruck aus einer Menge konsistenter Theoreme gewählt.

Da TQFTs zu Daten passen und Quantenzustände vorhersagen, ist es notwendig, dass man aus den axiomatischen Postulaten für TQFT die Postulate der Quantenmechanik ableiten kann (möglicherweise in einem sehr komplizierten mathematischen Verfahren). Der Wikipedia-Artikel über TQFT scheint darauf hinzudeuten . Dies ist notwendig, damit eine Theorie Quanten-IMO ist.

Das heißt, es sind die Postulate , die Messungen per Konstruktion mit den mathematischen Formeln verbinden.

Ich würde sagen, etwas an sich Quantenhaftes ist die Art und Weise, wie Wahrscheinlichkeiten und die Funktion, die der partiellen Differentialgleichung gehorcht, zusammenhängen.

Wie Sie bemerken, sind in klassischen Theorien sowohl Interferenzen als auch Wahrscheinlichkeiten vorhanden. Neu sind Wahrscheinlichkeitsamplituden , bei denen Störungen zu einer Unterdrückung von Wahrscheinlichkeiten führen, die in klassischen Theorien nicht möglich ist.

Für den endlichdimensionalen Fall gibt es auch Lucien Hardys Vorschlag „Quantum Theory From Five Reasonable Axioms“ ( https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012 ). Dort besteht der Unterscheidungsfaktor zwischen Quantentheorie und klassischer Wahrscheinlichkeitstheorie darin, dass "es eine kontinuierliche reversible Transformation auf einem System zwischen zwei beliebigen reinen Zuständen dieses Systems gibt".

Eine weitere Referenz in ähnlicher Weise ist Kapitel 9 von Scott Aaronsons Buch „Quantum Computing since Democritus“.

tl; DR

Ähm... Du tust es.

Angenommen, Sie erfinden ein Modell über ein physikalisches System ...

Gleichungen existieren nicht für sich allein, sie haben immer eine Umgebung. Der Kopf sind Annahmen und der Schwanz beschreibt normalerweise Einschränkungen des mathematischen Modells. Es liegt also wirklich an Ihrer Interpretation der vorliegenden Frage ODER den Ihnen verfügbaren Daten, die konsistent (deterministisch?) Vorhersagen können, ob eine Theorie "Quantum" ist.

Umgekehrt, wenn Sie keinen Kopf und Schwanz haben, können Sie viele Fälle darüber aufstellen, wovon eine Gleichung spricht, können aber nichts Konkretes sagen.

Alle Antworten hier sind inspirierend und ehrlich gesagt sexy , aber nehmen Sie sich Zeit, um meine rudimentären Beispiele unten zu betrachten

Diese Denkweise „ welche Eigenschaft der Gleichung sagt ihre Anwendbarkeit in <Name des physikalischen Fachgebiets> voraus “ ist ein Missbrauch der Mathematik.
Mathematik ist vielleicht das Nonplusultra, aber wir müssen uns daran erinnern, dass wir sie in der Physik als Werkzeug verwenden. Meine Illustration unten mag kindisch erscheinen, aber bitte beachten Sie die folgenden Gleichungen

Gleichung 1:

Gleichung 2:

Wenn man sich diese anschaut, kann ein Mathematiker das mit Freude sagen

• Gleichung 1
  • hat zwei Lösungen +2und -3, und
  • die Kurve zeigt nach oben, mit Maxima beix = -0.5
• Gleichung 2
  • hat eine Steigung von-0.4
  • hat die Abschnitte 4 und 10
  • hat unendliche geordnete Paare (x, y), die die Gleichung erfüllen
  • beschreibt eine Kurve, die den Ursprung umschließt

Und wir würden alle den oben genannten Punkten zustimmen.
Aber der weise Physiker bleibt stumm, weil er weiß, dass diese Gleichungen nicht nur Gekritzel eines legasthenischen Vulkaniers sind, sondern Modelle von etwas , sie repräsentieren etwas oder einige Phänomene. Ein Physiker stimmt also mit dem Mathematiker überein, kommt aber zu keinem Ergebnis.

Betrachten wir die Fragen, die uns zu diesen Gleichungen führen

Frage 1:

Das Produkt aus einer Menge und eins mehr als sie selbst ist 6, finde den Wert dieser Menge, wenn
a. die Menge ist geliehenes Geld
b. die Menge ist Zeit

Frage 2:

Die doppelte Anzahl meiner Söhne und die fünffache Anzahl meiner Töchter entspricht immer der doppelten Anzahl an Gliedmaßen, die ein normaler Mensch an seinen Händen hat. Wie viele Söhne und Töchter habe ich?

Nun, ich hoffe, Sie haben ein Aha! Moment. Die Antwort auf Q1 bist einfach, +2weil Zeit nicht negativ sein kann (wir haben alle solche Fragen als Kinder gelöst) und die Antwort auf Q2kann ziemlich überraschend sein – 5 Söhne und 2 Töchter – weil Physiker gute Menschen sind und keine Bruchkinder machen oder negative Kinder.

Haben Sie das gesehen – eine Gleichung, zwei Variablen, und wir erhalten immer noch eine eindeutige Antwort – Einschränkungen .

Mathematiker (die Gleichung) und Physiker (das große Ganze) haben also beide recht, wo sie stehen. Aber der Physiker gewinnt, weil

• wir sind bei physical.stackexchange.com
• Mathematik an sich ist sehr stark, rein, fast ungenießbar; Wir brauchen sowohl die Hintergrundinformationen als auch die Einschränkungen , um zu verstehen, was dieses wunderbare Werkzeug uns durch Gleichungen zu sagen versucht.

Im Ernst möchte ich darauf hinweisen, dass es wahrscheinlich kein (respektables) Buch über klassische Physik gibt, das lehrt, F = maohne zuerst ausdrücklich und klar Folgendes zu sagen:

• Annahmen erforderlich zB reibungsfreie Oberflächen und vollkommen starre Körper
• Newtons drei Bewegungsgesetze (Wort für Wort)
• Das dF = d(m.v), was vereinfacht werden kann, wenn die Masse (fast) konstant ist
• und am wichtigsten, die Tatsache, dass die Objekte, mit denen wir es zu tun haben, nicht von superkleiner Größe sind, dh größer als 10 ^-9 m im Durchmesser.

Autoren tun dies nicht für die Pädagogik, die meisten Schüler der 9. Klasse würden sich einen Dreck um Starrheit kümmern, aber tatsächlich tun sie es, weil diese Aussagen notwendig sind, damit die Gleichung / Theorie funktioniert.

Der Versuch vorherzusagen, ob eine Gleichung ein Quantending beschreibt, ist bestenfalls eine diskussionsbasierte Frage oder Metamathematik.

Speziell zum OP,

Wenn Sie ein Erfinder sind, an etwas wie GUT arbeiten (warum sollten Sie sonst eine Gleichung haben, deren Ursprung Sie nicht kennen) und neugierig sind, ob sie für große und kleine Körper gleichermaßen gilt, wenden Sie Einschränkungen an. Ich habe nicht die mathematische Voraussicht, aber logischerweise kann ich sagen, dass Variationen in den Einschränkungen das Verhalten des Systems für Quanten- und klassische Körper definieren werden.

In Thinking Fast and Slow gibt es ein Kapitel, das veranschaulicht, dass wir dazu neigen, das zu unterstützen, was populär/ausgefallen ist, anstatt das, was richtig/plausibel ist. Ich denke, die Frage ist in erster Linie meinungsbasiert.

TLDR: Welle-Teilchen-Dualität

Ich möchte diese Frage aus historischer Perspektive beantworten:

Nach heutigem Verständnis weist eine Quantentheorie gleichzeitig Merkmale der klassischen Mechanik und der Elektrodynamik (z. B. Licht) auf. Die erste Person, die eine solche Verbindung zwischen Mechanik und Lichttheorie bemerkte, war Hamilton. Er entwickelte die Hamilton-Optik, die Licht als Teilchen (auch Korpuskel genannt) beschrieb. Theoretiker erkannten bald, dass die Hamiltonsche Optik Lichtphänomene wie Interferenz, Beugung und Polarisation nicht erklären kann. Sie erkannten, dass die Hamilton-Optik nur eine Annäherung ist, die gut funktioniert, solange die Wellenlänge des Lichts viel kleiner ist als die Messapparatur (z. B. für geometrische Optiken basierend auf Lichtstrahlen und Linsen). Trotzdem funktionierte die Sprache der Hamiltonschen Optik perfekt, um die klassische Mechanik zu beschreiben, die heute allgemein als Hamiltonsche Mechanik bekannt ist.

Maxwells Feldtheorie der Elektrodynamik war eine korrektere Beschreibung des Lichts, aber dann kamen Planck und Einstein. Sie zeigten, dass zur Beschreibung der Schwarzkörperstrahlung und des photoelektrischen Effekts angenommen werden musste, dass Licht kein Feld mit unendlicher Teilbarkeit (dh Kontinuität) sein kann, wie es in Maxwells Wellentheorie des Lichts angenommen wird. Vielmehr muss Licht aus zählbaren Einheiten bestehen, die sie "Quanten" nannten. Aber diese Theorie war ad hoc und stimmte nicht mit der speziellen Relativitätstheorie überein. (Anmerkung: Die konsistente Version ist Quantenelektrodynamik.) Obwohl unausgereift, war die Erklärung von Planck und Einstein für diese Phänomene die erste Quantentheorie, weil sie einen Welle-Teilchen-Dualismus zeigte (oder besser annahm). (Anmerkung: Quantisierung bedeutet nicht, von einer Wellentheorie des Lichts zurück zu einer Teilchentheorie wie der Hamilton-Optik zu gehen.

Das verrückte Genie von deBroglie und Schrödinger war nötig, um diese Theorie in die entgegengesetzte Richtung anzuwenden – auf Teilchen. Sie stellten fest, dass, wenn Maxwells Wellentheorie des Lichts erweitert werden muss, um Quanten/Teilchen zu enthalten, die klassische Theorie (die nur aus Teilchen besteht) erweitert werden muss, um die Eigenschaften von Wellen zu erzeugen. Sie sahen, dass die klassische Theorie eine Annäherung wie die Hamiltonsche Optik sein könnte, die nur für kurze Wellenlängen gültig ist. So entwickelte Schrödinger die Wellenmechanik nicht durch Postulat von Quanten, sondern durch Umkehrung der Annäherungen, die notwendig sind, um von Maxwells Lichttheorie zur Hamiltonschen Optik zu gelangen. Im Gegensatz zur Elektrodynamik musste die klassische Mechanik "wellig" gemacht werden, um eine vollständige Theorie zu werden, die den Welle-Teilchen-Dualismus zeigt. (Anmerkung: Auch hier

Eine Theorie ist also "Quantum", wenn sie die Eigenschaften von Wellen und Teilchen integriert/kombiniert. Eine klassische Theorie ist entweder nur Wellen/Felder oder nur Teilchen.

Hinsichtlich der Quantisierung der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es aufschlussreich, diese klassische Feldtheorie mit einer anderen klassischen Feldtheorie, nämlich der Fluiddynamik, zu vergleichen. Gemeinsam ist beiden Theorien ihre hohe Nichtlinearität. Beide können nur quantisiert werden, wenn sie vorher linearisiert werden. Wenn man die Strömungsdynamik linearisiert, erhält man die Gleichung für Schallwellen. Linearisiert man die Gleichungen von GR, erhält man die Gravitationswellengleichungen. Wenn man die Schallwellengleichung quantisiert, erhält man Phononen. Quantisiert man Gravitationswellen, erhält man Gravitonen. Auch hier zeigen sowohl Gravitonen als auch Phononen Welle-Teilchen-Dualität. Aber in beiden Fällen müssen wir unsere Theorie zuerst linearisieren, um sie quantifizieren zu können. (Hinweis: Phononen existieren nur in Festkörpern. Gravitonen könnten auch nur in "fester" Raumzeit existieren.)

Physikalische Modelle werden durch ihr Ereignisgitter bestimmt . Die Menge der physikalischen Ereignisse bildet mit den beiden binären Operatoren, die als ODER und UND zwischen Ereignissen dienen, ein algebraisches Gitter. Wir nehmen an, dass das Ereignisgitter sigma-additiv und orthomodular ist. Wir nennen dieses Gitter die Logik des Modells. In diesem Sinne sind Ereignisse die Elemente der Logik. Systemzustände sind Wahrscheinlichkeitsmaße über dieser Algebra. Physikalische Größen sind Abbildungen zwischen Aussagen über Messungen einer Größe (denken Sie an Borel-Mengen der Realzahlen) und der Logik.

Die Logik eines klassischen Modells ist isomorph zu einer Mengenalgebra, also distributiv ( a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) und umgekehrt) und vollständig atomar.

Die Logik eines Quantenmodells ist isomorph zum Gitter der Unterräume eines Hilbert-Raums und daher nicht distributiv, sondern auch vollständig atomar.

Das Obige allein reicht aus, um viele Merkmale zu erklären, die mit Quantenmodellen verbunden sind, einschließlich

• Realwertige physikalische Größen können als selbstadjungierte Operatoren dargestellt werden
• Vertauschungsbeziehungen
• Überlagerung von Zuständen
• die Schrödinger-Gleichung

Vielleicht kann uns die Beobachtung, dass es keine konsistente gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für konjugierte Freiheitsgrade gibt, sehr wohl versichern, dass wir es mit einem quantenmechanischen System zu tun haben.

Seite 372 des folgenden Papiers kann helfen, das Problem besser zu diskutieren. Es gibt so viel mehr Details und einige wertvolle Theoreme, die bewiesen sind.

Die statistische Interpretation der Quantenmechanik

Ich bin erstaunt, dass niemand zu erwähnen scheint, dass eine Quantentheorie Größen beschreibt, die diskrete Werte haben. Alle Größen, die auf makroskopischer Ebene kontinuierlich erscheinen, können in einer Quantentheorie nur diskrete Werte annehmen. Die Unterschiede werden durch "Teilchen" (Photonen etc.) "übermittelt". Das ist das Herzstück einer Quantentheorie.

Die Beschreibung der Zustände und wechselwirkenden Teilchen ist für die Gravitation nicht oder nur ansatzweise gelungen.