Energieerhaltung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Frage zu beantworten. Der Kürze halber werde ich ein bisschen handgewellt sein. Dazu wird tatsächlich noch geforscht.

Bestimmte Raumzeiten haben immer eine konservierte Energie. Dies sind die Raumzeiten, die einen sogenannten globalen zeitähnlichen (oder, wenn Sie supervorsichtig und pedantisch sein wollen, vielleicht null) Tötungsvektor haben. Mathe-Typen definieren dies als einen Vektor, dessen abgesenkte Form die Killing-Gleichung erfüllt:$\nabla_{a}\xi_{b} + \nabla_{b} \xi_{a} = 0$. Physiker werden das nur sagen$\xi^{a}$ist ein Vektor, der Zeit- (oder Null-) Translationen der Raumzeit erzeugt, und die Killing-Gleichung sagt uns nur, dass diese Translationen Symmetrien sindder Geometrie der Raumzeit. Wenn dies zutrifft, ist es ziemlich einfach zu zeigen, dass alle Geodäten eine Erhaltungsgröße haben, die mit der Zeitkomponente ihrer Verschiebung verbunden ist, die wir als potenzielle Gravitationsenergie des Beobachters interpretieren können (obwohl es einige neue relativistische Effekte gibt -- Beispielsweise sehen Sie im Fall von Objekten, die einen Stern umkreisen, eine Kopplung zwischen der Masse des Sterns und dem Drehimpuls des umlaufenden Objekts, die sich klassisch nicht zeigt). Die Tatsache, dass Sie hier eine konservierte Energie definieren können, hängt stark mit der Tatsache zusammen, dass Sie eine konservierte Energie in jedem Hamilton-System zuweisen können, in dem die Zeit nicht explizit in der Hamilton---> Zeitübersetzung erscheint, die eine Symmetrie der Hamilton-Mittel ist dass mit dieser Symmetrie eine Energieerhaltung verbunden ist.

Zweitens können Sie eine Oberfläche in der Raumzeit haben (aber nicht unbedingt die gesamte Raumzeit), die einen konservierten Tötungstangentenvektor hat. Dann folgt immer noch das Argument von oben, aber diese Energie ist eine Ladung, die auf dieser Oberfläche lebt. Da Integrale über einer Oberfläche durch den Satz von Gauß in Integrale über ein Volumen umgewandelt werden können, können wir in Analogie zum Gaußschen Gesetz diese Energien als Energie der Masse und Energie im Inneren interpretierendie Oberfläche. Wenn die Oberfläche eine konforme raumähnliche Unendlichkeit einer asymptotisch flachen Raumzeit ist, ist dies die ADM-Energie. Wenn es konform Null Unendlich einer asymptotisch flachen Raumzeit ist, ist es die Bondi-Energie. Sie können ähnliche Ladungen auch mit isolierten Horizonten in Verbindung bringen, da ihnen null Tötungsvektoren zugeordnet sind, und dies ist die Grundlage der quasi-lokalen Energien, die unter anderem von York und Brown ausgearbeitet wurden.

Was Sie nicht haben können, ist eine global definierte Tensorgröße, die man leicht mit der "Energiedichte" des Gravitationsfeldes in Verbindung bringen oder eine dieser Energien für eine allgemeine Raumzeit definieren kann. Der Grund dafür ist, dass man eine Zeit benötigt, um eine zur Zeit konjugierte Erhaltungsgröße zu assoziieren. Aber wenn es keine eindeutige Möglichkeit gibt, die Zeit anzugeben, und insbesondere keine Möglichkeit, die Zeit so anzugeben, dass sie eine Art Symmetrie erzeugt, dann gibt es keine Möglichkeit, mit diesem Verfahren fortzufahren. Aus diesem Grund haben sehr viele allgemeine Raumzeiten durchaus pathologische Züge. Es wird angenommen, dass nur ein sehr kleiner Teil der bekannten exakten Lösungen von Einsteins Gleichung viel mit Physik zu tun hat.

Die Energieeinsparung funktioniert perfekt in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Der gesamte Lagrange-Operator ist unter Zeitübersetzungen unveränderlich, und der Satz von Noether kann verwendet werden, um einen nicht-trivialen und exakten Erhaltungsstrom für Energie abzuleiten. Das einzige, was die allgemeine Relativitätstheorie ein wenig vom Elektromagnetismus unterscheidet, ist, dass die Zeittranslationssymmetrie Teil einer größeren Eichsymmetrie ist, sodass die Zeit nicht absolut ist und auf viele Arten gewählt werden kann. Es gibt jedoch kein Problem mit der Ableitung der Energieerhaltung in Bezug auf irgendeine gegebene Wahl der Zeittranslation.

Dieses Problem hat eine lange und interessante Geschichte. Einstein gab kurz nach der Veröffentlichung der Allgemeinen Relativitätstheorie eine gültige Formel für die Energie im Gravitationsfeld an. Die Mathematiker Hilbert und Klein mochten die Koordinatenabhängigkeit in Einsteins Formulierung nicht und behaupteten, sie sei auf eine triviale Identität reduziert. Sie beauftragten Noether mit der Ausarbeitung eines allgemeinen Formalismus für Naturschutzgesetze und behaupteten, dass ihre Arbeit ihre Ansicht unterstütze.

Die Debatte dauerte viele Jahre, insbesondere im Zusammenhang mit Gravitationswellen, von denen einige behaupteten, dass sie nicht existierten. Sie dachten, dass die linearisierten Lösungen für Gravitationswellen über Koordinatentransformationen dem flachen Raum entsprechen und dass sie keine Energie tragen. An einem Punkt zweifelte sogar Einstein an seinem eigenen Formalismus, aber später kehrte er zu seiner ursprünglichen Ansicht zurück, dass die Energieeinsparung Bestand hat. Das Problem wurde schließlich gelöst, als exakte nichtlineare Gravitationswellenlösungen gefunden wurden und gezeigt wurde, dass sie Energie transportieren. Seitdem wurde dies mit der Beobachtung der Verlangsamung von Doppelpulsaren in exakter Übereinstimmung mit der vorhergesagten Abstrahlung von Gravitationsenergie aus dem System sogar mit sehr hoher Genauigkeit empirisch verifiziert.

Die Formel für Energie in der Allgemeinen Relativitätstheorie wird normalerweise in Form von Pseudo-Tensoren angegeben, wie sie von Laundau & Lifshitz, Dirac, Weinberg oder Einstein selbst vorgeschlagen wurden. Wikipedia hat einen guten Artikel darüber und wie sie die Energieeinsparung bestätigen. Obwohl Pseudotensoren mathematisch strenge Objekte sind, die als Abschnitte von Strahlbündeln verstanden werden können, mögen manche Leute ihre scheinbare Koordinatenabhängigkeit nicht. Es gibt andere kovariante Ansätze wie das Komar-Superpotential oder eine allgemeinere Formel von mir , die den Energiestrom in Bezug auf den Zeittranslationsvektor angibt$k^{\mu}$wie

$J^{\mu}_G = \frac{1}{16\pi G} (k^{\mu}R - 2k^{\mu}\Lambda - 2{{k^{\alpha}}_{;\alpha}}^{\mu} + {{k^{\alpha}}_{;}}^{\mu}_{\alpha}+ {{k^{\mu}}_{;}}^{\alpha}_{\alpha})$

Trotz dieser allgemeinen Formulierungen der Energieerhaltung in der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es einige Kosmologen, die immer noch die Ansicht vertreten, dass die Energieerhaltung nur ungefähr ist oder nur in Spezialfällen funktioniert oder dass sie sich auf eine triviale Identität reduziert. In jedem Fall können diese Behauptungen widerlegt werden, entweder durch Studieren der Formulierungen, auf die ich verwiesen habe, oder durch Vergleichen der Argumente dieser Kosmologen mit analogen Situationen in anderen Eichtheorien, in denen Erhaltungssätze akzeptiert werden und analogen Regeln folgen.

Ein besonders umstrittener Bereich ist die Energieerhaltung in einer homogenen Kosmologie mit kosmischer Strahlung und einer kosmologischen Konstante. Trotz aller gegenteiligen Behauptungen lässt sich aus den allgemeinen Methoden eine gültige Formel für die Energieerhaltung in diesem Fall ableiten und ist durch diese Gleichung gegeben.

$E = Mc^2 + \frac{\Gamma}{a} + \frac{\Lambda c^2}{\kappa}a^3 - \frac{3}{\kappa}\dot{a}^2a - Ka = 0$

$a(t)$ist der universelle Expansionsfaktor als Funktion der Zeit, normalisiert auf 1 in der aktuellen Epoche.

$E$ist die Gesamtenergie in einem expandierenden Volumenbereich$a(t)^3$. Diese geht in einer vollkommen homogenen Kosmologie immer auf Null.

$M$ist die Gesamtmasse der Materie in der Region

$c$ist die Lichtgeschwindigkeit

$\Gamma$ist die auf die aktuelle Epoche normierte Dichte der kosmischen Strahlung

$\Lambda$ist die kosmologische Konstante, die als positiv angenommen wird.

$\kappa$ist die Gravitationskopplungskonstante

$K$ist eine Konstante, die für einen kugelförmigen geschlossenen Raum positiv, für einen hyperbolischen Raum negativ und für einen flachen Raum null ist.

Die ersten beiden Begriffe beschreiben die Energie in Materie und Strahlung, wobei sich die Materieenergie nicht ändert und die Strahlung abnimmt, wenn sich das Universum ausdehnt. Beides ist positiv. Der dritte Begriff ist "dunkle Energie", die derzeit als positiv gilt und etwa 75% der nicht-gravitativen Energie beiträgt, aber dies nimmt mit der Zeit zu. Die letzten beiden Terme stellen die Gravitationsenergie dar, die negativ ist, um die anderen Terme auszugleichen.

Diese Gleichung gilt als Folge der bekannten kosmologischen Friedmann-Gleichungen , die aus den Einstein-Feldgleichungen stammen, also ist sie keineswegs trivial, wie einige Leute behauptet haben.

Um mit Jerry Schirmer fortzufahren, definiert der Killing-Vektor Isometrien auf einer Mannigfaltigkeit. Wenn es einen Tötungsvektor gibt$K_t~=~\partial/\partial t$das bedeutet den Schwung$K_t\cdot P~=~$Konstante. Dies ist dann eine Aussage, die als Konstanz einer beobachtbaren etikettierten Energie interpretiert werden kann. Als Faustregel gilt, wenn eine metrische Komponente explizit Zeit beinhaltet, und zum Beispiel$K_t~\propto~\sqrt{g_{tt}(t)}$nicht richtig ist oder die Wirkung dieses Vektors keine Isometrie ist.

Dies geschieht mit der FLRW-Gleichung der Kosmologie. In einer de Sitter-Form haben wir

$$ds^2~=~dt^2~-~e^{\sqrt{\Lambda/3}t}(dr^2~+~r^2d\Omega^2),$$ was eine Zeitabhängigkeit hat. Wir können also keine Energieerhaltung aus Grundprinzipien ableiten. Die Ricci-Krümmung ist $R_{\mu\nu}~=~\Lambda g_{\mu\nu}$, und für $k~=~0$die räumliche Krümmung ist Null. Die kosmologische Konstante ist abhängig von der Vakuumenergiedichte plus Drucktermen. Mit der Zustandsgleichung $p~=~-\rho$, die Beobachtungsdaten ziemlich gut annähert, kann man einige detaillierte Balancearbeiten durchführen, um zu zeigen, dass das Universum ein reines Nichts ist und dies auch bleibt.

Hat dies etwas Tieferes als nur eine "detaillierte Bilanz"? Es könnte sein, und ich vermute, dass Phillips Analyse damit zusammenhängt. Die deSitter-Metrik ist eine zeitabhängige konforme Theorie einer flachen Metrik$g'~=~\Omega^2g$das Linienelement für$g'$

$$ds^2~=~\Omega^2(du^2~-~d\sigma_{space}^2).$$ Allerdings für die Zeitvariable $du^2~=~\Omega^{-2}dt^2$ $\Omega$ist zeitabhängig u $$ds^2~=~dt^2~-~\Omega^2(t)d\sigma_{space}^2.$$ Dies stellt die de Sitter-Metrik für wieder her $\Omega^2(t)~=~exp(\sqrt{\Lambda/3}t)$. Die de Sitter-Raumzeit ist dann konform äquivalent zu einer flachen Raumzeit, die trivialerweise a hat $K_t~=~\partial/\partial t$. Die Raumzeit beobachten wir also mit der Zustandsgleichung $p~=~-\rho$ist eine Klasse von Raumzeiten, die konform zur flachen Raumzeit sind und die auch erhalten $E~=~constant$. Ich denke, dass Phillips Arbeit zu diesem Thema diesen Sonderfall konformer Raumzeiten hervorhebt.