Effektives Potential in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Question

Effektives Potential in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Ernesto López Fune

Ich möchte ein Konzept über das effektive Potential in der Allgemeinen Relativitätstheorie verdeutlichen, wenn der Begriff der kinetischen Energie nicht einheitlich ist.

Angenommen (in sphärischen Koordinaten) hat man ein generisches Linienelement der Form

D S^{2} = - e^{v (R)} D T^{2} + e^{- v (R)} F (R) D R^{2} + R^{2} D Ω^{2}

$ds^{2}=-e^{\nu(r)}dt^{2}+e^{-\nu(r)}f(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}$

Sein $d\Omega^{2}=d\theta^{2}+\sin^{2}\theta\;d\phi^{2}$ das übliche Raumwinkelelement und die Funktionen $\nu(r)$ Und $f(r)$ sind stetige Funktionen, die nur von der radialen Koordinate abhängen $r$ , so dass wenn $r\gg r_{0}$ , Sein $r_{0}$ eine bestimmte Längenskala: $f(r\gg r_{0})=1$ .

Für ein massives Teilchen, das sich frei in einer solchen Raumzeit bewegt, lautet die Energieerhaltungsgleichung wie folgt:

\frac{1}{2} E^{2} = \frac{1}{2} F (R) {\dot{R}}^{2} + \frac{1}{2} e^{v (R)} (1 + \frac{L^{2}}{R^{2}}) .

$\dfrac{1}{2}E^{2}=\dfrac{1}{2}f(r)\;\dot{r}^{2}+\dfrac{1}{2}e^{\nu(r)}\left(1+\dfrac{L^{2}}{r^{2}}\right).$

Wie man hier das effektive Potential ablesen kann $V_{\text{eff}}(r)$ vorausgesetzt, dass der kinetische Term aufgrund des Vorhandenseins des Faktors nicht einheitlich ist $f(r)$ ?

QMechaniker

Kommentar zur Frage (v1): Man kann zeigen, dass Einsteins Gleichungen im Vakuum implizieren, dass die Funktion

f (r)

$f(r)$ ist eine Konstante unabhängig von

r

$r$ , wodurch die Frage von OP innerhalb von Vakuumsektoren der Raumzeit gelöst wird.

Ernesto López Fune

@Qmechanic danke für die Kommentare, aber ich frage im Allgemeinen. Angenommen, man muss den Bewegungszustand eines generischen massiven Teilchens beschreiben, das sich frei in dieser Raumzeit bewegt, wobei die Metrik mit dem gegebenen Linienelement gemessen wird. Dies ist ein typisches geometrisches Problem, das zumindest a priori keine Gravitationstheorie beinhaltet.

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Effektives Potential in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Kommentar zur Frage (v1): Man kann zeigen, dass Einsteins Gleichungen im Vakuum implizieren, dass die Funktion $f(r)$ ist eine Konstante unabhängig von $r$ , wodurch die Frage von OP innerhalb von Vakuumsektoren der Raumzeit gelöst wird.
@Qmechanic danke für die Kommentare, aber ich frage im Allgemeinen. Angenommen, man muss den Bewegungszustand eines generischen massiven Teilchens beschreiben, das sich frei in dieser Raumzeit bewegt, wobei die Metrik mit dem gegebenen Linienelement gemessen wird. Dies ist ein typisches geometrisches Problem, das zumindest a priori keine Gravitationstheorie beinhaltet.

Leere · Answer 1

Die Antwort ist einfach, dass nicht jede Raumzeit ein entsprechendes effektives Potenzial in dem Sinne hat, dass wir eine Koordinate haben $x$ so dass $\dot{x}=\sqrt{2(E-V_{eff})}$ .

Aber das gilt sogar in der Newtonschen Mechanik, betrachten Sie ein Problem mit einer Lagrange-Funktion

L = \frac{M}{2} ({\dot{R}}^{2} + R^{2} {\dot{φ}}^{2}) - v (φ)

$L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) - V(\varphi)$ Offensichtlich,

p_{r} \equiv m \dot{r}

$p_r\equiv m \dot{r}$ ist ein Integral der Bewegung, und die resultierende Bewegung ist effektiv eindimensional, aber wir werden nicht in der Lage sein, sie auszudrücken

\dot{φ}

$\dot{\varphi}$ als

\sim \sqrt{E - V_{e f f}}

$\sim \sqrt{E - V_{eff}}$ , werden wir eher erhalten

\dot{φ} = \frac{\sqrt{2 (E - v_{e F F})}}{R}

$\dot{\varphi}= \frac{\sqrt{2(E-V_{eff})}}{r}$ Wo

V_{e f f} = p_{r}^{2} / (2 m) + V (φ)

$V_{eff}=p_r^2/(2m) + V(\varphi)$ , Und

E

$E$ ist natürlich der konservierte Hamiltonoperator.

Hier der Unterschied $E-V_{eff}$ kann verwendet werden, um erlaubte Bewegungsbereiche zu untersuchen, weil $r$ ist immer positiv.

Dasselbe gilt für das von Ihnen erwähnte Beispiel, zumindest wenn die Funktion $f(r)$ ist immer positiv. Sie können ein effektives Potenzial definieren als $\mathcal{V}_{eff} = e^\nu(1 + L^2/r^2)$ , und Ihre Radialgeschwindigkeit wird dann sein

\dot{R} = \sqrt{\frac{E^{2} - v_{e F F}}{F (R)}}

$\dot{r} = \sqrt{\frac{E^2 - \mathcal{V}_{eff}}{f(r)}}$ Dh durch Plotten

E^{2} - V_{e f f}

$E^2 - \mathcal{V}_{eff}$ Wenn Sie feststellen, wo es über Null liegt, können Sie die zulässigen Bewegungsbereiche für das Partikel bestimmen. (Die Extrema von

V_{e f f}

$\mathcal{V}_{eff}$ gibt Ihnen auch kreisförmige Umlaufbahnen usw.)

Die Moral ist jedoch, dass in der Relativitätstheorie (oder für Geodäten auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten, wenn Sie möchten) das Konzept des effektiven Potenzials zunehmend zerbrechlich und konventionell wird. Um zu sehen, wie das Konzept des effektiven Potentials in den komplizierteren Fall der Kerr-Raumzeit eingeführt werden kann, empfehle ich die entsprechenden Kapitel in Misner, Thorne und Wheeler.

Effektives Potential in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Ernesto López Fune

QMechaniker

Ernesto López Fune

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