Warum verrichtet eine Kraft keine Arbeit, wenn sie senkrecht zur Bewegung steht?

Wie von SchrödingersCat erklärt, ist die Arbeit mathematisch proportional zum Skalarprodukt aus Kraft und Linienelement. Senkrecht zur Bahn wirkende Kräfte tragen daher nicht zur Arbeit bei.

Jetzt möchten Sie vielleicht fragen, warum Arbeit so definiert wird. Ich möchte diese Definition an Ihrem Beispiel des Mondes begründen.

In der Physik ist Arbeit eng mit Energie verbunden: Wenn Sie die Energie eines Objekts verändern wollen, müssen Sie im Grunde daran arbeiten . Nun, im Fall des Mondes gibt es zwei relevante Energien, (1) kinetische Energie des Mondes, bezogen auf die Größe (aber nicht Richtung) der Geschwindigkeit des Mondes, dh seiner Geschwindigkeit; und (2) Gravitationsenergie bezogen auf die Position des Mondes im Gravitationsfeld der Erde; dieser hängt von der Entfernung Mond-Erde ab.

Da für (1) senkrechte Kräfte die Größe der Geschwindigkeit nicht ändern (nur ihre Richtung), sollte die senkrechte Kraft nicht in die Arbeitsgleichung eingehen (da sie nicht zur Energieänderung beiträgt).

Denn (2) wenn man den Mond immer senkrecht zur Richtung der Gravitationskraft verschiebt, bleibt man im gleichen Abstand, dh auf der gleichen Gravitationspotentialenergie. Daher ändern solche senkrechten Verschiebungen die Energie nicht und sollten nicht in den Ausdruck für Arbeit eingehen.

Tatsächlich wurde Arbeit oder "Arbeit", wie wir es in der Physik meinen , mathematisch definiert als

$$W=\int_{x_1}^{x_2}\vec F\cdot d\vec{s}$$ Also wenn $\vec{F}$und $d\vec{s}$sind orthogonale Vektoren, das heißt, der Winkel zwischen den Vektoren ist $90^\circ$, dann wird nach obiger Formel körperlich keine Arbeit geleistet ; in diesem Fall von der Erde auf dem Mond.

Wie @SchrodingersCat erklärte, wird das System nicht bearbeitet, wenn die Kraft orthogonal zur Verschiebung ist. Ich möchte die Antwort jedoch etwas weiter ausführen.

Was ist die physikalische Bedeutung der Darstellung der an einem Körper verrichteten Arbeit durch das Skalarprodukt aus Kraft und Verschiebung des Objekts?

Ein Objekt kann sich auch ohne eine Kraft bewegen (das erste Newtonsche Gesetz besagt darüber), die Bewegung wird jedoch eine unbeschleunigte sein. Ein Körper könnte sich also auch ohne Kraft verschieben. Wenn Sie klassische Mechanik studiert haben, haben Sie vielleicht gehört, dass der lineare Impuls der Generator der Translation ist, nicht die Kraft.
Zu sagen, eine Arbeit soll durch eine Kraft auf das Objekt verrichtet werden, es sollte eine Wirkung haben ^[1] ..... auf das Objekt, richtig? Jede dynamische Eigenschaft (wie in diesem Fall die Wirkung einer Kraft) wird durch eine zeitliche Änderung der Positionskoordinate des Objekts (deren Reihenfolge je nach dynamischer Größe variiert) dargestellt, da die Position etwas sehr Grundlegendes in der Dynamik ist.
Wenn die Kraft eine gewisse Wirkung auf das Objekt hat (was natürlich eine Beschleunigung ist), dann trägt diese Kraft zu einer gewissen Verschiebung entlang der Richtung der ausgeübten Kraft bei (selbst wenn bereits eine Bewegung in eine andere Richtung vorhanden ist). In einem solchen Fall kann die Wirkung der Kraft auf den Körper gemessen werden, indem die Komponente der resultierenden (oder Netto-, wenn Sie darauf bestehen) Verschiebung entlang der Richtung der ausgeübten Kraft genommen wird. Die von einer Kraft geleistete Arbeit ist also definiert als das Produkt der aufgebrachten Kraft mit der durch diese Kraft verursachten Verschiebungskomponente. Dies kann erreicht werden, indem das Skalarprodukt der beiden Vektoren – Kraft und Nettoverschiebung – genommen wird.

Was bedeutet es also, dass keine Arbeit geleistet wird, wenn Kraft und Verschiebung orthogonal sind?

In der euklidischen Geometrie implizieren orthogonale Vektoren zueinander senkrechte Vektoren. Der eigentliche Sinn ist jedoch, dass die beiden Vektoren unabhängig sind. Das bedeutet, dass das eine keine gemeinsame Komponente mit dem anderen hat, was gemäß den obigen Diskussionen besagt, dass ein Vektor keine Auswirkung auf den anderen hat. Die aufgetretene Verschiebung ist also nicht auf die gegebene Kraft zurückzuführen. Geometrisch ist das nur möglich, wenn Kraft und Weg senkrecht stehen, so dass ihr Skalarprodukt verschwindet. Aus diesem Grund wird am System keine Arbeit verrichtet, wenn die aufgebrachte Kraft und die resultierende Verschiebung senkrecht zueinander stehen.

Diese senkrechte Kraft könnte jedoch die Bewegungsrichtung des Körpers beeinflussen (da eine Kraft auf einen Körper ihn irgendwie beschleunigen sollte). Es ist also keine Arbeit erforderlich, um die Richtung eines Körpers zu ändern, obwohl dies nur durch eine Kraft geschieht. In einem solchen Fall gibt es keine Verschiebung aufgrund der aufgebrachten Kraft, sondern nur eine Richtungsänderung, deren Wirkung durch das Drehmoment auf den Körper (das Rotationsanalog der Kraft) definiert wird.

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[1]: „Wirkung“ wird im vorliegenden Zusammenhang verwendet, um alles zu implizieren, was zur Arbeit beitragen kann. Wir können nicht sagen, dass die Kraft keine Wirkung auf das Objekt hat. Es könnte den Körper beschleunigen, auch wenn aufgrund dieser Kraft keine Verschiebung stattgefunden hat, nämlich durch Änderung der Bewegungsrichtung.

Hintergrund

Das grundlegende physikalische Prinzip bezüglich der Energie eines Systems ist, dass sich die Energie ändert, wenn Arbeit an dem System verrichtet wird, oder das System an einem anderen System arbeitet. Die Arbeit kann die Gesamtenergie des Systems entweder erhöhen (positive Arbeit) oder verringern (negative Arbeit).

Kräfte sind die Agenten der Arbeit. Nur äußere Kräfte können die Gesamtenergie eines Systems verändern. Innere Kräfte bewirken einen Energieaustausch zwischen Teilen des Systems.

Betrachten wir ein System, den Mond (nur). Die Anziehungskraft der Erde kann Arbeit an dem System leisten. Das würde die Gesamtenergie des Mondes ändern, was in diesem Fall einfach eine Änderung der kinetischen Energie wäre. Was bedeutet eine Änderung der kinetischen Energie? Dies bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit des Objekts geändert hat.

Der Mond

Wenn sich der Mond auf einer kreisförmigen Umlaufbahn bewegt, ist die Momentangeschwindigkeit des Mondes immer senkrecht zur Momentanbeschleunigung, also gemäß der (richtigen) Definition von Arbeit in anderen Antworten.

$$W=\int \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s},$$ die arbeit ist null.

Ihre Frage

Sie haben gefragt

Warum wird keine Arbeit verrichtet, wenn die Stützkraft senkrecht zur Bewegung steht?

Das heißt, was ist das physikalische Verhalten, das besagt, dass die senkrechte Kraft die Energie nicht ändert?

Da die Energieänderung (durch verrichtete Arbeit) eine Änderung der kinetischen Energie ist, muss die Kraft die Geschwindigkeit der Objekte im System ändern. Beschleunigungen senkrecht zur Momentangeschwindigkeit ändern nur die Richtung, nicht die Geschwindigkeit. Um die Geschwindigkeit zu ändern, muss eine Beschleunigungskomponente vorhanden sein, die nicht senkrecht ist.

Eine Nebenbemerkung zur potentiellen Energie

Potentielle Energie ist eine Systemenergie. Wenn Ihr System nur der Mond ist, gibt es keine potenzielle Gravitationsenergie. Wenn Ihr System Erde und Mond ist, dann kann man die Gravitationsenergie aufgrund der Wechselwirkung der beiden berücksichtigen. Aber bei der Berücksichtigung von Arbeit ist es eine Entweder-Oder-Situation: Entweder man misst Energie als Summe aus Kinetik und Potential, oder man betrachtet nur die Kinetik, modifiziert durch die durch die Gravitationswechselwirkung geleistete Arbeit. Sie können nicht beide gleichzeitig zählen, da eine potenzielle Energieänderung als das Negative der Arbeit definiert ist, die von einer konservativen Kraft (in diesem Fall der Gravitation) geleistet wird, wenn sich die relativen Positionen der interagierenden Objekte ändern.

Wie andere bereits erwähnt haben, ist die Arbeit (in 3D) an einem System definiert als das Skalarprodukt zwischen der Kraft auf das System und seiner Verschiebung. Stehen sie senkrecht, wird keine Arbeit geleistet.

In Bezug auf die Intuition bedeutet dies, dass die Kraft das System (in Ihrem Fall den Mond) "umleitet", jedoch so, dass einige der Partikel beschleunigt und einige bei der Umleitung verlangsamt werden, so dass das Netz Das Ergebnis ist, dass die Gesamtenergie des Mondes dieselbe ist wie früher. Der Mond ist gezwungen, sich kreisförmig zu bewegen, aber so, dass seine Energie an jedem Punkt gleich bleibt (zumindest in dem extrem einfachen Modell, das Sie annehmen).

Ich sehe, dass die meisten Poster diese Frage im Sinne der üblichen Definition von Arbeit beantwortet haben. Das ist soweit in Ordnung, aber vielen Menschen erscheint die Definition von Arbeit zunächst etwas willkürlich.

Eine Alternative wäre die Behandlung des Arbeits-Energie-Theorems

$$W_\text{net} = \Delta T \;,$$ (mit $T$die kinetische Energie) als erwartetes Verhalten (weil es beim Aufbau des Erhaltungsgesetzes aus den Newtonschen Prinzipien wesentlich ist und das Erhaltungsprinzip so nützlich ist) und verwenden Sie dies, um die Form abzuleiten, die die Arbeit annehmen muss, und zeigen Sie so den Grund für das Skalarprodukt.

Was folgt, ist nur ein Umriss.

• Die geradlinige Version gibt uns$W_\parallel = F_\text{net} \,\Delta x$.
• Eine gleichmäßige Kreisbewegung zeigt uns, dass die Geschwindigkeit (und damit die kinetische Energie) nicht durch Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung geändert wird. Das ist$W_\perp = 0$.
• Wir können dann jede Nettokraft in ihre parallelen und senkrechten Komponenten zerlegen und feststellen, dass die Arbeit vollständig von der parallelen stammt, so dass das Schreiben der Arbeit in Bezug auf das Skalarprodukt ein natürlicher Schritt wird.

Dies führt uns auch zum wesentlichen physikalischen Inhalt dieser Definition: Kräfte, die senkrecht zur Bewegungsrichtung aufgebracht werden, ändern die Geschwindigkeit des Objekts nicht und sind auf diese Weise anders als Kräfte, die entlang (oder entgegen) der Bewegungsrichtung wirken.

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Auf einem höheren Niveau der Ausgereiftheit würde man den Satz von Noether als Postulat verwenden und von dort aus weiterarbeiten.

Ich denke du hast Recht @Shrodingers Katze. Es wäre besser, die Antwort auf diese Weise zu verdeutlichen.

Verrichtete Arbeit (w) = F . d

                         = F d Cos θ

Bei 90 Grad ist θ = 90 und Cos 90 = 0,

W = F x dx Cos 90

= F x d x 0 = 0 Joule.

Wenn also die Kraft senkrecht auf die Oberfläche ausgeübt wird, ist die verrichtete Arbeit null.

Wie andere schon erklärt haben. Nun , das liegt daran, dass es keine Verschiebung in Richtung der Gravitationskraft gibt . Es wird angenommen, dass die Umlaufbahn während unserer Beobachtung gleich bleibt. Die Erde zieht den Mond in Richtung Zentrum, aber der Mond bewegt sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn, ohne Verschiebung in Richtung Zentrum.

Eine einfache Analogie ist ein Block, der aus einer bestimmten Höhe gelöst wird. Wenn es nun herunterfällt, wirkt die Gravitationskraft auf es ein, indem es es über eine Distanz nach unten zieht und seine kinetische Energie erhöht. Nehmen wir nun an, dass Sie bei der Abwärtsbewegung eine konstante horizontale Kraft nach rechts anwenden, jetzt bewegt sich der Block aufgrund der resultierenden Kraft aufgrund der beiden Kräfte auf einem schrägen Pfad. Wenn wir nun die horizontale Bewegung betrachten, ist die Gravitationskraft nicht die Ursache dafür, es ist einfach Ihre Hand. Ihre Hand arbeitet also für die horizontale Verschiebung, nicht für die vertikale, die durch die Schwerkraft erfolgt.

Im Fall des Mondes ist die Gravitationskraft der Erde also nicht die Ursache dafür, warum sie sich im Kreis bewegt, sie liefert nur die notwendige Zentripetalkraft, und die Zentripetalkraft verursacht keinerlei Verschiebung zum Mond.

Falls Sie an einem eher mathematischen Ansatz interessiert sind, kann dies tatsächlich vollständig anhand der Geometrie bewiesen werden. Um dies zu beweisen, müssen Sie einige Dinge über Vektoren wissen.

Wenn$\vec v=(v_x,v_y,v_z)$ist dann der Geschwindigkeitsvektor des Mondes$v_x$,$v_y$und$v_z$stellen die Komponenten der Geschwindigkeit in x-, y- und z-Richtung dar.

Sie können die Geschwindigkeit des Mondes berechnen, indem Sie die Länge des Geschwindigkeitsvektors berechnen

$$v=|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$$ Wenn Sie die Länge quadrieren, erhalten Sie $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$, die ich später verwenden werde. Als letztes wird das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren definiert $$\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|a||b|\cos \alpha$$ $\alpha$ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Dies bedeutet, dass das Skalarprodukt null ist, wenn die beiden Vektoren senkrecht stehen

Nachweisen

Wenn auf dem Mond keine Arbeit verrichtet wird, muss die kinetische Energie konstant sein. Also muss die Ableitung der kinetischen Energie Null sein. Also nehmen wir die Ableitung, indem wir unsere anwenden$v^2$Substitution und Entfernen der Konstanten aus der Ableitung.

$$\frac{dKE}{dt}=\frac{d}{dt}(\tfrac{1}{2}mv^2)=\tfrac{1}{2}m\cdot\frac{d}{dt}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$$ Wenden Sie dann die Kettenregel auf jede der Komponenten an. $$\frac{d}{dt}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)=2v_x\frac{dv_x}{dt}+2v_y\frac{dv_y}{dt}+2v_z\frac{dv_z}{dt}=2v_xa_x+2v_ya_y+2v_za_z$$ Darin erkennen wir das Skalarprodukt: $$\frac{d}{dt}v^2=2\vec v\cdot\vec a$$ So wird die Ableitung der kinetischen Energie $$\frac{dKE}{dt}=m\vec v\cdot\vec a$$

Wenn die Umlaufbahn kreisförmig ist, steht die Geschwindigkeit immer senkrecht zur Beschleunigung (und der Kraft). Die kinetekische Energie ändert sich also nicht und auf dem Mond wird keine Arbeit geleistet.