Wann ist die Lebesgue-Integration gegenüber der Riemann-Integration in der Physik nützlich?

Die Riemann-Integration ist für die Physik im Allgemeinen in Ordnung, da die behandelten Funktionen dazu neigen, differenzierbar zu sein und sich gut zu verhalten. Trotzdem ist es möglich, dass die Lebesque -Integration selbst in physikalischen Situationen, die durch die Riemann-Integration gelöst werden können, leistungsfähiger eingesetzt werden kann. Also meine Fragen sind:

Wann ist die Lebesque-Integration bei der Lösung physikalischer Probleme nützlich gegenüber der Riemann-Integration?

Antworten (3)

Ein wichtiges Beispiel in der Quantenmechanik ist zB der Hilbertraum

H   =   L 2 ( R 3 )

von quadratintegrierbaren Lebesgue-Wellenfunktionen ψ im Positionsraum R 3 . Die quadratintegrierbaren Lebesgue-Funktionen (im Gegensatz zu den quadratintegrierbaren Riemann-Funktionen) werden benötigt, um den Hilbert-Raum in Bezug auf die Quadratnorm zu vervollständigen

| | ψ | | 2   :=   ∫ d 3 x   | ψ ( x ) | 2 .

Zur Vollständigkeit siehe auch diesen Phys.SE Beitrag.

Für Physiker, die in ihrer Analyse etwas eingerostet sind und die diesen Wiki-Link dicht finden, füge ich hinzu: "Vollständigkeit" bedeutet, dass bei einer gegebenen Folge von Vektoren (quadratisch integrierbare Funktionen aus R 3 zu C in unserem Fall) sich willkürlich "nahe" kommen, gibt es eine Grenze, der sie sich nähern, und diese Grenze liegt selbst in unserem Raum. So können wir unendliche Summen schreiben und wissen, dass wir über etwas wohldefiniertes sprechen.

Theoretisch: Lebesgue-integrierbare Funktionen bilden einen Banachraum, Riemann-integrierbare Funktionen nicht. Dies führt zB in der Quantenmechanik zu Problemen, wenn wir versuchen, mit Riemann-integrierbaren Funktionen anstelle von Lebesgue-integrierbaren Funktionen zu arbeiten...

(Wir wollen, dass die Funktionen einen Banachraum bilden, damit wir die gute altmodische lineare Algebra verwenden können, um Probleme zu lösen!)

Wann ist es wichtig? Nehmen

χ Q ( x ) = { 1 x ∈ Q 0 Ö t h e r w ich s e
Es ist Lebesgue-integrierbar, aber nicht Riemann-integrierbar.

Die Riemann-Integration kann nicht über unendliche Intervalle erfolgen, z. B. ∫ 0 ∞ f ( x ) d x ist für die Riemann-Integration unzulässig.

Auf der anderen Seite, s ich n c ( x ) ist Riemann integrierbar, aber nicht Lebesgue integrierbar.

All dies sind maßtheoretische Aussagen, die für physikalische Erklärungen irrelevant sind, deren sich Mathematiker aber bewusst sind. Folglich...

In der Praxis: Für den physikalischen Alltag ist die "symbolische Integration", die Sie in der Analysis lernen, vollkommen in Ordnung. Auch wenn Physiker sagen „Wir arbeiten mit L 2 ( X ) ..." denken wir "symbolisch" über Integration nach.

Nur wenn Sie daran arbeiten, den integralen Pfad rigoros zu gestalten, müssen Sie vorsichtig sein mit "Was Sie mit Integration meinen ...".

Würde nicht ∫ 0 ∞ f ( x ) d x als uneigentliches Riemann-Integral definierbar sein, dh lim a → ∞ ∫ 0 a f ( x ) d x , für eine vernünftige Funktion?
Für "vernünftigste Funktionen" (z. B. Kontinuität auferlegen oder so) ist das wahr. Um Ihre Frage zu beantworten: (a) für Maßtheoretiker nein; (b) für Physiker, ja. Es ist nur ... Ich habe als Maßtheoretiker geantwortet, da es sich um eine maßtheoretische Frage handelt: S

Auch hier möchte ich auf ein ganz praktisches Beispiel hinweisen. Sie müssen möglicherweise auch die Reihenfolge der Integration und Summierung ändern, oder Integration und Ableitung sind einige Berechnungen, dh ∫ d x ∑ n → ∑ n ∫ d x , oder ∫ d x ∂ / ∂ t → ∂ / ∂ t ∫ d x . Während dies bei der Riemann-Integration ein Problem darstellt, funktioniert es beim Lebesgue-Integral unter bestimmten Annahmen, die in physikalischen Systemen normalerweise erfüllt sind.

Wann ist die Lebesgue-Integration gegenüber der Riemann-Integration in der Physik nützlich?
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