Wie kann ich feststellen, ob die Masse eines Objekts gleichmäßig verteilt ist?

Wie kann ich feststellen, ob die Masse eines Objekts gleichmäßig verteilt ist, ohne bleibende Schäden zu verursachen? Angenommen, ich habe alle typischen Laborgeräte. Ich denke, ich kann seinen Massenschwerpunkt berechnen und mit dem Experimentergebnis vergleichen oder unter anderem sein Trägheitsmoment messen, aber gibt es eine Möglichkeit, 99,9% sicher zu sein?

Vielleicht mit einer hydrostatischen Waage und dem Archimedischen Prinzip?
Ich denke, das ist sehr schwierig, wenn man pathologische oder böswillige Fälle zugibt. Rohrmonteure und Schiffsbauer und dergleichen machen intensiven Gebrauch von Röntgen- und Gammastrahlen-Bildgebung, Schallbildgebung und anderen "zerstörungsfreien Test"-Techniken. Es ist ein großes Feld für sich.
Ich verstehe die Frage so, dass wir davon ausgehen, dass das Objekt starr ist. Andernfalls könnten wir es schütteln, mit Ultraschall untersuchen oder herausfinden, dass es Gyroskope oder mexikanische Springbohnen enthielt.
@BenCrowell Nun, Ultraschall würde den Unterschied in Mai erkennen, aber beinhaltet Alex '"typische Laborausrüstung" Ultraschall? Wenn andererseits das ideale Objekt schön klingt, wenn es von einem Hammer getroffen wird, ist meine Konstruktion wahrscheinlich auf diese Weise erkennbar.
Die nicht starre Version ist möglicherweise in der Praxis nützlich, scheint sich jedoch nicht für eine eindeutige Antwort zu eignen, die auf dieser Website gegeben werden könnte. Übrigens ist es mir nicht klar, wie ich das auf die Relativitätstheorie verallgemeinern soll, da man in der Relativitätstheorie grundsätzlich keine starren Objekte haben kann.
Denken Sie einmal darüber nach, wenn Sie einige perfekte Beispiele zum Vergleich haben, ist das Klingelverhalten unter einem genau definierten Aufprall ein leistungsfähiger Test, der mit recht einfachen Werkzeugen durchgeführt werden kann. Ein wiederholbarer Drop-Mallet und ein PC mit gutem Mikrofon könnten ausreichen ...
Wenn es Ihnen erlaubt ist, über starre Trägheit hinauszugehen, gibt es viele Methoden, um einfache Betrügereien wie das Gegenbeispiel von dmckee zu entlarven. Man könnte die Wärmeleitfähigkeit zwischen zwei eng benachbarten Punkten mit der zwischen zwei Antipoden vergleichen oder seine Verformung bei infinitesimaler Kompression beobachten. Oder röntgen Sie das Ding, duh .
@leftaroundabout Ja, jede Art von Tomographie würde es tun. Und ich denke, dass wir "typische Laborausrüstung" nehmen können, um mindestens ein Ohmmeter und wahrscheinlich genug Bits zu enthalten, um auch eine ungefähre Wärmeleitfähigkeit zu erhalten.

Antworten (5)

Bösartiges Gegenbeispiel

Das gewünschte Objekt ist eine Kugel mit Radius R und Masse M mit gleichmäßiger Dichte ρ = M v = 3 4 M π R 3 und Trägheitsmoment ich = 2 5 M R 2 = 8 fünfzehn ρ π R 5 .

Jetzt entwerfen wir ein falsches Objekt, das ebenfalls kugelsymmetrisch ist, aber aus drei Regionen unterschiedlicher Dichte besteht

ρ f ( r ) = { 2 ρ   , r ∈ [ 0 , r 1 ) 1 2 ρ   , r ∈ [ r 1 , r 2 ) 2 ρ   , r ∈ [ r 2 , R )

Wir haben zwei Zwangsbedingungen (Gesamtmasse und Gesamtträgheitsmoment) und zwei Unbekannte ( r 1 und r 2 ), damit wir eine Lösung finden, die unser gewünschtes Objekt perfekt nachahmt.

Ich bin mir nicht sicher. Sie sprechen über das Trägheitsmoment um sein Zentrum. Indem wir das Trägheitsmoment um eine außermittige Achse messen, scheint es mir, dass wir die gleichförmige Kugel von Ihrem böswilligen Gegenbeispiel unterscheiden könnten. (Lassen Sie mich hier nur ein wenig rechnen ...)
@Mike: Nach dem Parallelachsensatz können Sie auf diese Weise keine zusätzlichen Informationen erhalten.
Nun, die Gravitationseffekte des bösartigen Gegenbeispiels sind anders :)
@ Ben Crowell. Ja, ich stimme zu. Ich musste mich nur daran erinnern, was der Parallelachsensatz sagte. :) +1 an dmckee
@Manisharth. Ich werde mich erlösen, indem ich auf den Satz von Birkhoff hinweise, der besagt, dass die Gravitationseffekte (außerhalb des Körpers) gleich sind.
@Mike: Ich sehe die Verbindung nicht ... Berechne es selbst :)
@Manishearth: Nein. In der Newtonschen Gravitation (wie in E & M) zeigt Ihnen das Gaußsche Gesetz, dass es nur von der eingeschlossenen Gesamtmasse abhängt (solange das System kugelsymmetrisch ist. Selbst in GR ist die Gravitation außerhalb eines kugelsymmetrischen Körpers unabhängig von der Verteilung innerhalb des Körpers .
In GR konnte man die Kugel drehen. Dann würde Birkhoff sich nicht bewerben, und ich denke, Sie würden geodätische und Frame-Draging-Effekte erhalten, die in den beiden Fällen unterschiedlich sein könnten. Auch in SR ist die Rotationsdynamik anders, und in jedem Fall kann sie nicht wie angenommen vollkommen starr sein.
Bei weniger symmetrischen Anordnungen könnten die Gravitationseffekte im Nahfeld unterschiedlich sein, aber da dies ein bösartiger Fall ist, habe ich es mir maximal einfach und Alex maximal schwer gemacht. Bhahahaha! ::Turban mit Spitze in der Mitte::
Nun, ich hatte gedacht, ich könnte einfach mehrere Möglichkeiten ausprobieren, und jeder böswillige Fall muss eine davon scheitern ... aber dafür kann ich mir innerhalb der Newtonschen Mechanik keine wirklich vorstellen. Danke
@AlexSu Wie ich in den Kommentaren zur Hauptfrage sagte, wäre das Klingelspektrum beim Schlagen anders. Ich kenne keine handelsübliche Software, die das Problem für Sie löst, aber das Problem ist nicht besonders schwierig.
Während Sie zwei Gleichungen und zwei Unbekannte haben, sind die Gleichungen nicht linear: Die Moi-Gleichung enthält r 1 5 und r 2 5 , während die Massengleichung enthalten wird r 1 3 und r 2 3 . Es ist also überhaupt nicht offensichtlich, dass die Gleichungen eine Lösung haben.

Wenn Sie eine starre Massenverteilung in einer schwarzen Box versiegelt haben, dann sind die einzigen Dinge, die Sie über ihre Bewegung beobachten können, ihr Geschwindigkeitsvektor und ihr Winkelgeschwindigkeitsvektor als Funktionen der Zeit. Diese können vorhergesagt werden, wenn Sie die wirkende Gesamtkraft und das Gesamtdrehmoment sowie die Masse, den Massenschwerpunkt und den Trägheitstensor kennen. Durch äußere, mechanische Messungen können also nur seine Masse, sein Schwerpunkt, die Orientierung seiner Hauptachsen und die drei diagonalen Elemente des Trägheitstensors entlang der Hauptachsen bestimmt werden. Dies ist bei weitem nicht genug Information, um die vollständige Massenverteilung wiederherzustellen oder um festzustellen, ob die Masse gleichmäßig verteilt ist.

Nehmen wir als Beispiel an, dass Objekt A eine kugelförmige Masse ist m von gleichmäßiger Dichte, mit Radius a . Dann können Sie Objekt B mit der gleichen Masse gleichmäßig auf einer hohlen Schale mit Radius verteilen b = 3 / 5 a , sodass B das gleiche Trägheitsmoment wie A hat.

Wenn Sie möchten, dass sie optisch gleich aussehen, können Sie beispielsweise Objekt C erstellen, indem Sie zwei Objekte überlagern: (1) eine einheitliche Kugel wie A, aber mit halber Dichte, und (2) eine konzentrische Hülle wie B, aber mit halber Masse pro Flächeneinheit. Dann sind A und C ununterscheidbar.

Nach dem Schalensatz sind A und C auch nicht durch ihre äußeren Gravitationsfelder unterscheidbar.

Dies ist wahr, aber das OP möchte nur wissen, ob es gleichmäßig verteilt ist oder nicht, was ein einfacheres Problem ist als "die Verteilung finden". Sie könnten beispielsweise das Trägheitsmoment um eine Achse messen und es mit dem vergleichen, was Sie erhalten würden, wenn es homogen verteilt wäre. Wenn es eine Diskrepanz gibt, können Sie sie abfangen. Ich frage mich, ob man ein Gegenbeispiel eines Körpers finden kann, der das volle tensorielle Trägheitsmoment eines homogen verteilten hat, es aber tatsächlich nicht ist.
@yohBS: Danke für deinen Kommentar. Ich habe ein spezifisches Gegenbeispiel hinzugefügt, um zu zeigen, dass die Einheitlichkeit nicht bestimmt werden kann.
@BenCrowell: Nun, im Gegenbeispiel ist die Größe anders, also ist es offensichtlich, dass das Trägheitsmoment anders ist. Sie scheinen in die falsche Richtung gegangen zu sein – Sie haben einem Objekt unterschiedlicher Größe und Verteilung dasselbe I gegeben. Was wir wollen, sind zwei Objekte, die äußerlich gleich aussehen und dasselbe I haben, aber unterschiedliche Massenverteilungen haben .
@Manishearth: Ich verstehe nicht, warum Sie behaupten, dass das Trägheitsmoment anders ist. Die unterschiedliche Größe ist erforderlich, um das Trägheitsmoment gleich zu machen. Die Frage nach der Größe oder wie es "äußerlich aussieht" spielt keine Rolle. Sie können beispielsweise die Objekte A und B in identische kubische Kästen legen und so Objekte erstellen EIN ' und B ' . Da die Boxen die gleiche Masse und das gleiche Trägheitsmoment haben, EIN ' und B ' wieder die gleiche Masse und das gleiche Trägheitsmoment haben. Ich werde die Antwort bearbeiten, um diese Erklärung aufzunehmen.
@BenCrowell: Ich habe nicht behauptet, dass ich anders bin. Ich sage, dass die kleinere Kugel kein Gegenbeispiel ist, weil die Frage lautet: "Können wir zwei Objekte gleicher Größe / Masse haben und ich, aber nur eines ist einheitlich?". Und das OP steckt die Dinge nicht in Kisten (was Ungleichmäßigkeit hinzufügt), er fragt nur, ob man die Gleichmäßigkeit eines bestimmten Objekts bestimmen kann. Zwei Kästen, die Objekte enthalten, sind offensichtlich uneinheitlich.
Die äußeren Schalen haben nicht die gleiche Masse und ich; einer muss dicker sein als der andere.
@Manishearth: Die Boxen können so hergestellt werden, dass sie die gleiche einheitliche Dichte wie das einheitliche Objekt haben. Ich habe die Antwort bearbeitet, um dies explizit zu zeigen.
@BenCrowell: Ja, außer dass Sie jetzt einer Box mehr Masse hinzufügen, da das darin eingebettete Objekt kleiner ist.
Grundsätzlich ändert sich, selbst wenn Sie einbetten, ein anderer extern sichtbarer Parameter. Wir brauchen zwei äußerlich gleichwertige Objekte, von denen nur eines gleichverteilt ist.
Wenn zwischen dem Black-Box-Objekt und einem White-Box-Objekt gleicher Form mit gleichmäßig verteilter Masse äußerlich kein oder zumindest kein relevanter Unterschied erkennbar ist, dann kann nicht auf eine gleichmäßige Masse der Black-Box geschlossen werden verteilt?

Es wurde darauf hingewiesen, dass dies nicht einfach durch Betrachtung der Massenverteilung (erstes und zweites Massenmoment) erfolgen kann. Aber es gibt eine Möglichkeit, in die meisten gewöhnlichen Objekte „hineinzuschauen“: Machen Sie einen CT-Scan. Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das als "typische" Laborausrüstung betrachten - aber es ist Ausrüstung, die ich in meinem Labor habe ...

Abhängig von der Größe des Objekts und der Materialzusammensetzung kann es natürlich ziemlich schwierig sein, eine endgültige Antwort zu erhalten - Strahlaufhärtungseffekte müssen berücksichtigt werden, was bedeutet, dass Sie Ihr Röntgenspektrum kennen müssen. Ein dichtes (hohes Z) Objekt mit der korrekten Dichte überall zu rekonstruieren ist eigentlich ziemlich schwierig.

Wenn die Masse gleichmäßig innerhalb des von Ihrer Masse eingenommenen Volumens verteilt ist und Sie Ihre theoretische Massedichte kennen, dann ist Ihre Masse, wenn sie innerhalb des von ihr eingenommenen Volumens gleichmäßig verteilt ist, genau gleich der theoretischen Dichte, wenn dazwischen eine Diskrepanz besteht die theoretische Dichte und die gemessene Dichte, bedeutet dies, dass die Masse nicht gleichmäßig verteilt ist oder dass sich eine andere Art von Masse mit unterschiedlicher Dichte in Ihrem Massevolumen befindet (wie wenn sich Blasen in einer festen Masse befinden), aber es kann der Fall sein, dass die Blasen sind ebenfalls gleichmäßig verteilt, dann ist die Masse gleichmäßig verteilt, aber die theoretische Dichte stimmt nicht mit Ihrer gemessenen Dichte eines Elements überein, da die Massendichte durchschnittlich ist, aber nicht gleichmäßig verteilt ist.

Geht nicht wirklich auf die harten Fälle ein.

Binde ein Seil an das Objekt und befestige das andere Ende an einer Waage. Senken Sie das Objekt langsam in etwas Wasser ab und notieren Sie die Kraft auf der Waage und die Wassermenge, die in vielen Intervallen verdrängt wird. Berechnen Sie anhand dieser Daten die Dichte des Abschnitts des Objekts, der in allen Intervallen untergetaucht ist. Wenn die Masse des Objekts gleichmäßig verteilt ist, sollten die erhaltenen Dichtewerte nicht variieren.

@Manishearth könntest du das näher erläutern? Jetzt, wo ich darüber nachdenke, das Objekt nur einmal abzusenken, wird definitiv nicht funktionieren.
Das funktioniert nicht. Die Auftriebskraft hängt nur vom Gewicht des verdrängten Wassers ab.
Wie kann ich feststellen, ob die Masse eines Objekts gleichmäßig verteilt ist?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 1v