Kann der effektive Scheitelpunkt für γ→3πγ→3π\gamma\to3\pi direkt aus der Anomalie abgeleitet werden?

Motivation für den Wess-Zumino-Term

Es gibt viele ähnliche Begriffe mit Mesonen, die eine anomale chirale Struktur der zugrunde liegenden QCD erfassen. Wie kann man sie alle erfassen? Die Antwort wird durch das Theorem gegeben, das Folgendes besagt: Im Allgemeinen ist die nicht-abelsche Anomalie in 4 Dimensionen mit dem Chern-Simons-Charakter in 5 Dimensionen verwandt, der als Wess-Zumino-Term bezeichnet wird. Ein solches Theorem ist auch ein eleganter Weg, um den Wess-Zumino-Term abzuleiten.

Anstatt also nach allen Begriffen wie z$\pi^{0}F_{EM}\tilde{F}_{EM}$Durch direkte Anwendung von Anomaliegleichungen ist es vorzuziehen, den Wess-Zumino-Term zu messen, da er einfach ist. Viele anomale Terme entstehen nicht aus Dreiecksdiagrammen, sondern beispielsweise aus anomalen Fünfeckdiagrammen, was zu einer großen Komplikation von Berechnungen führt, die auf einer Modifikation naiver Ward-Identitäten für eine gegebene Klasse von Diagrammen basieren.

Wie misst man den Wess-Zumino-Term? Es gibt eine alte einfache Methode, die Trial-and-Error-Methode genannt wird. Beginnen wir nämlich mit dem freien Begriff von Wess-Zumino:

$$N_{c}\Gamma_{WZ} = i\frac{N_{c}}{240 \pi^{2}}\int d^{5}x\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[L_{i}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m}\right],$$ Wo $L_{i} \equiv U\partial_{i}U^{-1}$Und $U$ist die Goldstone-Bosonenmatrix.

Seit$U$hier in einer 5-dimensionalen Mannigfaltigkeit wirkt, gibt es keine direkte Möglichkeit, den Wess-Zumino-Term durch einfache Verlängerung der Ableitung zu messen. Wir kennen jedoch die explizite Form von$U_{EM}(1)$Spurweite von$U$Feld, nämlich

$$U(x) \to e^{iQ\epsilon(x)}Ue^{-iQ\epsilon (x)} \Rightarrow \delta U = i\epsilon (x)[Q, U]$$ Dann $$\delta L_{i} = i\epsilon (x)[Q, L_{i}] + i(\partial_{i}\epsilon (x))UQU^{-1} - i\partial_{i}\epsilon (x)Q,$$ Und $$N_{c}\Delta \Gamma_{WZ} = -\frac{iN_{c}}{48 \pi^{2}}\int d^{5}x\partial_{i}\left[ \partial_{i}\epsilon(x)\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[ Q(T_{k}T_{l}T_{m} + L_{k}L_{l}L_{m})\right]\right] =$$ $$=-\frac{i}{48 \pi^2}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\mu}\epsilon (x) \text{Tr}\left[ QT_{\nu}T_{\alpha}T_{\beta} + L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta}\right] \equiv -\int d^{4}x\partial_{\mu}\epsilon(x)J^{\mu},$$ Wo $T_{i} \equiv (\partial_{i}U^{-1})U$Und $$J^{\mu} \equiv \frac{iN_{c}}{48 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}\left[ Q(T_{\nu}T_{\alpha}T_{\beta} + L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta})\right]$$ Als ersten Schritt können wir den Wess-Zumino-Term durch Hinzufügen modifizieren $$-\int d^{4}xA_{\mu}J^{\mu},$$ Wo $A_{\mu}$ist EM 4-Potential.

Seit$\delta J_{\mu}$nicht Null ist, müssen wir auch den Teil hinzufügen, dessen Variation mit Term übereinstimmt$\delta J_{\mu}$. Somit erhalten wir, dass der Gauged Wess-Zumino-Term ist

$$\tag 1 \tilde{\Gamma}_{WZ} = N_{c}\Gamma_{WZ} - \int d^{4}xA_{\mu}J^{\mu} +$$ $$+\frac{iN_{c}}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\partial_{\mu}A_{\nu})A_{\alpha}\text{Tr}\left[ Q^{2}(\partial_{\beta}U)U^{-1} + Q^2Q^{-1}\partial_{\beta}U + QUQU^{-1}(\partial_{\beta}U)U^{-1}\right]$$

Für QCD mit$u, d$Quark,$Q = \text{diag}\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \right)$. Durch die Nutzung

$$U = e^{i\frac{\sqrt{2}\pi_{a}t_{a}}{f_{\pi}}}, \quad \pi_{a}t_{a} = \begin{pmatrix} \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}} & \pi^{-} \\ \pi^{+} & \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},$$ wir können bekommen $\pi^{0} \to 2\gamma$Scheitelpunkt vom letzten Summanden von $(1)$Und $\gamma \to 3 \pi$Scheitel vom zweiten. Wenn wir die Anzahl der Quarks auf 3 erhöhen, erhalten wir natürlich mehr anomale Terme.