3D: Lineare Geschwindigkeit aus Position und Winkelgeschwindigkeit erhalten

Question

3D: Lineare Geschwindigkeit aus Position und Winkelgeschwindigkeit erhalten

Physik
Drehung
Kinematik
Rotationskinematik

CL22

Ich möchte die lineare Geschwindigkeit eines Punktes im 3D-Raum (euklidisch) herausfinden, gegeben:

Seine Stellung
Seine Winkelgeschwindigkeit
Der Punkt, um den es sich dreht (Drehpunkt)

(Dies ist ein Problem, das ich für die 3D-Grafikprogrammierung mit einer Physik-Engine lösen muss).

Die Position des Punktes und die Position des Drehpunktes sind 3-wertige Vektoren, $x$ , $y$ Und $z$ .

Die Winkelgeschwindigkeit ist ebenfalls ein 3-wertiger Vektor, der Euler-Winkel darstellt.

Welche Operation(en) müsste ich durchführen, um die lineare Geschwindigkeit des Punktes zu berechnen?

Die 3D/Physik-Engine verfügt über verschiedene mathematische Operationen auf hohem Niveau, einschließlich Matrix-, Vektor- und Quaternion-Operationen. Hoffentlich ist das, was ich brauche, unter diesen.

Antworten (2)

3D: Lineare Geschwindigkeit aus Position und Winkelgeschwindigkeit erhalten

JoshPhysik · Answer 1

Lassen $\vec r_0(t)$ bezeichnen den Punkt, um den sich das Objekt dreht und $\vec r(t)$ die Position des Objekts. Dann die Tatsache, dass sich das Teilchen um den Punkt dreht $\vec r_0(t)$ kann durch die mathematische Aussage dass formalisiert werden

\vec{R} (T) - {\vec{R}}_{0} (T) = R (T) \vec{C}

$\vec r(t) - \vec r_0(t) = R(t) \vec c$ für einen konstanten Vektor

\vec{c}

$\vec c$ und zeitabhängige Drehung

R (t)

$R(t)$ . Es folgt dem

\dot{\vec{R}} (T) - {\dot{\vec{R}}}_{0} (T) = \dot{R} (T) \vec{C} = \dot{R} (T) R (T)^{- 1} (\vec{R} (T) - {\vec{R}}_{0} (T)) = \vec{ω} (T) \times (\vec{R} (T) - {\vec{R}}_{0} (T))

$\dot{\vec r}(t) - \dot{\vec r}_0(t) = \dot R(t) \vec c = \dot R(t)R(t)^{-1}(\vec r(t) - \vec r_0(t)) = \vec \omega(t)\times (\vec r(t) - \vec r_0(t))$ (Die letzte Gleichheit ist ein Standardergebnis über Drehungen), also haben wir das Endergebnis

\dot{\vec{R}} (T) = {\dot{\vec{R}}}_{0} (T) + \vec{ω} (T) \times (\vec{R} (T) - {\vec{R}}_{0} (T))

$\dot{\vec r}(t) =\dot{\vec r}_0(t)+\vec \omega(t)\times (\vec r(t) - \vec r_0(t))$ das ist, was Sie gesucht haben, glaube ich.

Beifall!

Friedrich Brünner · Answer 2

Die Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit $\vec{\omega}$ , Stellung $\vec{r}$ (unter der Annahme einer Rotation um den Ursprung) und Tangentialgeschwindigkeit $\vec{v}$ (wonach Sie fragen) ist gegeben durch

$\vec{\omega}=\frac{\vec{r}\times\vec{v}}{\mid\vec{r}\mid^2},$

Wo $\times$ ist das Kreuzprodukt und $\mid\vec{r}\mid^2$ die Norm des Ortsvektors im Quadrat. Sie können diese Gleichung komponentenweise aufschreiben, um drei Gleichungen für drei unbekannte Variablen zu erhalten (die Komponenten von $\vec{v}$ ) und löse sie algebraisch.

3D: Lineare Geschwindigkeit aus Position und Winkelgeschwindigkeit erhalten

CL22

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JoshPhysik

Friedrich Brünner

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