Lineare Variablen in Kreisbewegung

Question

Lineare Variablen in Kreisbewegung

Physik
Drehung
Kinematik
Rotationskinematik

Wahnsinn

Das Folgende ist ein wirklich grundlegendes Problem. Ich interessiere mich nicht für die Lösung, sondern dafür, warum die unten genannte spezielle Lösung in allen allgemeinen Fällen funktioniert:

Stellen wir uns vor, eine Person läuft auf einer kreisförmigen Bahn. Seine anfängliche lineare Geschwindigkeit $u$ . Die Tangentialbeschleunigung ist $a_t$ und Radius der Kreisbahn ist $r$ . Wir werden gebeten, die Zeit herauszufinden, die für eine Umdrehung benötigt wird.

Der herkömmliche Weg, dies zu tun, ist $2\pi r=ut+\frac{1}{2}a_{t}t^2$ als Folge der allgemeinen Gleichung $s=ut+\frac{1}{2}at^2$ . Hier sind meine Zweifel bezüglich der Gleichung, die ich bei der Verwendung linearer Variablen für Kreisbewegungen nie verstanden habe.

Die gleichung $s=ut+\frac{1}{2}at^2$ wurde unter der Annahme abgeleitet $s$ stellt eine Verschiebung dar, wohingegen wenn wir verwendet haben $s=2\pi r$ Bei der Aufgabe haben wir nicht die Verschiebung, sondern die Entfernung genommen. Außerdem sollte es keinen Begriff geben, der als gleichmäßige Geschwindigkeit in Kreisbewegung bezeichnet wird, da sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ständig ändert. Aber ich sehe trotzdem, dass dieser Begriff in Büchern verwendet wird. Das gleiche Verschiebungsproblem tritt auch im Falle einer Winkelverschiebung auf . Wenn wir nach ein oder zwei Umdrehungen gefragt werden, nehmen wir $\theta$ ein Vielfaches von sein $2\pi$ Radiant, während die Verschiebung ist $0$ Radiant.

Ich bin ein Anfänger in der Physik, daher hätte ich gerne die freundliche Aufmerksamkeit der angesehenen Benutzer hier, um meine Missverständnisse zu korrigieren.

ACB

Beantwortet das deine Frage? Warum ist die lineare Verschiebung die Länge des Bogens?

Wahnsinn

Leider nicht auf einer detaillierten Ebene, oder selbst wenn, habe ich es nicht verstanden, da ihr Fokus ursprünglich auf dem Pendelproblem lag.

Wahnsinn

Sicher werde ich das fortan im Hinterkopf behalten.

Antworten (3)

Lineare Variablen in Kreisbewegung

Beantwortet das deine Frage? Warum ist die lineare Verschiebung die Länge des Bogens?
Leider nicht auf einer detaillierten Ebene, oder selbst wenn, habe ich es nicht verstanden, da ihr Fokus ursprünglich auf dem Pendelproblem lag.

David Weiß · Answer 1

Die ursprüngliche Problemstellung gab Ihnen eine lineare Geschwindigkeit, keine lineare Geschwindigkeit, denn wie Sie vermuteten, hat die Geschwindigkeit sowohl eine Geschwindigkeit als auch eine Richtung. Bei einer kreisförmigen Bewegung kann die Geschwindigkeit konstant sein oder nicht, aber es ist sicher, dass sich die Richtung der Bewegung ständig ändert, sodass die Angabe einer Geschwindigkeit technisch ungültig ist. Beachten Sie auch, dass in der Problemstellung nach der Reisezeit und nicht nach der Verschiebung gefragt wurde. Daher ist es in Ordnung, die zurückgelegte Entfernung für dieses Problem zu verwenden.

In Bezug auf das, wonach das Problem fragt, die Gleichung $2\pi r=ut+\frac{1}{2}a_{t}t^2$ ermöglicht es Ihnen tatsächlich, die Zeit zu berechnen, die für eine vollständige Umdrehung benötigt wird, da die Tangentialbeschleunigung konstant ist (eine Anforderung der kinematischen Gleichungen) und diese Gleichung mit der quadratischen Formel gelöst wird. Bei der Suche nach einer Lösung ist etwas Sorgfalt erforderlich, da nur eine der Wurzeln der quadratischen Formel das ist, wonach Sie suchen.

Vielen Dank für Ihre Antwort, eigentlich bezog sich mein ursprünglicher Zweifel auf die Verwendung $2\pi r$ als Verschiebung, da die linearen Bewegungsgleichungen unter Berücksichtigung der Verschiebung aber abgeleitet werden $2\pi r$ Distanz darstellt.

Gert · Answer 2

RW Bird hat Recht, dass es einige Verwirrung bezüglich gibt. Terminologie. Wie üblich kann die Bedeutung jedoch aus dem Kontext abgeleitet werden.

Betrachten Sie nun die obige Situation:

Der Läufer läuft ab $A$ Zu $B$ , dem Bogen folgend. Die Winkelverschiebung ist hier $\theta$ .

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ wird gegeben von:

ω = \frac{D θ}{D T}

$\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$

Wenn die Bewegung nicht gleichförmig ist, muss eine Winkelbeschleunigung vorliegen $\alpha$ :

a = \frac{D ω}{D T} = \frac{D^{2} θ}{D T^{2}}

$\alpha=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d^2}\theta}{\mathrm{d}t^2}$

Bei konstanter Winkelbeschleunigung $\alpha$ die Winkelverschiebung $\theta(t)$ wird gegeben von:

θ (T) = θ_{0} + ω_{0} T + \frac{1}{2} a T^{2}

$\theta(t)=\theta_0+\omega_0t+\frac12 \alpha t^2$

wo die Endung $_0$ bezieht sich auf Werte bei $t=0$ .

Die Winkel- und Linearverschiebungen verhalten sich wie folgt:

S (T) = θ (T) R

$s(t)=\theta(t)R$

mit $R$ der Radius der Kreisbahn.

Wie leiten wir ab $\theta(t)=\theta_0+\omega_0t+\frac12 \alpha t^2$ ?

Erstens haben wir mit $\omega(0)=\omega_0$ , so dass:

a = \frac{D ω}{D T}

$\alpha=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$

\int_{ω_{0}}^{ω (T)} D ω = a \int_{0}^{T} D T

$\int_{\omega_0}^{\omega(t)}\mathrm{d}\omega=\alpha\int_0^t\mathrm{d}t$

\Rightarrow ω (T) = ω_{0} + a T

$\Rightarrow \omega(t)=\omega_0+\alpha t$

Dann mit $\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ Und $\theta(0)=\theta_0$ :

\int_{θ_{0}}^{θ (T)} D θ = \int_{0}^{T} ω (T) D T = \int_{0}^{T} (ω_{0} + a T) D T

$\int_{\theta_0}^{\theta(t)}\mathrm{d}\theta=\int_0^t \omega(t) \mathrm{d}t=\int_0^t\left(\omega_0+\alpha t\right)\mathrm{d}t$

θ (T) = θ_{0} + ω_{0} T + \frac{1}{2} a T^{2}

$\boxed{\theta(t)=\theta_0+\omega_0t+\frac12 \alpha t^2}$

Vielen Dank für Ihre freundliche Antwort, könnten Sie bitte einen Beweis dafür liefern $\theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ ohne zu benutzen $s=r\theta$ ? (dh ohne sich auf lineare Variablen zu beziehen, da dies eine Zirkellogik wäre).
OK, erledigt. Achtung: mildes, aber unvermeidbares Calculus verwendet.

RW Vogel · Answer 3

Dies ist ein ungewöhnliches Problem und daher etwas verwirrend. Üblicherweise bewegt sich ein Läufer auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit und unterliegt einer Zentripetalbeschleunigung. In diesem Fall erhalten Sie eine Tangentialbeschleunigung. Die (tangentiale) Geschwindigkeit des Läufers nimmt zu und die Formel, die Sie für die Entfernung um die Bahn herum haben (eine Bogenlänge), ist korrekt. Sie können es für die Zeit lösen. Technisch bezieht sich der Begriff „Verschiebung“ auf einen Vektor. Nach Abschluss einer Bahnumrundung ist die Verdrängung des Läufers Null.

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