AB1AB1AB_1, AB2AB2AB_2, AB3AB3AB_3 sind die Höhe, Winkelhalbierende, Median vom Scheitelpunkt AAA von △ABC△ABC\Dreieck ABC; Längen BBiBBiBB_i in aufsteigender Reihenfolge anordnen

Question

AB1AB1AB_1, AB2AB2AB_2, AB3AB3AB_3 sind die Höhe, Winkelhalbierende, Median vom Scheitelpunkt AAA von △ABC△ABC\Dreieck ABC; Längen BBiBBiBB_i in aufsteigender Reihenfolge anordnen

Winkel
Geometrie
Dreiecke
Ungleichheit
Mathematik

Umesh Shankar

Stellen Sie sich ein spitzwinkliges Dreieck vor $\triangle ABC$ so dass $AB\lt AC$ .

Wenn von $A$ Höhe $AB_1$ gezeichnet ist, innere Winkelhalbierende $AB_2$ gezeichnet ist, und Median $AB_3$ ist gezeichnet.

Ordne die Längen an $BB_1$ , $BB_2$ Und $BB_3$ in aufsteigender Reihenfolge.

Mein Versuch: Ich habe mit einem gleichschenkligen Dreieck begonnen $\triangle ABD$ mit $AB=AD$ .

Jetzt für $\triangle ABD$ , $AB_1$ ist Höhe, Winkelhalbierende und Median.

In Abbildung $2$

Lassen $\angle BAB_1=\theta=\angle B_1AD$

lassen $\angle DAC=2 \beta$

So $\angle BAC=2(\theta+\beta)$

Wenn wir bauen $AB_2$ asinterne Winkelhalbierende von $\angle BAC$ , Dann ist jeder halbe Winkel :

∠ B A B_{2} = B_{2} A C = θ + β > θ

$\angle BAB_2=B_2AC=\theta+\beta \gt \theta$

$\implies$

∠ B A B_{2} > ∠ B A B_{1}

$\angle BAB_2 \gt \angle BAB_1$

daher der punkt $B_2$ sollte auf der rechten Seite des Punktes sein $B_1$

Somit

B B_{1} < B B_{2}

$BB_1 \lt BB_2$

Aber kann ich einen Anhaltspunkt zum Vergleichen haben? $BB_2$ Und $BB_3$ ?

Antworten (2)

AB1AB1AB_1, AB2AB2AB_2, AB3AB3AB_3 sind die Höhe, Winkelhalbierende, Median vom Scheitelpunkt AAA von △ABC△ABC\Dreieck ABC; Längen BBiBBiBB_i in aufsteigender Reihenfolge anordnen

Quang Hoang · Answer 1

$BB_2:B_2C = AB:AC < 1$ So $BB_2 < BC/2 = BB_3$ .

Benutzer376343 · Answer 2

Wir können wahrnehmen $ABC$ als halbes Parallelogramm $ABDC$ mit Diagonalen $AC, BD.$

Betrachten Sie eine Raute $ABD'C'$ Wo $C'\in BC$ Und $AD',BC'$ sind Diagonalen. Bezeichnen $B_1', B_2', B_3'$ die Punkte, die in der Frage berücksichtigt wurden und sich auf diese Raute beziehen.

Diagonalen in einer Raute sind senkrecht, sind Winkelhalbierende der Raute und treffen sich in ihrem gemeinsamen Mittelpunkt (wie bei einem beliebigen Parallelogramm). Daher die Punkte $B_1', B_2', B_3'$ übereinstimmen.

Umzug $C'$ entlang $BC$ in Richtung $C$ Halten Sie ein Parallelogramm mit den Seiten $AB\;\text{and}\; AC.$ Deutlich, $B_1'$ wird sich nicht bewegen, während $B_2'$ Und $B_3'$ Tun.
Zurück zur Notation $C,B_1,B_2,B_3.$
Der Winkel $\angle AB_3C$ wird stumpf, während $\angle BB_3C$ ist akut. Folglich, $\angle BAB_3 < \angle B_3AC.$ Seit $AB_2$ ist die Winkelhalbierende, $B_2$ liegt auf $BB_3.$

AB1AB1AB_1, AB2AB2AB_2, AB3AB3AB_3 sind die Höhe, Winkelhalbierende, Median vom Scheitelpunkt AAA von △ABC△ABC\Dreieck ABC; Längen BBiBBiBB_i in aufsteigender Reihenfolge anordnen

Umesh Shankar

Antworten (2)

Quang Hoang

Benutzer376343

Doppelwinkel im umschriebenen Dreieck

Kann man die Seiten eines Dreiecks mit den Winkeln und der Länge von der Spitze zur Basis berechnen?

Finden Sie ∠CAD∠CAD\Winkel CAD in der folgenden Abbildung.

Geometriefrage in HK IMO Prelim 2018

Was ist das Maß ∠C∠C\Winkel C aus diesem folgenden Dreiecksproblem?

Auflösen nach dem Wert von ∠CEB∠CEB \angle CEB - 1414\frac{1}{4} ∠CBA∠CBA\angle CBA wobei EEE ein äußerer Punkt von △ABC△ABC\triangle ABC ist

Punkt liegt innerhalb eines Dreiecks ABC mit ∡BAC=45∘∡BAC=45∘\messwinkel BAC=45^\circ und ∡ABC=30∘∡ABC=30∘\messwinkel ABC=30^\circ

Ravi-Substitution in Ungleichungen

Finden Sie einen Winkel eines Dreiecks auf einem größeren Dreieck, der durch seinen Mittelpunkt schneidet

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