Abfall der Anzahldichte nnn mit dem Skalenfaktor a(t)a(t)a(t) für eine relativistische Teilchensorte im Gleichgewicht?

Betrachten Sie das Szenario der thermischen dunklen Materie (DM). Bevor die dunkle Materie ausgefroren wurde , befand sie sich sowohl im chemischen als auch im thermischen Gleichgewicht mit den anderen Teilchen im frühen Universum. Zu diesem Zeitpunkt, als die Dunkle Materie im Gleichgewicht war, verringerte sich die Anzahldichte sowohl der DM als auch der relativistischen Teilchen, mit denen sie im Gleichgewicht war, mit dem Abfall der Temperatur als

(1) N ∝ T 3
Wo T ist die Temperatur des Universums.

Intuitiv sollte die Abnahme der Zahlendichte mit der Expansion des Universums vergleichbar sein

(2) N ∝ A − 3 ( T )
Wo A ( T ) ist der Skalierungsfaktor.

Meine Frage ist nun, ob die Beziehungen (1) und (2) verwandt sind. Und intuitiv sollten sie es sein, weil der Temperaturabfall auf die Expansion des Universums zurückzuführen ist. Und wenn ja, wie bekommen wir die Beziehung (1) aus (2)?

Antworten (1)

Das grundlegende Prinzip, das nützlich ist, um das Problem anzugehen, über das Sie sprechen, ist die Erhaltung der Entropie. Im thermischen Gleichgewicht bleibt die mitbewegte Entropie erhalten, woraus man herausfinden kann, wie sich die Temperatur mit der Expansion des Universums ändert.

Da die Entropiedichte relativistischer Spezies normalerweise die Gesamtentropie dominiert, ist es nützlich, die Gesamtentropie als effektive Anzahl relativistischer Freiheitsgrade (für die Entropie) zu definieren. G ∗ S

S Knirps = G ∗ S 2 π 2 45 T 3 ,
Wo
G ∗ S = ∑ Bosonen G ich ( T ich T ) 3 + 7 8 ∑ Fermionen G ich ( T ich T ) 3 ,
Wo T ist die Temperatur des Wärmebades, und wir haben die Möglichkeit berücksichtigt, dass sich einige relativistische Arten vom Wärmebad abgekoppelt haben und eine andere Temperatur haben, T ich . Beachten Sie, dass wir auch hier angenommen haben, dass die chemischen Potentiale vernachlässigbar sind.

Unter der Annahme, dass die mitbewegte Entropiedichte zeitlich konstant ist, erhalten wir

(1) D D T ( S A 3 ) = 0.
Das bedeutet, dass wir die Temperatur direkt in Beziehung setzen können, T , und der Skalierungsfaktor, A
(2) T ∝ G ∗ S − 1 / 3 ( T ) A .

Wir sehen also, dass solange die Anzahl der relativistischen Freiheitsgrade, G ∗ S , ändert sich nicht, dann haben wir T ∼ 1 / A , und Ihre (1) und (2) sind kompatibel.

Ändert sich die Anzahl der relativistischen Freiheitsgrade, dann gilt Ihre Gleichung (2) nicht mehr. Dies liegt daran, dass Wärme dem Wärmebad entweder hinzugefügt oder von ihm abgezogen wird, wodurch die sich mitbewegende Anzahl von Partikeln einer beliebigen gegebenen Spezies erhöht oder verringert wird.

(1) gilt jedoch immer, solange sich eine Spezies im thermodynamischen Gleichgewicht (ohne chemisches Potential) befindet.

Kombinieren Sie Ihre (1) mit meiner (2) (im Fall von konstantem g_*S, was der einzige Fall ist, in dem Ihre (2) gilt) @SRS
Oh ja, d(sa^3)/dt! Keine partielle Ableitung :)
Abfall der Anzahldichte nnn mit dem Skalenfaktor a(t)a(t)a(t) für eine relativistische Teilchensorte im Gleichgewicht?
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