Ableitung der Grenzfrequenz des passiven Tiefpassfilters 2. Ordnung

EDIT: Dank hryghr sehe ich, dass die Ausgangsannahmen falsch waren. Die Größe der Übertragungsfunktion kann nicht so einfach gefunden werden. Es ist mehr als zehn Jahre her, dass ich mich zu diesem Thema als scharf angesehen habe, und Messer werden in der Schublade nicht schärfer! Aber ich kann nicht haben, dass ich etwas formal Falsches gepostet habe, also hier Versuch Nr. 2:

Ich werde die Übertragungsfunktion auf die schmutzige Weise ableiten ... unter Verwendung von Kirchhoffs aktuellem Gesetz (KCL) (eine sehr allgemeine Methode). Ich nenne den Ausgangsknoten$V_{o}$, und der mittlere Knoten$V_{x}$. Für die folgenden Gleichungen reduziere ich das Schreiben durch Schreiben$V_{o}$statt genauer$V_{o}(s)$:

Ich: KCL rein$V_{o}$:

$$\frac{V_{o}-V_{x}}{R_{2}}+sC_{2}V_{o}=0$$

$$V_{x}=V_{o}(1+sR_{2}C_{2})$$ II: KCL ein $V_{x}$:

$$\frac{V_{x}-V_{i}}{R_{1}}+\frac{V_{x}-V_{o}}{R_{2}}+sC_{1}V_{x}=0$$

Begriffe neu anordnen:

$$R_{2}(V_{x}-V_{i})+R_{1}(V_{x}-V_{o})+sR_{1}R_{2}C_{1}V_{x}=0$$

Begriffe neu anordnen:

$$V_{x}(R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1})-R_{2}V_{i}-R_{1}V_{o}=0$$

Ersetzen$V_{x}$mit Ergebnis von I:

$$V_{o}(1+sR_{2}C_{2})(R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1})-R_{2}V_{i}-R_{1}V_{o}+sR_{1}R_{2}C_{1}V_{o}=0$$

Sammelbegriffe für$V_{o}$

$$V_{o}((1+sR_{2}C_{2})(R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1})-R_{1})=R_{2}V_{i}$$

Neuordnung:

$$\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R_{2}}{(1+sR_{2}C_{2})(R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1})-R_{1}}$$

Begriffe erweitern:

$$\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}+sR_{1}R_{2}C_{1}+sR_{1}R_{2}C_{2}+sR_{2}^{2}C_{2}+s^{2}R_{1}R_{2}^{2}C_{1}C_{2}-R_{1}}$$

$R_{1}$löscht, dann dividiere durch$R_{2}$oben und unten:

$$\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{1}{1+sR_{1}C_{1}+sR_{1}C_{2}+sR_{2}C_{2}+s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}$$

Verschönert lautet die Übertragungsfunktion:

$$H(s)=\frac{V_{o}(s)}{V_{i}(s)}=\frac{1}{s^{2}R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}+s(R_{1}C_{1}+R_{1}C_{2}+R_{2}C_{2})+1}$$

Dies ist wahrscheinlich ein guter Ort, um mit der Konvertierung in die von hryghr erwähnte Standardform zu beginnen. Es kann sein, dass die Eckfrequenz geforderte Eckhäufigkeit sich auf diese Form beziehtIch werde mich nicht allzu sehr darum kümmern, aber weitermachen, um den -3dB-Punkt zu finden.

Die Größe der Übertragungsfunktion kann zum Beispiel durch Berechnung ermittelt werden:

$$\left|H(\omega)\right|=\sqrt{H(s\rightarrow j\omega)H(s\rightarrow-j\omega)}$$

Einstellung$A=R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}$Und$B=(R_{1}C_{1}+R_{1}C_{2}+R_{2}C_{2})$Um diese Rechnung zu vereinfachen:

$$\left|H(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{((j\omega)^{2}A+(j\omega)B+1)((-j\omega)^{2}A+(-j\omega)B+1)}}$$

$$\left|H(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{(-\omega{}^{2}A+j\omega B+1)(-\omega{}^{2}A-j\omega B+1)}}$$

$$\left|H(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{\omega{}^{4}A^{2}-\omega{}^{2}A(j\omega B-j\omega B+1+1)+\omega^{2}B^{2}+(j\omega B-j\omega B)+1}}$$

$$\left|H(\omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{\omega{}^{4}A^{2}+\omega{}^{2}(B^{2}-2A)+1}}$$

Finden$B^{2}-2A$gibt dir sowas wie:

$$R_{1}^{2}(C_{1}+C_{2})^{2}+C_{2}^{2}(2R_{1}R_{2}+R_{2}^{2})$$

Um dann den -3dB-Punkt zu finden, beginnen Sie bei:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{\omega{}^{4}A^{2}+\omega{}^{2}(B^{2}-2A)+1}}$$

$$2=\omega{}^{4}A^{2}+\omega{}^{2}(B^{2}-2A)+1$$

Bisher habe ich alles von Hand gemacht (hoffentlich keine Fehler), aber hier mache ich Schluss, probiere Mathematik aus und bekomme es hin$\omega$für die -3dB-Frequenz als:

$$w\to\sqrt{\frac{1}{A}-\frac{B^{2}}{2A^{2}}+\frac{\sqrt{8A^{2}-4AB^{2}+B^{4}}}{2A^{2}}}$$

Viele Leute verwechseln Eigenfrequenz mit Grenzfrequenz. Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit der das System schwingen möchte. Die Grenzfrequenz (oder -3dBFreq) ist genau dann, wenn die Übertragungsfunktion eine Größe von hat0.707

Wenn die beiden Pole des Filters nicht nahe beieinander liegen, verlieren die kanonischen Begriffe 2. Ordnung wie die Eigenfrequenz und der Dämpfungsfaktor an praktischer Bedeutung. Wenn die Pole nahe beieinander liegen, liegt die Eigenfrequenz tendenziell in der Nähe der -3dBFrequenz, aber nicht genau.

Die Gleichung, die Sie immer wieder sehen

$$f_{n} = \dfrac{1}{(2\pi*\sqrt{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}})}$$

ist für die Eigenfrequenz. Wenn Sie nach dem Dämpfungsfaktor auflösen, werden Sie auch sehen, dass es so ist

$$d= \dfrac{\dfrac{(C_{1}R_{1}+C_{2}R_{1}+C_{2}R_{2})}{2}}{\sqrt{R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}$$

Sie versuchen, in einer Gleichung die -3dBFrequenz zu definieren, also müssen Sie die Übertragungsfunktion gleich setzen -3dBund einfach nach der resultierenden Frequenz auflösen. Das Problem dabei ist, dass die Mathematik sehr schnell sehr hässlich wird. Ich habe mir das vor ein paar Jahren einmal angesehen und diesen Zusammenhang gefunden.

$$f_{c} = f_{n} * \sqrt{1-2d^2 + \sqrt{4d^4-4d^2+2}}$$

Wo$f_{c}$ist der$-3dB$Frequenz.

Also für ein Beispiel, wenn Sie nehmen:

$\begin{cases} R_1 = 10k\Omega \\ R_2 = 40k\Omega \\ C_1 = 0.1µF \\ C_2 = 0.01µF \end{cases}$

Sie erhalten folgende Nummern:

$\begin{cases} f_n = 251.6Hz \\ d = 1.186 \\ f_c = 127.7Hz \end{cases}$

Sie können auch die Pole finden, die 458.8Hzund sind 138.02Hz, sodass die 3dBFrequenz ziemlich nahe am ersten Pol liegt. Sie werden feststellen, dass, wenn Sie diesen zweiten Pol immer weiter herausschieben, die 3dbFrequenz ziemlich nahe am ersten Pol liegt.

Hoffentlich hilft das.

Meiner Meinung nach ist diese „Grenzfrequenz“ nicht als der -3dB-Punkt definiert. Die reelle Übertragungsfunktion ist:

$$H(s)=\frac{1}{s^2R_1R_2C_1C_2+s(R_1C_1+R_1C_2+R_2C_2)+1}$$

Die „übliche Form“ eines Elements zweiter Ordnung in der Steuerungstheorie ist

$$W(s)=\frac{1}{\frac{s^2}{\omega_n^2}+2\frac{\xi}{\omega_n}s+1}$$ , Wo $\xi$ist der Dämpfungskoeffizient und $\omega_n$ist die Eigenfrequenz. Wenn Sie die Eigenfrequenz von ausdrücken möchten $H(s)$, Sie werden feststellen, dass es gleich ist $\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}$.

Während die Antwort von HKOB selbst bei der Auswertung der korrekten Übertragungsfunktion wirklich vernünftig erscheint, zeigte mir MATLAB (unter Verwendung verschiedener willkürlicher R- und C-Werte), dass die berechnete „Grenzfrequenz“ nicht einmal nahe am -3-dB-Punkt in den Bode-Diagrammen liegt.

Um eine einfache Schaltung 2. Ordnung wie diese zu lösen, sind einige Zeilen erforderlich, die durch Inspektion der Schaltung erhalten werden. So funktionieren Fast Analytical Circuits Techniques oder FACTs , die in "Linear Circuit Transfer Functions: an Introduction to FACTs" beschrieben sind. Okay, fang an$s=0$: Entfernen Sie alle Kappen. Die DC-Verstärkung$H_0$ist 1. Der Nenner wird durch Einstellen der Eingangsquelle erhalten$V_{in}$auf 0 V (durch Kurzschluss ersetzen). "Schauen" Sie sich dann den Widerstand an, den der Kondensator bietet$C_1$wenn er und$C_2$vorübergehend aus dem Stromkreis genommen werden. "Schauen" Sie sich dann den Widerstand an, den der Kondensator bietet$C_2$wenn er und$C_1$vorübergehend aus dem Stromkreis genommen werden. Sie "sehen"$R_1$im ersten Fall und die Summe von$R_1$Und$R_2$im zweiten Fall. Sie haben die beiden Zeitkonstanten der Schaltung:

$\tau_1=C_1R_1$Und$\tau_2=C_2(R_1+R_2)$

Dann einstellen$C_1$in seinem hochfrequenten Zustand (ersetzen Sie es durch einen Kurzschluss) und "schauen" Sie sich den Widerstand an, der von angeboten wird$C_2$in diesem Modus. Sie "sehen"$R_2$:

$\tau_{12}=C_2R_2$

Das ist es, du hast deinen Nenner$D(s)$gleich

$D(s)=1+s(\tau_1+\tau_2)+s^2(\tau_1\tau_{12})=1+s(R_1C_1+C_2(R_1+R_2))+s^2C_1C_2R_1R_2$

Wenn wir die Niedrig-$Q$Annäherung ($Q$viel kleiner als 1 ist), dann können wir zeigen, dass der Nenner als zwei kaskadierte Pole ausgedrückt werden kann:

$\omega_{p1}=\frac{1}{R_1C_1+C_2(R_1+R_2)}\,\omega_{p2}=\frac{R_1C_1+C_2(R_1+R_2)}{C_1C_2R_1R_2}$

Wenn$C_1$oder$C_2$einzeln kurzgeschlossen oder alle zusammen kurzgeschlossen werden, gibt es keine Ausgangsreaktion: Diese Schaltung weist keine Nullen auf. Die vollständige Übertragungsfunktion ist somit

$H(s)=\frac{1}{1+s(R_1C_1+C_2(R_1+R_2))+s^2C_1C_2R_1R_2}\approx\frac{1}{(1+\frac{s}{\omega_{p1}})(1+\frac{s}{\omega_{p2}})}$

Nehmen Sie nun an, Sie untersuchen$V_{out}$über$C_1$Verlassen$R_2$Und$C_2$an Ort und Stelle bleibt der Nenner derselbe (Zeitkonstanten ändern sich nicht), aber Sie führen eine Null ein, die sich bei befindet$\frac{1}{R_2C_2}$.

Das sind die Freuden der FACTs: In einigen Fällen ist die Inspektion der Schaltung (keine Algebra) der schnellste Weg. Schauen Sie sich diese Präsentation an, die letztes Jahr bei APEC gehalten wurde: http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Downloads/PPTs/Chris%20Basso%20APEC%20seminar%202016.pdf