3 dB Frequenz der Übertragungsfunktion zweiter Ordnung

Question

3 dB Frequenz der Übertragungsfunktion zweiter Ordnung

Filter
Physik
Bandbreite
Grenzfrequenz
Übertragungsfunktion
Frequenzgang

Aschik Anuvar

Wie kann ich die 3db-Frequenz jeder Übertragungsfunktion erhalten?

Mein Versuch:

Meine Vermutung ist, dass beide Übertragungsfunktionen die gleiche 3-dB-Frequenz haben. Das Gleichsetzen der Größe mit 0,707 ergibt jedoch eine Gleichung vierter Ordnung, die auf die zweite Ordnung reduziert werden kann, um ein Quadrat der 3-dB-Frequenz zu erhalten.

Ich bin jedoch nicht in der Lage, es zu vereinfachen. Der genaue Ausdruck ist jedoch wie folgt:

Gibt es einen ungefähren Ansatz, um dasselbe zu erhalten?

Chu

Schreiben Sie für G1(s) den Zähler als „b“.

Aschik Anuvar

Sie müssen nur vorsichtig sein, da die DC-Verstärkung 1 / b beträgt, oder? Das berücksichtige ich bei der Berechnung.

Chu

Es ist 4. Ordnung, reduziert sich aber auf 2. Ordnung, wenn Sie es zulassen

ω^{2} = Ω

$\omega^2=\Omega$ . Dann faktorisiert man einfach.

Aschik Anuvar

Faktor, aber nicht in einen einfachen Ausdruck, es werden quadratische Terme unter der Wurzel du stehen

Andi aka

Möchten Sie die 3-dB-Bandbreite, wenn beide TFs multipliziert werden?

Aschik Anuvar

Nein, es ist nur so, dass beide die gleiche 3-dB-Frequenz geben, einer ist ein LPF und der andere ist ein HPF

Chu

Wurzel quadrieren, dann substituieren, dann quadrieren. Könnte nicht viel einfacher sein!

Aschik Anuvar

Das Lösen bringt es nicht zu der Lösung, die ich aufgestellt habe, sonst hätte ich das nicht an erster Stelle gepostet

Chu

Warum denkst du, dass es ein HPF ist?

Aschik Anuvar

Ups, ich war da etwas schlampig, danke für den Hinweis, betrachten wir es als allgemeines Szenario

Chu

Dann formulieren Sie die Frage neu

Aschik Anuvar

ja schon gemacht

Andi aka

Bitte lesen Sie meinen Kommentar - ich bin verwirrt, was Sie wollen.

Aschik Anuvar

@Andyaka, ich brauche die 3db-Frequenz der beiden genannten Übertragungsfunktionen.

Chu

Schreiben Sie die ursprüngliche Frage vollständig auf, anstatt das zu geben, was Ihrer Meinung nach gefragt wird.

Andi aka

Als eine große kombinierte TF oder als einzelne TFs?

Aschik Anuvar

von einzelnen TFs @Andyaka

Aschik Anuvar

@Chu Ich habe die Frage klargestellt

Chu

'der genaue Ausdruck ist wie folgt...'. Erstens ist es kein Ausdruck; und zweitens, woher kommt es?

Robert Bristol-Johnson

es wäre schön zu benutzen

L A T E X

$\LaTeX$ für deine Mathe.

G_{1} (s)

$G_1(s)$ ist ein Tiefpassfilter und hat einen einzelnen -3-dB-Punkt.

G_{2} (s)

$G_2(s)$ ist ein Bandpassfilter und hat zwei -3-dB-Punkte. Sie finden die -3-dB-Frequenzen, auch "Halbleistungsfrequenzen" genannt, durch Einsetzen

s \leftarrow j ω

$s \leftarrow j\omega$ und auswerten

| G_{1} (j ω) |^{2}

$|G_1(j\omega)|^2$ Und

| G_{2} (j ω) |^{2}

$|G_2(j\omega)|^2$ , indem Sie diese Ausdrücke auf festlegen

\frac{1}{2} | G_{1} (0) |^{2}

$\frac12 |G_1(0)|^2$ oder

\frac{1}{2} | G_{2} (j ω_{0}) |^{2}

$\frac12 |G_2(j\omega_0)|^2$ Wo

ω_{0}

$\omega_0$ ist die Resonanzfrequenz des BPF (was in Ihrem Fall zufällig ist

ω_{0} = \sqrt{b}

$\omega_0 = \sqrt{b}$ ).

Antworten (1)

3 dB Frequenz der Übertragungsfunktion zweiter Ordnung

Sie müssen nur vorsichtig sein, da die DC-Verstärkung 1 / b beträgt, oder? Das berücksichtige ich bei der Berechnung.
Es ist 4. Ordnung, reduziert sich aber auf 2. Ordnung, wenn Sie es zulassen $\omega^2=\Omega$ . Dann faktorisiert man einfach.
Faktor, aber nicht in einen einfachen Ausdruck, es werden quadratische Terme unter der Wurzel du stehen
Möchten Sie die 3-dB-Bandbreite, wenn beide TFs multipliziert werden?
Nein, es ist nur so, dass beide die gleiche 3-dB-Frequenz geben, einer ist ein LPF und der andere ist ein HPF
Wurzel quadrieren, dann substituieren, dann quadrieren. Könnte nicht viel einfacher sein!
Das Lösen bringt es nicht zu der Lösung, die ich aufgestellt habe, sonst hätte ich das nicht an erster Stelle gepostet
Ups, ich war da etwas schlampig, danke für den Hinweis, betrachten wir es als allgemeines Szenario
Bitte lesen Sie meinen Kommentar - ich bin verwirrt, was Sie wollen.
@Andyaka, ich brauche die 3db-Frequenz der beiden genannten Übertragungsfunktionen.
Schreiben Sie die ursprüngliche Frage vollständig auf, anstatt das zu geben, was Ihrer Meinung nach gefragt wird.
'der genaue Ausdruck ist wie folgt...'. Erstens ist es kein Ausdruck; und zweitens, woher kommt es?
es wäre schön zu benutzen $\LaTeX$ für deine Mathe. $G_1(s)$ ist ein Tiefpassfilter und hat einen einzelnen -3-dB-Punkt. $G_2(s)$ ist ein Bandpassfilter und hat zwei -3-dB-Punkte. Sie finden die -3-dB-Frequenzen, auch "Halbleistungsfrequenzen" genannt, durch Einsetzen $s \leftarrow j\omega$ und auswerten $|G_1(j\omega)|^2$ Und $|G_2(j\omega)|^2$ , indem Sie diese Ausdrücke auf festlegen $\frac12 |G_1(0)|^2$ oder $\frac12 |G_2(j\omega_0)|^2$ Wo $\omega_0$ ist die Resonanzfrequenz des BPF (was in Ihrem Fall zufällig ist $\omega_0 = \sqrt{b}$ ).

Matt L. · Answer 1

Ich zeige Ihnen, wie Sie die 3-dB-Grenzfrequenz für den Tiefpassfilter erhalten $G_1(s)$ . Sie können die Grenzfrequenzen des Bandpassfilters berechnen $G_2(s)$ in ähnlicher Weise, solange Sie wissen, dass seine maximale Größe erreicht wird $\omega=\sqrt{b}$ , wie in einem kommentar von robert bristow-johnson ausgeführt. Letztere Tatsache kann durch Setzen der Ableitung von abgeleitet werden $|G_2(j\omega)|^2$ bis Null. (Beachten Sie, dass $b>0$ ist immer zufrieden $G_1(s)$ Und $G_2(s)$ Übertragungsfunktionen von kausalen und stabilen Filtern sein.)

Zur Berechnung der 3dB-Grenzfrequenz von $G_1(s)$ musst du lösen

\begin{matrix} (1) & | G_{1} (J ω) |^{2} = \frac{| G (0) |^{2}}{2} = \frac{1}{2 B^{2}} \end{matrix}

$|G_1(j\omega)|^2=\frac{|G(0)|^2}{2}=\frac{1}{2b^2}\tag{1}$

Mit

\begin{matrix} (2) & G_{1} (J ω) = \frac{1}{- ω^{2} + J A ω + B} \end{matrix}

$G_1(j\omega)=\frac{1}{-\omega^2+ja\omega+b}\tag{2}$

du erhältst

\begin{matrix} (3) & | G_{1} (J ω) |^{2} = \frac{1}{(B - ω^{2})^{2} + A^{2} ω^{2}} \end{matrix}

$|G_1(j\omega)|^2=\frac{1}{(b-\omega^2)^2+a^2\omega^2}\tag{3}$

Stecken (3) in (1) ergibt

\begin{matrix} (4) & (B - ω^{2})^{2} + A^{2} ω^{2} = 2 B^{2} \end{matrix}

$(b-\omega^2)^2+a^2\omega^2=2b^2\tag{4}$

Mit der Substitution $x=\omega^2$ , erhalten Sie die folgende quadratische Gleichung

\begin{matrix} (5) & X^{2} + (A^{2} - 2 B) X - B^{2} = 0 \end{matrix}

$x^2+(a^2-2b)x-b^2=0\tag{5}$

mit der positiven Lösung

\begin{matrix} (6) & X_{0} = B - \frac{A^{2}}{2} + \sqrt{{(B - \frac{A^{2}}{2})}^{2} + B^{2}} \end{matrix}

$x_0=b-\frac{a^2}{2}+\sqrt{\left(b-\frac{a^2}{2}\right)^2+b^2}\tag{6}$

Aus (6) ergibt sich der Wert der 3dB-Grenzfrequenz

\begin{matrix} (7) & ω_{C} = \sqrt{X_{0}} = \sqrt{B - \frac{A^{2}}{2} + \sqrt{{(B - \frac{A^{2}}{2})}^{2} + B^{2}}} \end{matrix}

$\omega_c=\sqrt{x_0}=\sqrt{b-\frac{a^2}{2}+\sqrt{\left(b-\frac{a^2}{2}\right)^2+b^2}}\tag{7}$

3 dB Frequenz der Übertragungsfunktion zweiter Ordnung

Aschik Anuvar

Chu

Aschik Anuvar

Chu

Aschik Anuvar

Andi aka

Aschik Anuvar

Chu

Aschik Anuvar

Chu

Aschik Anuvar

Chu

Aschik Anuvar

Andi aka

Aschik Anuvar

Chu

Andi aka

Aschik Anuvar

Aschik Anuvar

Chu

Robert Bristol-Johnson

Antworten (1)

Matt L.

Ich möchte die Eckfrequenz dieses Tiefpassfilters zweiter Ordnung finden

Was genau ist die Polfrequenz in einem Filter und wie wirkt sie sich auf den Frequenzgang aus?

Ableitung von Grenzfrequenz und Phasenverschiebung für RC-Tiefpassfilter

Ableitung der Grenzfrequenz des passiven Tiefpassfilters 2. Ordnung

Kann die Ziele beim Entwerfen und Simulieren einer Resonatorschaltung nicht erreichen

Berechnung der Grenzfrequenz eines elektronischen Filters

Designprobleme bei aktiven Bandpassfiltern

Ermitteln der Übertragungsfunktion einer Filterschaltung eines Operationsverstärkers

Aufbau eines Bandpassfilters mit einem Operationsverstärker

Reihenfolge des Filters