Ableitung der Hamilton-Gleichungen aus dem KdV-Hamilton-Operator

Lassen$f=f(q,p)$,$g=g(q,p)$und Possion-Klammer

$$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}. \tag{1}$$ Dann die Hamilton-Gleichungen für den Hamilton-Operator $H=H(q,p)$Sind $$\dot{q}=\{q,H(q,p)\}, \tag{2}$$ $$\dot{p}=\{p,H(q,p)\}. \tag{3}$$ Nun lass $\mathcal{F}(\mathbb{R})$sei ein Funktionsraum auf $\mathbb{R}$also für $u\in\mathcal{F}$wir haben $u$und seine Derivate zerfallen bei $\pm\infty$. Ich versuche, Hamiltons Gleichungen für Hamiltonian zu konstruieren $$H=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}u_x^2-u^3\right)\,dx \tag{4}$$ unter Verwendung der Poisson-Klammer $$\{F,G\}(u)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\delta F}{\delta u}\frac{d}{dx}\left(\frac{\delta G}{\delta u}\right)\,dx. \tag{5}$$ Ist es richtig, wenn ich nehme $H=H(u,v)$mit $u=u$Und $v=u_x$? Wenn ja, sollte ich die Hamilton-Gleichungen so belassen $$\dot{u}=\{u,H\}=-\int_{-\infty}^\infty\left(6uu_x+u_{xxx}\right)\,dx=-\int_{-\infty}^\infty\left(6uv+v_{xx}\right)\,dx ,\tag{6}$$ $$\dot{v}=\{v,H\}=\int_{-\infty}^\infty u_{xx}\,dx=\int_{-\infty}^\infty v_{x}\,dx ,\tag{7}$$ oder die Integrale auswerten?