Ableitung der Proportionalität des Phasenraumvolumens log(Γ)∝N

Question

Ableitung der Proportionalität des Phasenraumvolumens log(Γ)∝N

Wasserwaage

Bei der Ableitung der Extensivität der Entropie für das mikrokanonische Ensemble gehen wir von einem Ensemble aus zwei Systemen mit den Energien aus $E_1$ Und $E_2$ . Die Gesamtenergie wird angegeben als $E<E_1+E_2<E+\Delta$ .

Weiter in der Ableitung, um zu approximieren $\log{\Gamma}$ Und $\log{\frac{E}{\Delta}}$ , verwenden wir die Beziehungen

$\underline{\log{\Gamma}\propto N}$ Und $\underline{\log{\frac{E}{\Delta}}\propto \log{N}}$

mit dem Phasenraumvolumen $\Gamma=\int_{E<H(p,q)<E+\Delta} \frac{1}{N!h^{3N}}\mathrm{d}p^{3N}\mathrm{d}q^{3N}$ Lehrbücher wie Huangs Statistical Mechanics motivieren oder leiten diese Beziehungen nicht ab.

Nur mit dem Wissen um $\Gamma(E)$ oben gegeben, kommen Sie zu den Beziehungen $\log{\Gamma}\propto N$ Und $\log{\frac{E}{\Delta}}\propto \log{N}$ ?

Durch Symmetrie

Können Sie genau erklären, was Sie mit jeder Ihrer Variablen meinen? Du hast ein

E

$E$ , ein

E_{1}

$E_1$ , ein

E_{1 i}

$E_{1i}$ , usw., und es ist schwer abzuleiten, was diese jeweils bedeuten sollen.

Antworten (1)

Ableitung der Proportionalität des Phasenraumvolumens log(Γ)∝N

Können Sie genau erklären, was Sie mit jeder Ihrer Variablen meinen? Du hast ein $E$ , ein $E_1$ , ein $E_{1i}$ , usw., und es ist schwer abzuleiten, was diese jeweils bedeuten sollen.

stechen wie ein Bier · Answer 1

1) Ich nehme an, Sie folgen einer Ableitung in Hunags Lehrbuch, also werde ich versuchen, mich daran zu halten. Ich glaube nicht, dass sein Phasenraumintegral normalisiert ist durch $\frac{1}{N!h^{3N}}$ (Gl. 6.10 in 2. Auflage).

Es ist ein 6N-dimensionales Volumen. Unabhängig von der genauen Form dieses 6N-dimensionalen Volumens wird es also mit N skaliert. Der Log dieses Werts skaliert als N.

Alternativ können Sie davon ausgehen, dass Sie über eine 6N-dimensionale Kugel integrieren, und das Volumen davon ist $R^{6N}$ .

2) In letzter Näherung muss man sagen, dass Energie $E$ Waage als $N$ Und $\Delta$ ist eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Teilchen abhängt.

Gibt es einen theoretischen Grund, warum Energie so skaliert $N$ oder ist es nur empirischer Beweis? Ich kenne die Formel für die Energie eines idealen Gases, aber wenn es sehr starke Wechselwirkungen gibt, sehe ich nicht ein, warum Energie immer noch als N skaliert werden sollte

Ableitung der Proportionalität des Phasenraumvolumens log(Γ)∝N

Wasserwaage

Durch Symmetrie

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stechen wie ein Bier

Nashorn

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