Ableitung der reziproken Gitterdefinition

Erstens besteht die Konvention in der Kristallographie darin, die Fourier-Reihe mit a zu schreiben$2\pi$in der Phase, dh um Ihre zu ersetzen$G$mit$2\pi G$, was ich im Folgenden tun werde. Ich werde auch den Index löschen$m$An$G_m$weil es keine Rolle spielt. Ihre Gleichung (1) entspricht also der Anforderung

$$G.(m \vec{a}_1 + n \vec{a}_2 + o\vec{a}_3)$$

ist eine ganze Zahl für jede ganze Zahl$m$,$n$, Und$o$. Indem Sie die drei folgenden nehmen$mno$: 100, 010, 001 erhalten wir die sogenannten Laue-Gleichungen:

$$\begin{aligned} G.\vec{a}_1 &= h\\ G.\vec{a}_2 &= k\\ G.\vec{a}_3 &= l \end{aligned}$$

für einige ganze Zahlen$h$,$k$,$l$.

Ich würde sagen, der traditionellste Weg, um von hier aus fortzufahren, besteht darin, die Existenz einer einzigartigen Basis zu nutzen$(\vec{a}^*_1, \vec{a}^*_2, \vec{a}^*_3)$dual zur Basis$(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3)$, die die wesentliche Eigenschaft hat, die für jeden Vektor gilt$\vec{H}$,

$$\vec{H}=(\vec{H}.\vec{a}_1)\vec{a}^*_1 + (\vec{H}.\vec{a}_2)\vec{a}^*_2 + (\vec{H}.\vec{a}_3)\vec{a}^*_3.\tag{3}$$

Die Laue-Gleichungen geben dann sofort auf

$$\vec{G}=h\vec{a}^*_1 + k\vec{a}^*_2 + l\vec{a}^*_3,$$

das beweisen$\vec{G}$kann ist eine lineare Kombination von$\vec{a}^*_i$'s mit ganzzahligen Koeffizienten.

Ihr Gl. (2) gilt für diese duale Basis (ohne den Faktor$2\pi$),

$$\vec{a}_i\cdot\vec{a}^*_j = \delta_{ij}\tag{2}$$

da dies eine weitere Charakterisierung davon ist, aber in diesem Ansatz keine Folge von (1) ist: Stattdessen ist es ein allgemeines und grundlegendes Ergebnis der linearen Algebra (da in jeder Dimension duale Basen existieren). In Dimension 3 besteht der einfachste Ansatz darin, die duale Basis als zu konstruieren

$$\vec{a}^*_1 = \frac{\vec{a}_2\times\vec{a}_3}{\det(\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3)}$$

und kreisförmige Permutation von Indizes. Dann folgt leicht (2), woraus dann (3) ersichtlich ist.

Wenn Sie ein Gitter haben, das definiert ist durch (mit m, n, o Ganzzahl)

$\mathbf{l}=m\mathbf{a}_1 + n \mathbf{a}_2 + o \mathbf{a}_3$

dann kann es als 3D-Deltafunktion geschrieben werden$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{l})$.

Das reziproke Gitter ist per Definition seine Fourier-Transformation$\delta(\mathbf{k}-\mathbf{G})$

Wenn Sie nun die Fourier-Transformation des direkten Gitters durchführen, finden Sie ein reziprokes Seitengitter$2\pi/\mathbf{a}$.

Daher ist ihr reziprokes Gitter

$\mathbf{G}=k\mathbf{a}_1^* + p \mathbf{a}_2^* + t \mathbf{a}_3^*$Wo

$\mathbf{a}^*=2\pi/\mathbf{a}$

Beste, Sam