Wie kann man beweisen, dass die Bloch-Funktion im reziproken Gitter periodisch ist?

Wie kann man beweisen, dass die Bloch-Funktion im reziproken Gitter periodisch ist?

Ich habe in einigen Lehrbüchern diese Formel gesehen:

Ψ k ( R ) = ∑ G C k + G e ich ( k + G ) ⋅ R
was die Aussage dieser Frage offensichtlich macht. ( G ist reziproke Gittervektoren)

Aber ich verstehe diese Formel nicht. Ich weiss

Ψ k ( R ) = e ich k ⋅ R u k ( R )
Und u k ( R ) ist eine periodische Funktion des Gitters und kann daher in Fourier-Reihen geschrieben werden:
u k ( R ) = ∑ G C k , G e ich G ⋅ R
Jetzt verstehe ich nicht warum C k , G kann geschrieben werden als C k + G ?

Mehr zu Blochwellen .

Antworten (4)

Blochfunktionen sind im reziproken Raum nicht notwendigerweise periodisch. Durch die Translationssymmetrie des Gitters entsteht die Wellenfunktion ψ N k ( R ) muss die Bloch-Bedingung erfüllen:

ψ N k ( R − R ) = e − ich k ⋅ R ψ N k ( R )
Wo R ist ein Gittervektor. Dies wird nun generisch durch eine Funktion der Form erfüllt
ψ N k ( R ) = e ich k ⋅ R u N k ( R )
Wo u N k ( R − R ) = u N k ( R ) . Aber die Wahl von u N k ( R ) ist nicht einzigartig. Es gibt eine Maßfreiheit, die wir nehmen können u N k ( R ) ↦ e − ich G ⋅ R u N k ( R ) und die neue Wellenfunktion wird immer noch die Bloch-Bedingung erfüllen. Ist es also egal, welchen wir wählen?

Nun, die Konvention ist, die sogenannte periodische Eichbedingung zu wählen , dh wir wählen die Wellenfunktion ψ N k im reziproken Raum periodisch sein: ψ N , k + G ( R ) = ψ N k ( R ) . Damit dies wahr ist, müssen wir a wählen u N k ( R ) was befriedigt

u N , k + G ( R ) = e − ich G ⋅ R u N k ( R )

Das macht also ψ N k ( R ) periodisch im reziproken Raum. Wir müssen diese Bedingung nicht erfüllen, aber sie ist konventionell und bequem.

Nur als zusätzlicher Hinweis, der periodische Messgerätezustand ist nicht immer möglich. Zumindest nicht auf eine glatte Art und Weise. Wenn das Band topologisch ist, dh eine nicht-triviale Chern-Zahl hat, gibt es dafür ein topologisches Hindernis. Dies impliziert unter anderem, dass die entsprechenden Wannier-Zustände nicht lokalisiert sind. Die Frage nach dem OP ist also eigentlich sehr gut und nicht trivial, obwohl diese wichtige Feinheit in Büchern oft beschönigt wird. Referenzen: arxiv.org/abs/cond-mat/0608527 , arxiv.org/abs/math-ph/0601034 , arxiv.org/abs/cond-mat/0606726 .

Da sich der Summationsindex nur auf G bezieht, können Sie "k" und auch k = G + k (das zeigt die transnationale Symmetrie) vergessen. und schau hier .

G=G+k ? Meinst du k = k+G ?
Auch Ihr Argument ist nicht wahr, eine Funktion von zwei Argumenten C k , G ist nicht notwendig, sich nur darauf zu verlassen k + G
Ja, meine Aussage korrigiert!

Wegen des reziproken Gitters G -periodisch, der Zustand mit einem Wellenvektor k + G beschreibt den gleichen Zustand wie der Wellenvektor k . Sie können daher Ihr Studium auf die erste Brillouin-Zone reduzieren ( − π < k ≤ π ). Das bedeutet, dass der Koeffizient in Ihrer Fourier-Entwicklung nur davon abhängt, wo Sie sich innerhalb dieser Zone befinden. Sie können beliebig oft addieren oder subtrahieren G wie Sie möchten von Ihrem k Vektor, und das Ergebnis bleibt gleich. Zumindest in einfachen Beschreibungen, wo keine weiteren Korrekturen das Bloch-Theorem nur zu einer Annäherung machen.

Ich bin auch nicht zufrieden mit der Darstellung, die in den meisten Lehrbüchern (Festkörperphysik) zu finden ist, und denke, dass man dies ohne Gruppentheorie nicht rigoros beweisen kann. Das Argument wäre in einer Umgebung mit periodischen Randbedingungen (Born-von Karman) wo folgendes Ψ ( X + N A ) = Ψ ( X ) (der Einfachheit halber in 1d):

Verwenden

[ H , T ] = 0   ,
wobei der Übersetzungsoperator definiert ist als
T F ( X ) = F ( X + A )   ,
k beschriftet die N einzigartige Lösungen Ψ k das kann man unterscheiden T und Ertrag
T Ψ k ( X ) = e ich k A Ψ k ( X ) mit k ∈ { 2 π N N A : N ∈ N [ 0 , N ) }   .
Nun, für alle Ψ k ' mit k ' = k + G , Wo G = 2 π / A ⋅ M ein ganzzahliges Vielfaches des reziproken Gittervektors ist B = 2 π / A , würden wir finden
T Ψ k + G ( X ) = e ich k A Ψ k + G ( X )   ,
dh Ψ k ' liefert die gleichen Eigenwerte von T als Ψ k und ist daher nicht unterscheidbar Ψ k da es zu derselben irreduziblen Darstellung gehört. Wir können also definieren
Ψ k + G ( X ) ≡ Ψ k ( X ) für alle G = 2 π / A ⋅ M   .
Alle Eigenschaften der Fourier-Darstellung von Ψ k sind eine Folge davon und nicht umgekehrt.

Literatur:

  • Dresselhaus, Gruppentheorie, Kap. 10.2
  • Zee, Gruppentheorie in Kürze, Kap. III.1
Ich habe die gleichen Zweifel. Vielen Dank für Ihre Hilfe. Ich habe einen Zweifel. Ich hoffe du kannst antworten. Sie schrieben: „Ψk′ liefert die gleichen Eigenwerte von T wie Ψk und ist daher nicht von Ψk unterscheidbar“ Ist das eine Eigenschaft der Eigenfunktionen? oder ist es Teil der Gruppentheorie?
Es ist eine Eigenschaft des Betreibers T was nur hat N Eigenwerte und damit Eigenfunktionen, die mit gekennzeichnet sind N Werte von k . Hilft das?
Danke für Ihre Antwort. Sorry, ist mir noch nicht klar. Das Argument ist also, dass der Operator T nur einen Satz von Eigenwerten hat, und da beide Zustände die gleichen Eigenwerte haben, müssen sie derselbe Zustand sein. Aber woher wissen wir, dass dies der Fall sein muss? was lassen uns das schließen? Wie können wir sicher sein, dass es sich nicht um unterschiedliche Zustände mit denselben Eigenwerten handelt?
Ich habe und würde nicht sagen muss , kann aber in folgendem Sinne: Die beiden Funktionen "sehen" unter Übersetzungen auf die gleiche Weise um, sodass sie keine Zustände darstellen können, die sich in den Übersetzungseigenschaften unterscheiden. Dies bedeutet natürlich nicht, dass Sie nicht mehr als einen physischen Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt haben können k . Im Gegenteil, deshalb haben wir eine Bandstruktur. Aber alle Wellenfunktionen dabei k wird in ähnlicher Weise unter Übersetzung umwandeln A .
Wie kann man beweisen, dass die Bloch-Funktion im reziproken Gitter periodisch ist?
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