Ableitung der Van-der-Waals-Gleichung?

Er nahm an, dass die zwischenmolekularen Kräfte zu einem Unterdruck an den Wänden des Behälters führen, in dem sich ein echtes Gas befindet. Außerdem haben die Moleküle eine endliche Größe, was bedeutet, dass sie nicht das gesamte Volumen des Behälters für sich haben; etwas weniger als das. Also bei ihm entfiel die reduzierte Lautstärke durch v − N B , warum tat er es nicht P − A N 2 v 2 und tat stattdessen Folgendes: Er rechnete die reduzierte Lautstärke zuerst mit ab v − N B , dann benutzte er

P ( v − N B ) = N R T
und dann
P = N R T v − N B ,
sagte dann, dass der reale Druck um einen Betrag geringer ist als der ideale Gasdruck A N 2 v 2 woraus das Folgende folgt
P R e A l = N R T v − N B − A N 2 v 2
und deshalb
( P R e A l + A N 2 v 2 ) ( v − N B ) = N R T .

Meine Frage ist: Was ist die Logik dahinter? Was wäre, wenn er es andersherum täte? Das heißt, zuerst um den reduzierten Druck korrigiert und dann um das reduzierte Volumen korrigiert, was die folgenden Schritte ergeben hätte

Korrektur für den Druck ZUERST (Reduzierung des idealen Drucks um einen Betrag A N 2 v 2 )

v = N R T ( P ich D e A l − A N 2 v 2 )

Korrigieren Sie dann die Lautstärke, indem Sie sie um einen Betrag verringern N B , geben

v = N R T ( P ich D e A l − A N 2 v 2 ) − N B

geben

( P ich D e A l − A N 2 v 2 ) ( v + N B ) = N R T

Sollte die Zustandsgleichung sein

P R e A l v R e A l = N R T
oder
P ich D e A l v R e A l = N R T
oder
P R e A l v ich D e A l = N R T
??

Ich denke, er könnte das tun. Aber die Daten stimmen nicht mit den Testdaten überein.
Das klingt so falsch, tut mir leid zu sagen. Er sagt, dass der reale Druck geringer ist als der ideale Gasdruck und fährt dann tatsächlich fort, ihn um zu ERHÖHEN A N 2 v 2 statt abnehmen?! Wenn sowohl das real verfügbare Volumen als auch der reale Druck geringer sind als die idealen Gegenstücke, sollte für beide ein Minuszeichen vorhanden sein. ( P ich D e A l − A N 2 v 2 ) ( v − N B ) = N R T
Ich glaube, Sie haben hier ideal und real falsch verstanden. P ich D e A l = N R T v Und P R e A l = P ich D e A l − A N 2 v 2 . Aber wegen seiner Modifikation der Lautstärke wird der eigentliche Druck P R e A l = N R T v − N B − A N 2 v 2 . van der Waals war mit dem idealen Gasgleichungszustand nicht zufrieden und modifizierte ihn. Der Gleichungszustand wird für echtes Gas verwendet, obwohl wir auch wissen, dass er bei weitem nicht genau ist.
Ich habe es korrigiert; es war ein dummer Fehler. Mir ist eigentlich ziemlich klar, was wirklicher und idealer Druck und Volumen sind. Meine Frage bezog sich auf die Reihenfolge, in der er die scheinbar willkürliche Korrektur vornahm. Wenn Sie ZUERST den Druck und dann das Volumen korrigieren, erhalten Sie die letzte Gleichung, die ich in meiner Frage geschrieben habe.
Wenn Sie die Reihenfolge ändern, sollte es nicht anders sein. Sie gehen zunächst durch Druckkorrektur P R e A l = N R T v − A N 2 v 2 und dann gehen Sie zweitens, indem Sie die Lautstärke korrigieren. Ich stelle fest, dass Sie in Ihrer letzten Gleichung einen idealen Druck verwenden, der nicht von van der Waals beabsichtigt ist.
@ user115350, bitte sehen Sie sich die Änderungen an
Danke. Ich sehe, Sie verwenden v R e A l und richtige Lautstärke v = N R T ( P ich D e A l − A N 2 v 2 ) − N B . Lesen Sie das Lehrbuch: "Eine Flüssigkeit kann nicht auf Null Volumen komprimiert werden, wir haben das Volumen auf einen Mindestwert von Nb begrenzt, bei dem der Druck unendlich wird." Die von Ihnen vorgenommene Lautstärkekorrektur ist also nicht korrekt.

Antworten (1)

Die formellere Ableitung der Van-der-Waals- Zustandsgleichung verwendet die Partitionsfunktion. Wenn wir eine Interaktion haben U ( R ich J ) zwischen Teilchen ich Und J , dann können wir in der Mayer- Funktion expandieren,

F ich J = e − β U ( R ich J ) − 1

die Partitionsfunktion des Systems, die z N ununterscheidbare Teilchen sind gegeben durch

Z = 1 N ! λ 3 N ∫ ∏ ich D 3 R ich ( 1 + ∑ J > k F J k + ∑ J > k , l > M F J k F l M + … )

Wo λ eine praktische Konstante ist, die thermische De-Broglie- Wellenlänge, und diese Ausdehnung wird einfach durch die Taylor-Reihe des Exponentials erhalten. Der erste Begriff ∫ ∏ ich D 3 R ich gibt einfach v N , und die erste Korrektur ist einfach jedes Mal die gleiche Summe, was dazu beiträgt,

v N − 1 ∫ D 3 R F ( R ) .

Die freie Energie kann aus der Zustandssumme abgeleitet werden, die es uns ermöglicht, den Druck des Systems anzunähern als

P = N k B T v ( 1 − N 2 v ∫ D 3 R F ( R ) + … ) .

Wenn wir die Van-der-Waals- Wechselwirkung verwenden ,

U ( R ) = { ∞ R < R 0 − U 0 ( R 0 R ) 6 R ≥ R 0

und das Integral auswerten, finden wir,

P v N k B T = 1 − N v ( A k B T − B )

Wo A = 2 3 π R 0 3 U 0 Und B = 2 3 π R 0 3 die direkt mit dem ausgeschlossenen Volumen zusammenhängt Ω = 2 B .

Wow, das ist schnell eskaliert. Aber zum Glück habe ich es vollständig verstanden. Danke schön. Nur als zukünftige Referenz sollte ich die Ableitung, die ich in der Frage beschrieben habe, nicht verwenden, oder? Denn es scheint mehr Fragen aufzuwerfen, als es beantwortet.
@PrasadMani Es ist nichts Falsches daran, zu versuchen, so zu argumentieren, wie Sie es getan haben, aber ich bevorzuge diesen Ansatz aus drei Gründen: 1) Aus der mathematischen Erweiterung verstehen wir, warum er auf niedrige Dichten und hohe Temperaturen beschränkt ist. 2) Der Ansatz ist leicht verallgemeinerbar. 3) Es gibt eine Beziehung zwischen den Koeffizienten und dem Potential selbst.
Ich habe es eigentlich nicht so begründet; es wurde mir vor langer Zeit beigebracht. Die Stat-Mech-Ableitung scheint der richtige Weg zu sein, da die Ableitung, die mir beigebracht wurde, mit den von mir hervorgehobenen Fragen durchsetzt ist. Und hat er nur bis zur Korrektur erster Ordnung verwendet?
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