Trefferquote von Molekülen an einer Wand

Question

Trefferquote von Molekülen an einer Wand

Lopey groß

Überprüfung meines Abschlusses vom letzten Semester zur Vorbereitung auf die Prüfungen:

Frage:

Ein Kolben der Masse M kann sich frei in einem Rohr mit Querschnittsfläche A bewegen, das mit idealem einatomigem Gas mit Molekülmasse m ≪ M und Dichte n bei Temperatur T gefüllt ist.

Der erste Teil der Frage lautet:

Berechnen Sie die Rate der molekularen Kollisionen mit dem Kolben (beide Seiten).

Ich habe in einem meiner Lieblings-SM-Bücher (Blundell und Blundell) eine Gleichung gefunden, von der ich denke, dass sie hier helfen würde:

Die Lösung meines Professors funktioniert jedoch vollständig in 1-Dimension und verwendet daher die 1-D-Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Und damit kann ich mich rechtfertigen das zu nehmen $1/2 cos(\theta) sin(\theta) d\theta$ aus Gleichung 6.12 heraus, um mit dem übereinzustimmen, was mein Professor in seiner Lösung hat.

Daher

N = A \cdot v \cdot D T \cdot N \cdot F (v) \cdot D v

$N= A \cdot v \cdot dt \cdot n \cdot f(v) \cdot dv$

wobei n = Anzahldichte (N/V), A die Fläche der Wand/des Kolbens, v die Geschwindigkeit, dt ein gewisses Zeitintervall und f(v) die 1-d-Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist.

Meine Frage ist, woher die Integration meines Professors in seiner bereitgestellten Lösung kommt:

\frac{D N}{D T} = 2 \cdot (\frac{M}{2 π T})^{1 / 2} \cdot N \cdot A \cdot \int_{0}^{\infty} v e^{\frac{- M v^{2}}{2 T}} D v = N A \sqrt{\frac{2 T}{π M}}

$\frac{d N}{dt} = 2 \cdot \bigg(\frac{m}{2 \pi T}\bigg)^{1/2}\cdot n \cdot A \cdot \int_0^\infty v e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv = n A \sqrt{\frac{2T}{\pi m}}$

Ich habe fast alle diese Zutaten aus der Gleichung von Blundell und Blundell außer der Integration auf der rechten Seite und dem dN im Gegensatz zu nur dem N auf der linken Seite.

Die einzige Integration der Verteilung, mit der ich vertraut bin, ist für die durchschnittliche Geschwindigkeit,

\bar{v} = \int_{0}^{\infty} v F (v) D v

$\bar{v} = \int_0^\infty v f(v) dv$

Was lese ich falsch in Bezug auf die fehlende Integration in dieser Gleichung von Blundell und Blundell?

Ein Beispiel für die Integration, um NI zu wissen, ist im Fall des entarteten Fermigases bei einer kleinen, aber von Null verschiedenen Temperatur aus Gleichung 7.53 von Schröder

N = \int_{0}^{\infty} G (ϵ) {\bar{N}}_{F D} (ϵ) D ϵ

$N= \int_0^\infty g(\epsilon) \bar{n}_{FD}(\epsilon) d\epsilon$

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Trefferquote von Molekülen an einer Wand

JEB · Answer 1

Die eindimensionale Verteilung, auf die Sie sich beziehen, ist die Geschwindigkeit (im Gegensatz zur Geschwindigkeit).

P (\vec{v}) D^{3} v

$p(\vec v)d^3v$ ist wirklich

P (v_{X}, v_{j}, v_{z}) D v_{X} D v_{j} D v_{z} \to P (v) v^{2} D v

$p(v_x, v_y, v_z)dv_xdv_ydv_z\rightarrow p(v)v^2dv$

da das Volumenelement eine Hülle im Geschwindigkeitsraum ist.

Für dieses Problem betrachten Sie den Fluss über einen Bereich:

P (\vec{v}) \vec{v} \cdot \hat{A} = P (v_{X}) v_{X} A_{X} + P (v_{j}) v_{j} A_{j} + P (v_{z}) v_{z} A_{z}

$p(\vec v)\vec v \cdot \hat A = p(v_x)v_xA_x + p(v_y)v_yA_y + p(v_z)v_zA_z$

Wo $\hat A$ ist die Normale zur Oberfläche. Seit $A_y=A_z=0$ , Und $A_x=1$ , Sie verwenden nur:

P (v_{X}) v_{X}

$p(v_x)v_x$

Ich bin damit völlig einverstanden, meine Frage bezieht sich auf die Diskrepanz zwischen Integration und keiner Integration

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