Wie berechnet man die Zustandsdichte für verschiedene Gasmodelle?

Um zu verstehen, wie man die Zustandsdichte berechnet, müssen Sie zuerst verstehen, woher sie kommt. In der statistischen Physik haben wir oft Summen, die so aussehen:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}$$ Wo $s$Etiketten drehen und $\vec n$ist ein Vektor aus natürlichen Zahlen, der die Quantenzustände bezeichnet, und er hat so viele Komponenten wie die Anzahl der Dimensionen. Wir könnten es auch als Summen über seine Komponenten schreiben, $\sum_{n_1}\sum_{n_2}\sum_{n_3}\cdots$. Was genau wir summieren, spielt bei der Berechnung der Zustandsdichte keine Rolle.

Bei vielen Berechnungen liegen die Quantenzustände sehr eng beieinander, und wir können die Summe über die Quantenzahlen durch ein Integral ersetzen:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}\to \sum_{s}\int dn_1 dn_2 \cdots dn_D =\sum_{s}\int d^D \vec n$$ Wo $D$ist die Anzahl der Dimensionen. Natürliche Zahlen sind jedoch nie wirklich fein verteilt, sondern die Impulse sind so, dass wir sie ersetzen $\vec n$mit $\vec k$, vorausgesetzt, das System befindet sich in a $D$Abmessungen Box: $\vec k = \frac{2\pi}{L}\vec n$. Dadurch erhalten wir $$\sum_{s}\int d^D \vec n = \sum_{s} \frac{L^D}{(2\pi)^D} \int d^D \vec k$$ Wenn sich das System nicht in einer Box befindet, müssen wir nur etwas ändern, um es zu ersetzen $L^D$mit dem $D$dimensionales Volumen $V$des Systems (z. B. ist das zweidimensionale Volumen eine Fläche) und fahren Sie wie gewohnt fort.

Der Einfachheit halber ersetzen wir jetzt auch die Summe über Drehungen. Wenn die Menge, die wir summieren, unabhängig vom Spin ist, können wir ersetzen$\sum_s \to g_s$Wo$g_s=2s+1$ist die Spinentartung. Für ein Elektron gilt$s=1/2$So$g_s=2$. Natürlich wissen wir nicht, was wir summieren, also wissen wir nicht, ob es unabhängig vom Spin ist, aber bei der Berechnung der Zustandsdichte wird normalerweise davon ausgegangen, dass dies der Fall ist.

Als nächstes bemerken wir, dass die Menge, die wir summieren, normalerweise nicht vom gesamten Vektor abhängt$\vec k$aber nur in seiner Größenordnung$|\vec k|=k$. Um die Redundanz loszuwerden, gehen wir zu$D$ dimensionale sphärische Koordinaten (die eine radiale Komponente haben$k$Und$D-1$Winkelkomponenten). Da der Integrand nach Annahme nicht von den Winkelfreiheitsgraden abhängt, können wir sie herausintegrieren, um die Fläche von zu erhalten$D-1$dimensionale Sphäre:

$$\int d^D \vec k = S_{D-1} \int_0^\infty dk \, k^{D-1}$$ Sie können sich selbst davon überzeugen, dass Sie entweder lange genug darauf starren oder indem Sie auf das schauen $D=2$Und $D=3$Fälle: $$\int d^2 \vec k = 2\pi \int_0^\infty dk \, k \,\,\,\,\,\,\,\, \int d^3 \vec k = 4\pi^2 \int_0^\infty dk \, k^2$$ Sie können den Ausdruck für finden $S_{D-1}$auf der oben verlinkten Wikipedia-Seite.

Zusammenfassend haben wir bisher folgendes gemacht:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}\to \frac{V g_s S_{D-1}}{(2\pi)^D} \int_0^\infty dk \, k^{D-1}$$ An dieser Stelle wollen wir das Integral als Eins über der Energie ausdrücken $\epsilon$statt zu viel Schwung $k$, und dazu müssen wir die Dispersionsbeziehung kennen $\epsilon = \epsilon(k)$. When kann es dann umkehren und in das Integral einsetzen.

Also zum Beispiel in der$2D$idealer Gaskasten,$V$ist eigentlich die Gegend$A$,$S_{D-1} = 2\pi$,$g_s=1$und die Dispersionsrelation ist$\epsilon(k)=\hbar^2 k^2/2m$. Invertieren,$k=\sqrt{2m \epsilon}/\hbar$also bekommen wir:

$$\frac{A}{2\pi} \int_0^\infty dk \, k = \int_0^\infty \frac{mA}{2\pi \hbar^2} d\epsilon$$ so ist die Zustandsdichte in diesem Fall $\frac{mA}{2\pi \hbar^2}$. Wenn Sie die obigen Schritte befolgen, sind die Berechnungen in den anderen Fällen nicht schwierig.

Hinweis: Die Energiezustandsdichte hängt mit der Zustandsdichte in zusammen$\textbf{k}$-Leerzeichen als:

$g(E)dE = D g(\textbf{k})d^n(\textbf{k})=Dg_{nD}(k)dk$

Wo$D$ist die Entartung der Staaten und$n$ist die Dimension der betrachteten Struktur.

Aus der Beziehung,$g(E)$($D(\epsilon)$in der Frage) kann definiert werden als:

$g(E) = \frac{Dg_{nD}(k)}{\frac{dE}{dk}}$

Nehmen Sie Ihre erste Frage als Beispiel,$D=1$da es für ideales Gas keine Entartung gibt, und$n=2$da es zweidimensional ist. Somit:

$g(\textbf{k})d^2\textbf{k} = (\frac{L}{2\pi})^22\pi k dk = g_{2D}(k)dk$

$\frac{dE}{dk}=\frac{\hbar^2k}{m}$

Und somit

$g(E) = \frac{(\frac{L}{2\pi})^22\pi k}{\frac{\hbar^2k}{m}}$

wie gewünscht.