Was ist der Unterschied zwischen ⟨v2⟩⟨v2⟩\langle v^2 \rangle und ⟨|v|⟩2⟨|v|⟩2\langle |v|\rangle^2?

Nehmen wir ein Beispiel: das ideale Gas. Das kenne ich zum Beispiel ⟨ v ⟩ 2 ist anders als ⟨ v 2 ⟩ , als ⟨ v ⟩ = 0 aufgrund fehlender Vorzugsrichtung.
Aber wissen, ob ich den Mittelwert des absoluten Werts berechne ⟨ | v | ⟩ Ich bekomme:

M 2 ⟨ | v | ⟩ 2 = 4 π k B T ≠ 3 2 k B T = M 2 ⟨ v 2 ⟩
Wo k B T ist die ''thermische Energie'' und M die Masse der Teilchen. In einfachen Worten:
⟨ v 2 ⟩ ⟨ | v | ⟩ 2 = 3 π 8 ≈ 1.18

Gibt es eine physikalische oder mathematische Interpretation dieser Meinungsverschiedenheit?

Bearbeiten: Vielleicht ist das Verhältnis keine große Sache, aber ich versuche, einen Unterschied in der Literatur in Bezug auf die Lorenz-Zahl im Drude-Modell auszuräumen. Einige Autoren verwenden ⟨ v 2 ⟩ (Ashcroft, Mermin Solid State Physics) und andere ⟨ | v | ⟩ 2 (Kittel und andere wie Hyperphysics ).

Die Sache ist, dass Sie vergleichen ⟨ v 2 ⟩ mit (     ⟨ | v | ⟩     ) 2 . Das sind andere. Die erste wäre die gleiche wie ⟨ | v | 2 ⟩ , aber nicht, wenn das Quadrat draußen ist.
@FGSUZ Das verstehe ich.

Antworten (3)

Es gibt keinen Grund dafür, dass die Identität bestehen bleibt; Im Allgemeinen ist der Mittelwert der Quadratwurzel einer nicht negativen Zufallsvariablen nicht die Quadratwurzel des Mittelwerts.

Aber hat dieses Verhältnis eine Bedeutung? Ich meine, der Unterschied zwischen dem Mittelwert des Quadrats von v und dem Mittelwert von v im Quadrat hängt normalerweise mit einer gewissen Standardabweichung zusammen. In diesem Fall geht es um die Differenz zwischen dem Mittelwert des Quadrats von v und dem Mittelwert von |v| kariert.
Alles macht nur Sinn, wenn es in Berechnungen natürlich auftaucht.
@VladimirKalitvianski tut es, siehe Bearbeiten.

Vergiss, dass die Geschwindigkeit ein Vektor ist v → für den Moment, und lass es einfach v := v → bezeichnen die Geschwindigkeit (dh Modul des Geschwindigkeitsvektors). Dies ist nur eine nicht negative reelle Zufallsvariable, und Sie fragen sich, warum ⟨ v 2 ⟩ ≠ ⟨ v ⟩ 2 . Aber bekanntlich ist der Unterschied zwischen diesen beiden Ausdrücken nur die Varianz von v .

Ok, um das zu klären, die Varianz ist < v^2 > - < v>^2 oder <v^2> - < vec(v) >•< vec(v) > ? Ist da ein Unterschied?
@ Mauricio Ich habe über die Varianz von diskutiert | v | , welches ist ⟨ v 2 ⟩ − ⟨ v ⟩ 2 . Jedoch, ⟨ v 2 ⟩ − ⟨ v → ⟩ ⋅ ⟨ v → ⟩ = ∑ ich ( ⟨ v ich 2 ⟩ − ⟨ v ich ⟩ 2 ) ist eine Summe der Varianzen der Komponenten.
Bleiben wir bei 1D. In QM berechnen wir die Varianz des Impulses P eines gegebenen Zustands als <p^2> - <p>^2 und nicht als <p^2> - <|p|>^2
@Mauricio Ersteres ist die Varianz des Impulses, letzteres des vorzeichenlosen Impulses. Die Radial-Vektor-Unterscheidung besteht auch dann, wenn der "Vektor" 1D ist.

Man ist definiert als

⟨ | v | ⟩ = ∫ | v | F ( v ) D v ∫ F ( v ) D v
während der andere
⟨ v 2 ⟩ = ∫ v 2 F ( v ) D v ∫ F ( v ) D v .
Es ist klar, dass ⟨ | v | ⟩ 2 ≠ ⟨ v 2 ⟩ .

Was ist der Unterschied zwischen ⟨v2⟩⟨v2⟩\langle v^2 \rangle und ⟨|v|⟩2⟨|v|⟩2\langle |v|\rangle^2?
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