Welche Beziehung besteht zwischen der Maxwell-Boltzmann-Statistik, der Boltzmann-Verteilung und der Maxwell-Boltzmann-Verteilung? [geschlossen]

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung und die Boltzmann-Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen, dh Funktionen$\rho(\vec x,\vec v)$der Geschwindigkeit und Position eines Teilchens, die sagen, wie hoch die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, dass Geschwindigkeit und Position zu dem kleinen Würfel um den gegebenen Wert von ihnen gehören.

Die Boltzmann-Verteilung ist die allgemeinere,$\rho \sim \exp(-E/kT)$, die besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten exponentiell mit der Energie abnehmen. Die Energie$E=E(\vec x,\vec v)$ist eine Funktion von Position und Geschwindigkeit. Wenn die jeweilige Abhängigkeit von der Position (potentielle Energie) ersetzt wird$E$, sprechen wir normalerweise vom Boltzmann-Anteil (Faktor) der Verteilung.

Wenn wir die kinetische Energie einbeziehen$E_k=mv^2/2$, erhalten wir den Maxwell-Teil der Verteilung. Manchmal,$\rho\sim \exp(-mv^2/2kT)$ist als Maxwell-Boltzmann-Verteilung bekannt, auch wenn keine potentielle Energie vorhanden ist$E_P$ist darin enthalten$E$. Maxwell und Boltzmann unterscheiden sich also als „kinetischer“ und „potenzieller“ Teil der allgemeinen Boltzmann-Verteilung.

Andererseits ist die Maxwell-Boltzmann-Statistik eine Regel, wie man die Informationen über viele Teilchen der gleichen "Spezies" statistisch behandelt. Die Regel, die einzige, die in der klassischen (Prä-Quanten-)Physik bekannt ist, besagt, dass sie trotz gleicher Eigenschaften unterscheidbar sind. Hier gibt es keine Verteilung – es ist eine Regel, die besagt, dass die Positionen$(\vec x_1,\vec x_2)$Und$(\vec x_2,\vec x_1)$von zwei Teilchen sind verschieden.

Die Beziehung zwischen der Statistik und der Verteilung (für ein Teilchen) besteht darin, dass die Verteilung aus der Statistik abgeleitet werden kann, wenn wir nach dem wahrscheinlichsten Weg suchen, die Energie auf viele Teilchen der gleichen Art aufzuteilen. Das "wahrscheinlichste" bedeutet, das Volumen des Phasenraums zu maximieren.

Die Maxwell-Boltzmann-Statistiken und -Verteilungen werden besonders im Gegensatz zu ihren Quanten-Pendants, den Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistiken/-Verteilungen, diskutiert. In diesen Statistiken sind die Partikel nicht zu unterscheiden. Darüber hinaus darf in der Fermi-Dirac-Statistik höchstens 1 Teilchen die gleiche Liste von Eigenschaften haben.

Die BE- und FD-Verteilungen sind abgeleitet und sehen etwas anders aus. Während der Boltzmann auf einem basiert$\exp(-E/kT) = 1/\exp(E/kT)$, die BE- und FD-Verteilungen sind