Ist der Begriff des Lebesgue-Maß ein notwendiges Konstrukt für die statistische Physik? [Duplikat]

Unpopuläre Meinung hier: nein, man "braucht" das Lebesgue-Maß nicht, um Physik zu machen. Sie brauchen keine Funktionsanalyse, keine Verteilungstheorie, keine Mathematik, die über das hinausgeht, was ein Highschool-Schüler weiß.

Keines dieser Dinge ist wesentlich, um zu beschreiben, was die Natur tut; Der Inhalt der Postulate der Quantenmechanik oder der speziellen Relativitätstheorie oder der statistischen Mechanik ist physikalischer , nicht mathematischer Natur. Es ist wahr, dass Sie ausgefallene mathematische Objekte hinzufügen können, um die Postulate schöner aussehen zu lassen, wie es oft Jahrzehnte oder Jahrhunderte später getan wurde. Aber das ist etwas ganz anderes als die Kernaufgabe herauszufinden, wie sich die Natur verhält.

Betrachten Sie ein einzelnes Teilchen mit dem Hilbert-Raum$L^2(\mathbb{R}^3)$. Absolut nichts experimentell Sichtbares ändert sich, wenn ich einen Impuls-Raum-Grenzwert einfüge, zB ein diskretes Gitter, auf dem das Teilchen hüpft, sagen wir auf der Planck-Skala. Es ändert sich auch nichts, wenn ich das Teilchen in eine große, aber endliche Box setze, sagen wir, die Größe des beobachtbaren Universums. Aber jetzt befinden wir uns in einem endlichdimensionalen Vektorraum und es besteht keine Notwendigkeit für ausgefallene Mathematik.

Wir brauchen immer noch Kalkül, aber selbst das kann entfernt werden; diskretisieren Sie einfach die Zeit und führen Sie Zeitschritte durch, wie jede jemals geschriebene numerische Simulation. Dann sind Sie nur noch auf elementare Arithmetik angewiesen. Wir haben die gesamte Mathematik verloren, aber wir haben immer noch die Quantenmechanik , weil die physikalischen Postulate der Superposition, der einheitlichen Evolution, der Born-Regel usw. alle noch intakt sind. Ebenso in der statistischen Mechanik die thermodynamische Grenze$N \to \infty$existiert nicht; Sie haben es immer mit einer vollkommen endlichen Anzahl von Teilchen zu tun, was die Situation auf die klassische Mechanik reduziert. Dieser Aufbau funktioniert sogar in der relativistischen Quantenfeldtheorie; Es wird regelmäßig in der Gitter-QCD verwendet, wo es Ergebnisse liefert, die auf andere Weise nicht gefunden werden können.

Ich bin nicht anderer Meinung, dass mathematische Werkzeuge elegant und nützlich sein können, aber ich lehne es entschieden ab, sie mit der Physik selbst in Verbindung zu bringen. Wir wissen, wie die Natur funktioniert, sobald wir die richtigen Gesetze gefunden und gezeigt haben, dass sie mit dem Experiment übereinstimmen – nicht, wenn wir sie mit voller mathematischer Strenge schreiben.

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Soweit das Lebesgue-Maß benötigt wird, um die Lebesgue-Integration zu definieren, ist es von zentraler Bedeutung für die Quantenmechanik: Im Allgemeinen fordern wir, dass Wellenfunktionen als Funktion der Position quadratisch integrierbar sind.

Genauer gesagt reagieren in QM-Zustände auf Strahlen in einem Hilbert-Raum. Hilbert-Räume sind vollständige innere Produkträume, und das Lebesgue-Integral ist erforderlich, um den relevanten Hilbert-Raum zu vervollständigen, siehe Wann ist die Lebesgue-Integration gegenüber der Riemann-Integration in der Physik nützlich?

Es ist wahr, dass die Ortsbasis nichts Besonderes ist, aber dieser Forderung kann man sich nicht entziehen: Das Lebesgue-Maß ist notwendig, um eine geeignet quadratische normierbare Wellenfunktion in der Ortsbasis zu definieren.

Das Integral wurde zuerst von Newton als Teil seiner Methode der Fluxionen, dh des Kalküls, definiert.

Riemann stellte das Integral mit den Methoden der reellen Analysis auf eine strenge Grundlage. Es war schnell klar, dass es nicht viele gute Eigenschaften hat, wenn man Grenzen nimmt.

(Um festzustellen, wie nützlich diese Eigenschaft ist, kann man sich an eine der Geschichten erinnern, die Feynman in seinen Büchern erzählte, wo er den Ableitungsoperator über das Integralzeichen hinaus vertauschen würde).

Die Definition, die schließlich angenommen wurde, war das Lesbegue-Integral, das dies tat - zum Beispiel hatte es die Sätze von monotoner und dominierter Konvergenz und das Fubini-Theorem über das Vertauschen von Grenzen in einem Doppelintegral. Es konnte auch auf abstrakten Räumen, beispielsweise Gruppen, definiert werden, und tatsächlich haben lokal kompakte Gruppen einen Avatar des Lesbegue-Maß, das Haar-Maß genannt wird, das das einzigartige translationsinvariante Maß ist. Schließlich bildeten quadratisch integrierbare Funktionen einen vollständigen inneren Produktraum, auch bekannt als Hilbert-Raum.

Soweit die Physik formalisiert ist oder werden soll (was nicht immer der Fall ist, man muss sich zB nur die Dirac-Delta-Funktion oder das Pfadintegral merken) hat es sich bewährt, entsprechende Funktionenräume zu definieren und so weiter.