Ableitung der Zentrifugal- und Corioliskraft

Okay, hier ist meine (hoffentlich rigorose) Demonstration des Ursprungs dieser Kräfte hier, von den ersten Prinzipien. Ich habe versucht, ziemlich klar zu machen, was mit der Mathematik passiert. Ertragen Sie mit mir, es ist ein bisschen langwierig!

Winkelgeschwindigkeitsvektor

Beginnen wir mit der Hauptgleichung, die die Winkelgeschwindigkeit in drei Dimensionen definiert,

$$\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}\; .$$

(Dies kann grob abgeleitet werden, indem man eine Zentripetalkraft betrachtet, die auf ein Teilchen wirkt. Beachten Sie, dass diese Gleichung symmetrisch in Trägheits- und rotierenden Referenzrahmen gilt.)

Beachten Sie, dass wir diese Aussage in Bezug auf verallgemeinern können$r$für einen beliebigen Vektor$a$die bekanntermaßen im rotierenden Körper befestigt ist.

Transformation zwischen Trägheits- und Rotationsrahmen

Betrachten Sie nun einen Vektor$a$, die wir in kartesischen Koordinaten (im Körper fixiert) schreiben können als

$$\mathbf{a} = a_x \mathbf{\hat i} + a_y \mathbf{\hat j} + a_z \mathbf{\hat k}\; .$$

In der Newtonschen Mechanik müssen skalare Größen für jede gegebene Wahl des Rahmens unveränderlich sein, so können wir sagen

$$\left.\frac{\mathrm da_x}{\mathrm dt}\right|_I = \left.\frac{\mathrm da_x}{\mathrm dt}\right|_R$$

wo$I$gibt an, dass der Wert für den Trägheitsrahmen gilt, und$R$dass der Wert für den rotierenden Rahmen gilt. Entsprechende Aussagen gelten für$a_y$und$a_z$, Natürlich. Daher jede Transformation von$a$zwischen Frames muss auf Änderungen in den Einheitsvektoren der Basis zurückzuführen sein.

Nun nach der Produktregel

$$\begin{align}\left.\frac{\mathrm d\mathbf{a}}{\mathrm dt}\right|_I &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left( a_x \mathbf{\hat i} + a_y \mathbf{\hat j} + a_z \mathbf{\hat k} \right) \\& = \left( \frac{\mathrm da_x}{\mathrm dt} \mathbf{\hat i} + \frac{\mathrm da_y}{\mathrm dt} \mathbf{\hat j} + \frac{\mathrm da_z}{\mathrm dt} \mathbf{\hat k} \right) + \left( a_x \frac{\mathrm d\mathbf{\hat i}}{\mathrm dt} + a_y \frac{\mathrm d\mathbf{\hat j}}{\mathrm dt} + a_z \frac{\mathrm d\mathbf{\hat k}}{\mathrm dt} \right) .\end{align}$$

Unter Verwendung der vorherigen Gleichung für die Winkelgeschwindigkeit haben wir dann

$$\begin{align}\left.\frac{\mathrm d\mathbf{a}}{\mathrm dt}\right|_I &= \left( \frac{\mathrm da_x}{\mathrm dt} \mathbf{\hat i} + \frac{\mathrm da_y}{\mathrm dt} \mathbf{\hat j} + \frac{\mathrm da_z}{\mathrm dt} \mathbf{\hat k} \right) + \left( a_x \mathbf{\omega} \times \mathbf{\hat i} + a_y \mathbf{\omega} \times \mathbf{\hat j} + a_z \mathbf{\omega} \times \mathbf{\hat k} \right) \\&= \left.\frac{\mathrm d\mathrm{a}}{\mathrm dt}\right|_R + \mathbf{\omega} \times \mathbf{a} \;.\end{align}$$

Betrachten Sie nun einen Ortsvektor auf der Oberfläche eines rotierenden Körpers. Wir können schreiben

$$\mathbf{v}_I = \left.\frac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt}\right|_I = \left.\frac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathbf dt}\right|_R + \mathbf{\omega} \times \mathbf{r} ,$$

und ähnlich für$\mathbf{a} = \mathbf{v}_I$,

$$\begin{align}\left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_I &= \left( \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right|_R + \mathrm{\omega} \times \right)^2 \mathbf{r} \\&= \left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_R + 2\mathbf{\omega} \times \left.\frac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt}\right|_R + \mathbf{\omega} \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{r}) \;.\end{align}$$

Kräfte auf den Körper im rotierenden Rahmen

Stellen Sie sich nun eine Kraft vor, die an einem Ort auf ein Objekt wirkt$\mathbf{r}$(z. B. Schwerkraft). Newtons drittes Gesetz besagt

$$\mathbf{F} = m \left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_I .$$

Und so ersetzen Sie dies in die vorherige Gleichung für$\left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_I$und Neuordnung bekommen wir

$$\begin{align}\mathbf{F}_\textrm{net} &= m \left.\frac{\mathrm d^2\mathbf{r}}{\mathrm dt^2}\right|_R \\&= \mathbf{F} - 2m \mathbf{\omega} \times \mathbf{v}_R - m \mathbf{\omega} \times (\mathbf{\omega} \times \mathbf{r})\\ &= \mathbf{F} - 2m \mathbf{\omega} \times \mathbf{v}_R + m \mathbf{\omega}^2 \mathbf{r}.\end{align}$$

Und hier haben wir es. Der zweite Term rechts ist die Coriolis-Kraft und der dritte Term die Zentrifugalkraft (deutlich vom Rotationszentrum wegweisend). Jede Interpretation der Coriolis- und Zentrifugalkräfte folgt dann natürlich aus dieser einzigen wichtigen Gleichung.