Warum fällt der Apfel unter den Baum?

Hier ist eine äußerst naive Frage: Warum sollte der Apfel unter den Baum fallen?

Ich bin darüber verwirrt, weil die herkömmliche Antwort, dass die Schwerkraft zwischen dem Apfel und der Erde den Apfel nach unten zieht, für mich nicht zufriedenstellend ist. Mein Denkprozess läuft wie folgt ab:

  1. Wir wissen, dass wir in einem geeigneten Bezugssystem den Apfel, der vom Baum fällt, als freien Fall betrachten können. Daher wissen wir F = M G , A = G und der Apfel sollte zu Boden fallen 2 H G Zeitraum seitdem H = 1 2 G T 2 .

  2. Allerdings ist das Bild nicht so klar, wenn wir die Erdrotation betrachten. Der Einfachheit halber ignoriere ich die Erdbewegung um die Sonne. Wir wissen, dass die Zentripedalkraft und die Schwerkraft gegeben sind durch

    F 1 = M ω 2 R , F 2 = C M M R 2
    Wo C ist etwas konstant. Daher muss der Grund, warum der Apfel auf den Baum fällt, die Schwerkraft sein, die viel stärker ist als die Zentrifugalkraft, die erforderlich ist, wenn sich der Apfel mit dem Baum dreht. Wenn die Zentrifugalkraft gleich der Schwerkraft ist, dann sollte der Apfel an der gleichen Stelle am Baum bleiben. Wenn die benötigte Zentrifugalkraft größer als die Schwerkraft ist, würde der Apfel nicht im Freien bleiben und von der Erde wegfliegen.

  3. Stellen Sie sich nun eine Birne vor, die aus der Mitte des Baumes fällt. Aus unserer Alltagserfahrung würde die Birne an die gleiche Stelle fallen wie der Apfel. Da sich die Birne jedoch näher an der Erde befindet, ist die Zentripedalkraft, die sie erfährt, geringer und die Schwerkraft, die sie erfährt, ist auch größer (hier bezeichnen wir R ' für die Entfernung der Birne vom Erdmittelpunkt, M 1 für seine Masse):

    P 1 = M 1 ω 2 R ' , P 2 = C M M 1 R ' 2
    Daher ist es nicht schwer zu sehen, dass die Beschleunigung, die der Apfel und die Birne erfahren, aufgrund der Höhe unterschiedlich sein muss. Die Birne muss schneller fallen. Da sich Apfel und Birne jedoch vom gleichen Baum bewegen, müssen sie die gleiche Winkelgeschwindigkeit haben. Insbesondere wann R sehr groß wird, wäre die Gravitation zu klein und das Objekt würde von der Erde wegfliegen.

  4. Aber ich denke, diese Erklärung ist unklar. Jetzt anstatt eine Konstante zu verwenden G Bezeichnet die Beschleunigung, die der Apfel erfährt, haben wir:
    G ( R ) = C M R 2 − ω 2 R
    Daher sollte der Apfel irgendwie vom Baum abweichen . Da sich der Apfel am Fuß des Baumes überhaupt nicht bewegen würde und der Apfel in sehr hoher Höhe wegfliegen würde, sollte der Apfel in einer mittleren Höhe intuitiv eine moderate, aber messbare Abweichung aufweisen.
  5. Meine Frage ist, wie können wir die Abweichung von der Baumhöhe genau berechnen? Die obige Berechnung ging davon aus, dass die Winkelgeschwindigkeit der Erde konstant ist; In Wirklichkeit könnte sich die Winkelgeschwindigkeit auch geringfügig ändern, wenn der Baum groß genug ist. Aber lassen Sie das für den Moment beiseite. Nehmen wir an, die Erde ist eine Kugel und wir wissen es H , C , ω , M , etc, können wir es berechnen? Sollte ich erwarten, dass ein Apfel, der vom Empire State Building fällt, an eine andere Stelle wandert als ein Apfel, der aus meiner Hand fällt?
  6. Das Problem ist für mich schwierig, weil wir davon ausgehen, dass wir die Position, Geschwindigkeit und die äußere Kraft kennen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt auf den Apfel ausgeübt wird:
    F 1 − F 2 = F ( T 0 ) , v = v ( T 0 ) , R = R ( T 0 )
    (Zumindest wissen wir wann T = 0 ), würden wir nicht wissen, wo der Apfel im nächsten Moment ist, wenn wir nicht etwas rechnen. Momentan T 0 wir kennen die Winkelgeschwindigkeit; aber wenn die Äpfel fallen, ändert sich ihre Geschwindigkeit. Und seine Winkelgeschwindigkeit ω = v R würde sich auch ändern. Daher müssten wir eine Differentialgleichung (eine nichtlineare ODE zweiter Ordnung) lösen, um die Antwort zu berechnen. Und die Höhe der Abweichung ist mir einfach unklar.

Aufgrund der extrem naiven Natur der Frage sind alle Antworten willkommen. Wenn ich bei der Herleitung einen dummen Fehler gemacht habe, zögere bitte nicht, darauf hinzuweisen. Vielleicht passiert dieses seltsame Phänomen, von dem ich dachte, dass es passieren würde, im wirklichen Leben nie, weil ich einen Fehler gemacht habe.

Antworten (4)

Ihre Logik ist richtig, nur Ihre Arithmetik braucht Arbeit.

Zunächst müssen Sie natürlich davon ausgehen, dass alles in einem Vakuum passiert. Der Luftwiderstand dominiert alle anderen Effekte für die von Ihnen angegebenen Entfernungen. Nehmen wir auch an (nur um die Berechnungen zu vereinfachen), dass dies am Äquator auf Meereshöhe stattfindet. Der Äquatorradius der Erde beträgt 6378 km und die Tangentialgeschwindigkeit beträgt ~ 464 m / s (aber nennen wir es genau 464 m / s). Nehmen wir nun einen Apfel in 3 Meter Höhe und eine Birne in 10 Meter Höhe.

Auf einer Höhe von 6378,003 km beträgt die Tangentialgeschwindigkeit 464,000218 m/s und auf 6378,01 km beträgt die Geschwindigkeit 464,000728 m/s. Bei einer Höhe von 3 Metern beträgt die Zeit bis zum Aufprall auf die Erde 0,782 Sekunden und ab 10 Metern 1,429 Sekunden. Abgesehen von der Tatsache, dass sich der Fuß des Baumes nicht in einer geraden Linie bewegt, sondern in einem Kreis, sollte es offensichtlich sein, dass der Apfel 0,00017 Meter von der Senkrechten fällt und die Birne 0,00104 Meter von der Senkrechten. Viel Glück bei den Messungen.

Bei größeren Höhen und längeren Fallzeiten beginnen sich verschiedene andere Aspekte der Erdrotation zu zeigen, wie z. B. Coriolis-Effekte, aber darauf müssen wir hier nicht eingehen.

Beachten Sie, dass der Effekt bei höheren Breitengraden abnimmt, da der effektive Bewegungsradius proportional zum Kosinus des Breitengrades ist. Am Nord- und Südpol ist die Abweichung Null. Ich hoffe, es ist Ihnen ziemlich offensichtlich, dass der Versuch, die Auswirkung der Präzession der Erdachse zu messen, eine Herausforderung wäre.

Und schließlich, obwohl Sie es nebenbei erwähnt haben, ist es möglich, eine Ananas aus etwa 22.400 Meilen fallen zu lassen, aber die Abweichung ist nicht messbar.

0,00104 m ist etwas mehr als 1 mm. Das solltest du messen können.
Ja, aber es gibt ein paar Probleme. Erstens aerodynamische Effekte. Zweitens, wie sagt man, wo es treffen soll? Das heißt, wie misst man vertikal? 1 mm auf 10 Meter sind 100 Uradiant oder etwa 0,006 Grad. Wie gesagt, viel Glück.
Ein Lot gibt Ihnen die Richtung der Schwerkraft an. Ja, ein Apfel ist aus aerodynamischen Gründen eine schlechte Wahl.
Jawohl. Ein Senklot reicht aus, vorausgesetzt, der Baum schwankt nicht. Was natürlich bei jedem Wind der Fall sein wird. Und der Auslösemechanismus muss perfekt mit der Lotlinie ausgerichtet sein und darf dem "Apfel" keine seitliche oder Drehbewegung verleihen.

Okay, mal sehen, ob ich das richtig verstehe.

Der Umfang des Äquators beträgt 24902 Meilen. Die Erde dreht sich in 86.164,098 Sekunden um 360° . Das bedeutet, dass sich die Erdoberfläche am Äquator mit 1525,96 ft/sec bewegt.

Addiert man 1000 Fuß zur Höhe hinzu, ergibt sich ein Umfang von 24903 Meilen. Dies bedeutet, dass die laterale Geschwindigkeit 1526,03 ft/sec beträgt; ein Unterschied von etwa 0,87 Zoll/Sek. Es würde ungefähr 7,9 Sekunden dauern, um zu fallen, also wäre der seitliche Abstand 6,91 Zoll.

Also ja, wenn Sie ein Objekt aus 1000 Fuß fallen lassen, wäre es leicht von direkt nach unten entfernt. Das Empire State Building hat eine Höhe von 1250 Fuß, sodass der Abstand von einem Lot etwas mehr als 7 Zoll betragen würde.

@pbhj - Nein. Wie in dieser und der akzeptierten Antwort angegeben, ist die Quergeschwindigkeit in Bodennähe und auf dem Baum unterschiedlich. Dieser Unterschied bewirkt, dass der Apfel nicht ins Lot fällt.

Ihre Argumentation ist im Wesentlichen richtig, aber es müsste ein wirklich hoher Baum sein, um eine signifikante Abweichung zu erkennen.

Bedenken Sie, dass sich die geosynchrone Umlaufbahn in einer Höhe von 36.000 km befindet. Ein Apfel, der von der Spitze eines 36.000 km hohen Baumes fällt, würde also in der Umlaufbahn bleiben und weder an Höhe gewinnen noch verlieren. Ein Apfel, der aus größerer Höhe fällt, würde in den Weltraum fliegen, und ein Apfel, der aus geringerer Höhe fällt, würde entweder auf eine elliptische Umlaufbahn fliegen oder an einem weit vom Baum entfernten Punkt auf die Erde krachen.

Die Höhe eines tatsächlichen Baums oder sogar des Empire State Building ist einfach nicht hoch genug, um eine signifikante Abweichung der Wege fallender Objekte von "gerade nach unten" zu erkennen.

Sie konzentrieren sich auf die Zentrifugalkraft. Sie haben den Coriolis-Effekt vergessen. Beides hat keinen großen Einfluss auf ein Objekt, das von der Spitze eines Baumes fällt, selbst bei einem sehr, sehr hohen Baum.

Als Erstes müssen Sie sich darüber im Klaren sein, dass „unten“ (die Richtung, in die ein Lot zeigt) im Allgemeinen nicht zum Erdmittelpunkt führt. Das gilt nur am Äquator und an den Polen. An anderer Stelle ist "unten" in Richtung der wahrgenommenen Gravitationskraft. Diese wahrgenommene Gravitationskraft ist die Vektorsumme der mehr oder weniger nach innen gerichteten Kraft aufgrund der Schwerkraft plus der mehr oder weniger nach außen gerichteten Kraft aufgrund der Zentrifugalkraft. Die Schwerkraft ist nicht ganz auf den Erdmittelpunkt gerichtet, was auf zwei Effekte zurückzuführen ist, die Zentrifugalkraft und die nicht ganz kugelförmige Form der Erde.

Ein optimaler Baum wächst vertikal, wobei "vertikal" die Richtung bedeutet, in der ein Senklot hängt. Dieser optimale Baum wird eine unermesslich kleine Krümmung haben, weil die Gravitationsbeschleunigung leicht abnimmt und die Zentrifugalbeschleunigung leicht mit der Höhe zunimmt. Angenommen, dieser optimale Baum ist von unten nach oben sehr belaubt. Ein fallender Apfel hat niemals die Möglichkeit, Geschwindigkeit aufzubauen und unterliegt somit nicht dem Coriolis-Effekt. Der Apfel fällt direkt nach unten.

Nehmen wir stattdessen an, dass der optimale Baum stattdessen größtenteils blattfrei ist und anstelle von Äpfeln widerstandsfreie Kugeln fallen lässt. Die fallenden Geschosse unterliegen dem Coriolis-Effekt. Ein widerstandsfreies Objekt wird dadurch nach Osten abgelenkt 8 H 3 G Ω cos ⁡ λ 3 Wo H ist die Fallhöhe, Ω ist die Rotationswinkelgeschwindigkeit der Erde und λ ist der Breitengrad. Wenn der Baum 100 Meter hoch ist und sich am Äquator befindet, trifft eine widerstandsfreie Kugel den Boden mit einer Abweichung von 2,2 cm nach Osten von der Vertikalen. Der Widerstand verringert diese Ablenkung.

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