Ableitung des relativistischen Dopplereffekts durch Längenkontraktion

Lassen Sie uns aus Gründen der Konkretheit (und damit wir Mengen einfacher berechnen und visualisieren können) von einem Frame aus analysieren, in dem sich die Quelle in Ruhe befindet und sich der Empfänger mit Geschwindigkeit bewegt$v=(3/5)c$.
Weiterhin sei die Quellperiode$\tau=10$
und so (in Einheiten wo$c=1$) die Quellenwellenlänge ist$\lambda=c\tau=10$.

Lassen Sie uns dies in einem Raumzeitdiagramm visualisieren, das auf gedrehtem Millimeterpapier gezeichnet ist.

Quelle und Empfänger treffen sich kurz beim Ereignis O.
Nach O entfernen sie sich also voneinander.
Mit Geschwindigkeit$v=\frac{PQ}{OP}=(3/5)c$,
ist der Zeitdilatationsfaktor$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\frac{OP}{OQ}=(5/4)$
und die Bondi$k$-Faktor$k=\frac{OR}{OT}=\sqrt{\frac{1+(v/c)}{1-(v/c)}}=2$.

Angenommen, ein Lichtsignal wurde beim Treffen O und dann noch einmal beim Ereignis ausgesendet$T$, eine Periode ($\tau_{source}=10$) später im Quellframe.
Die Quellwellenlänge ist also der Abstand zwischen Wellenfronten im Quellrahmen (d. h. die "Trennung zwischen zwei lichtähnlichen Signallinien" im Quellrahmen). Aus dem Diagramm,$\lambda_{source}=c\tau=10$, wie erwartet.

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Ich werde Einzelheiten Ihres Ansatzes nach dem Diagramm ansprechen. Aber zuerst werde ich eine wichtige Bemerkung zu Wellenlängen und Längenkontraktion machen.

• Stellen Sie sich im Quellbild ein ruhendes Lineal mit einer Markierung bei vor$x=10$. Interpretieren Sie dies als "wo die Quelle sagt, dass sich die vorherige Wellenfront befindet, wenn die Quelle das nächste Signal aussendet". Beachten Sie, dass diese Markierung eine Weltlinie parallel zur Quelle hat.
  Obwohl die "Trennung zwischen diesen zeitartigen -Weltlinien" gleich ist$\lambda_{source}$im Quellsystem sind diese zeitähnlichen Weltlinien nur indirekt mit der Quellwellenlänge [die die "Trennung zwischen den lichtähnlichen Signallinien" ist] verbunden.
  Im Empfängerrahmen ist die "Trennung zwischen diesen zeitähnlichen Weltlinien" gegeben durch$OX=\frac{\lambda}{\gamma}=\frac{10}{5/4}=8$, gemäß Längenkontraktion .
  Dies ist jedoch nicht die vom Empfänger beobachtete Wellenlänge
  - die beobachtete Wellenlänge ist der "Abstand zwischen den lichtähnlichen Signallinien", der durch gegeben ist$OW=20$im Empfängerrahmen. ($OW=k(O\lambda_{source}=(2)(10)=20.$).
  Der Punkt ist: Die beobachtete Wellenlänge (Trennung zwischen lichtähnlichen Signallinien)
  beinhaltet nicht direkt eine Längenkontraktion (unter Einbeziehung paralleler zeitähnlicher Linien).

Nun zu Ihrem Ansatz ...
Ich glaube, Sie sind das nächste Referenzereignis$R$, wenn der Empfänger nach dem Treffen um das zweite Signal empfängt$O$. Bestimmen$R$'s-Koordinaten im Quellrahmen finden Sie den Schnittpunkt der Weltlinie des Empfängers durch$O$($x=vt$) mit dem bei Ereignis ausgesendeten Vorwärts-Lichtsignal$T$($x=c(t-\tau)$).
Ich bekomme$t_R=\frac{1}{1-\beta}\lambda/c=25$Und$x_R=\frac{\beta}{1-\beta}\lambda=15$.
Ich bin mir nicht sicher, wo dein "$\lambda+v\tau$"$=(10)+(\frac{3}{5})(10)=16$kommt von.

Beachten Sie, dass$x_R$ist der Abstand zur Quelle im Quellrahmen, wenn der Empfänger das zweite Signal beobachtet. Dies ist nicht die Trennung zwischen Wellenfronten. Im Rahmen des Empfängers sagt der Empfänger, wenn der Empfang stattfindet, dass sie es ist$\displaystyle\frac{x_{R}}{\gamma}=\frac{15}{5/4}=12$Einheiten von der Quelle entfernt [was wiederum nicht die beobachtete Wellenlänge ist$OW=20$].
Auch hier scheint die Längenkontraktion nicht zu helfen, die beobachtete Wellenlänge zu finden.

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Um die beobachtete Wellenlänge zu finden$OW$, verwenden Sie den beobachteten Zeitraum$OR$.
Durch ähnliche Dreiecke ist der Zeitdilatationsfaktor$\gamma=\frac{OP}{OQ}=\frac{25}{OR}$so dass$\tau_{obs}=OR=(25)/\gamma=(25)/(5/4)=20$. Dann,$\lambda_{obs}=c\tau_{obs}=20$, welches ist$OW$.
Symbolisch,

$$\begin{align*} \lambda_{obs}=c\tau_{obs}=c\frac{t_R}{\gamma} &=c\frac{\frac{1}{1-\beta}\lambda/c}{\gamma}\\ &=\frac{1}{1-\beta}(\sqrt{1-\beta^2})\lambda\\ &=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\lambda_{source}=(2)(10)=20, \end{align*}$$ die zwar eine "Länge" ist, aber den Dopplerfaktor (den Bondi $k$-Faktor), nicht der Längenkontraktionsfaktor.
Unterscheiden Sie wieder die "Trennung zwischen lichtähnlichen Signallinien" von der "Trennung zwischen parallelen zeitähnlichen Linien".
Ähnlich, $$\tau_{obs}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\tau_{source}=(2)(10)=20,$$ was länger ist als der Quellenzeitraum von $\tau_{source}=10$, wie für einen zurückweichenden Empfänger zu erwarten.

Wenn Licht ein Strom von Teilchen mit einer kleinen Masse wäre, der sich in allen normalen Systemen fast bei c bewegt, dann könnten wir die Längenkontraktionsformel ohne Probleme anwenden.

Glücklicherweise können wir nie sicher sein, dass Photon nicht eine kleine Masse hat.

Wenn wir also eine Geschwindigkeit wählen, die nahe genug an c liegt, erhalten wir Antworten, die aktuelle Experimente nicht als falsch erweisen können.

Mal sehen, wie das gemacht werden könnte. Die Ruhelänge eines Lichtimpulses ist das Gamma-fache seiner Länge, wenn er sich bewegt.

Ein ganz spezieller Beobachter, der sich mit dem Lichtimpuls bewegt, würde sehen, dass alle Messlatten des normalen Beobachters sehr kurz sind. Der spezielle Beobachter mag denken, dass die normalen Beobachter mit ihren kurzen Messlatten den Lichtpuls noch länger messen würden, als er im Rahmen des speziellen Beobachters ist. Aber das ist einfach falsch. Die Länge eines sich bewegenden Objekts wird nicht mit einem Messstab gemessen. Wie genau würden wir die Länge eines sich bewegenden Objekts mit einem Messstab messen?

Also gehen wir zuerst zum Frame des Pulses, dann fragen wir, wie lang der Puls in zwei normalen Frames ist. Das ist eine einfache Berechnung von Geschwindigkeiten von Objekten und Längen dieser Objekte. Ich meine, zuerst berechnen wir die Geschwindigkeit des Pulses in den beiden normalen Frames, und dann berechnen wir die Lorentz-Kontraktionen bei diesen beiden Geschwindigkeiten.