Abstand Erde-Sonne an einem bestimmten Tag des Jahres

$$1- 0.01672*\cos(0.9856*(\text{day}-4))$$

Dies ist ein ungefährer Ausdruck. Begriff für Begriff,

• $1$
  Der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne beträgt etwa eine astronomische Einheit.

• $0.01672$
  Das ist die Exzentrizität der Erde in Bezug auf die Sonne.

• $\cos$
  Dies ist natürlich die Kosinusfunktion, aber mit Argumenten in Grad und nicht im Bogenmaß.

• $0.9856$
  Das ist$360/365.256363$, Wo$360$ist die Anzahl der Grad in einer vollen Drehung und$365.256363$ist die Länge eines Sternjahres in mittleren Sonnentagen.

• Tag
  Dies ist die Tagesnummer des Jahres. Da dies ein Näherungswert ist, ist es unerheblich, ob man damit beginnt, dass der 1. Januar null oder eins ist.

• 4
  Die Erde erreicht derzeit je nach Jahr zwischen dem 4. und 6. Januar das Perihel.

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Woher kommt diese Annäherung? Wenn die Umlaufbahn der Erde eine keplersche Umlaufbahn um die Sonne wäre (was nicht der Fall ist), wäre der Abstand zwischen der Erde und der Sonne durch die moderne Version von Keplers erstem Gesetz gegeben:

$$r = a\frac{1-e^2}{1+e\cos\theta}$$ Wo $r$ist die Entfernung zwischen Erde und Sonne, $a$ist die Länge der großen Halbachse der Erdumlaufbahn, $e$ist die Exzentrizität der Umlaufbahn, $\theta$ist der Winkel, der an der Sonne zwischen der Linie der großen Halbachse und der aktuellen Position liegt. (Mit anderen Worten, die wahre Anomalie).

Wir sind vor einigen hundert Jahren von der Verwendung der Sonne zur Zeitmessung auf Uhren umgestiegen. Tatsächlich war Kepler einer der ersten, der sagte, dass Uhren statt der Sonne das richtige Maß für die Zeit sind. Das bedeutet, dass die Verwendung von Tagen anstelle von Theta nicht ganz richtig ist. Unsere Tage sind eher ein Maß für mittlere Anomalie als für wahre Anomalie. Für unsere Umlaufbahn mit geringer Exzentrizität beträgt der Unterschied zwischen den beiden weniger als 20 Minuten. (Dieser Unterschied ist Teil der Zeitgleichung.) Die Verwendung der Tageszahl als Ersatz für eine wahre Anomalie ist eine vernünftige Annäherung an eine wahre Anomalie, solange wir durch die Anzahl der Tage in einem siderischen Jahr dividieren. Wenn die Kosinusfunktion Grad als Argument hat, müssen wir mit 360 multiplizieren. Daher die 0,9856 ($360/365.256363$).

Die nächste verwendete Näherung ist die$\frac1{1+x} \approx 1-x$für kleine Werte von x. Das bringt uns zu

$$r=a(1-e^2)(1-e\cos\left(0.9856\,\text{day#}\right))$$ Als nächstes brauchen wir die Tageszahl, wobei der Tag Null den Zeitpunkt des Periheldurchgangs markiert. Das ist ziemlich einfach. Die Erde erreicht derzeit etwa um den vierten Januar herum das Perihel. Schließlich brauchen wir noch einen Wert für $a(1-e^2)$. Das ist ungefähr eins, wenn die Entfernung in astronomischen Einheiten ausgedrückt wird. Das Endergebnis ist $$r=1-0.01672\,\cos\left(0.9856\,(\text{day-4})\right)$$

Es werden Annäherungen gemacht:

1. Die Umlaufgeschwindigkeit der Erde bleibt gleich: Winkel zwischen Erde und Erdperihel$\theta$nimmt stetig zu.
2. Die Exzentrizität ist klein genug, dass Ellipse angenähert werden kann$r=a(1-e \cos\theta)$.

Die Erde befindet sich am 4. Januar in ihrem Perihel, und ihre Exzentrizität beträgt 0,0167, daher kann die angegebene Formel abgeleitet werden, wie Hammen bereits geantwortet hat.

Wenn Sie jedoch die Entfernung zwischen der Erde und der Sonne zu einer bestimmten Epoche genauer berechnen möchten, müssen Sie nach der Kepler-Gleichung suchen . Dies kann unter Verwendung von Keplers Gesetzen der Planetenbewegung oder durch Lösen des 2-Körper-Problems erhalten werden: dass es immer noch eine Annäherung wäre, aber viel genauer als die in Ihrer Frage angegebene.