Nehmen wir an, dass es eine Proposition P gibt, und wir haben damit begonnen, unseren Glauben darüber zum Zeitpunkt t0 bis zu einem gewissen Zeitpunkt t100 zu aktualisieren. Unsere endgültige Glaubwürdigkeit für P war schließlich 0,7 (bei t100) . Aber nehmen wir an, dass wir nach t100 keine relevanten Informationen über P gesammelt haben und jetzt bei t1000000000000 sind, obwohl wir rigoros nach Beweisen gesucht haben, um P (nicht) zu bestätigen. Sollen wir unsere Glaubwürdigkeit in diesem Fall aktualisieren? Es scheint so zu sein, dass wir das nicht tun sollten, da nichts, was wir gesehen haben, (un)bestätigt hat, ob es sich um P handelt oder nicht.
Doch haben wir in diesem Fall einen weiteren Grund, an unserer Glaubwürdigkeit zu zweifeln, nur weil wir nicht in der Lage sind, relevante Informationen über P zu beobachten?
Bezeichnen wir unsere Glaubwürdigkeit in Satz P zum Zeitpunkt t wie folgt: C t (P).
Bei t = 100 haben wir C 100 (P) = 0,7. Dann warten wir sehr sehr lange. Ich möchte nicht so viele Nullen schreiben, wie Sie geschrieben haben, also sagen wir einfach, dass nach dieser sehr langen Zeit die Zeit t = 500 ist. Die Frage ist, was soll C 500 (P) sein?
Lassen Sie uns zunächst zustimmen (wie es sehr üblich ist), dass Glaubenssätze über Bayes'sche Konditionalisierung aktualisiert werden. Das heißt, C 500 (P) = C 100 (P|E), wobei E alle Beweise bezeichnet, die wir zwischen t=100 und t=500 erhalten. Die Idee ist, dass wir bei t=100 fragen: Welchen Glauben hätten wir, wenn wir zufällig E lernen würden? Das ist C 100 (P|E). Dann beobachten wir tatsächlich E. Die bayessche Konditionalisierung sagt: Unsere neue Glaubwürdigkeit C 500 (P) sollte unsere alte bedingte Glaubwürdigkeit C 100 (P|E) sein. Und unsere alte bedingte Glaubwürdigkeit kann mit dem Satz von Bayes berechnet werden: C 100 (P|E) = C 100 (E|P)C 100(P)/C 100 (E).
Sie bitten uns anzunehmen, dass wir "nach t100 keine relevanten Informationen über P sammeln". Nehmen wir ein extremes Beispiel dafür. Angenommen, ich sitze in einer Blackbox und starre ins Leere, bis t=500. Welche Beweise habe ich gesammelt? Nichts sehr Interessantes, aber ich habe einige Beweise gesammelt. Ich habe die Wahrheit des Satzes „Ich habe von t=100 bis t=500 weiterexistiert“ erfahren. Nun, je nachdem, was P ist, könnten dies relevante Informationen sein. Wenn P beispielsweise die Hypothese „Ich bin unsterblich“ ist und die Zeit von t=100 bis t=500 für Mitglieder meiner Spezies lächerlich lang ist, sollte vermutlich mein Vertrauen in P bei t=500 steigen. Eine absurd lange Lebenszeit ist ein guter Beweis für Unsterblichkeit. Aber ich nehme an, das ist nicht die Art von Fall, die Sie im Sinn haben.
Nehmen wir also an, P sei stattdessen die Hypothese „Alle Raben sind schwarz“. Die Tatsache, dass ich von t=100 bis t=500 überlebt habe, ist intuitiv keine relevante Information für diese Hypothese. Und in einem probabilistischen Umfeld wie diesem bedeutet Irrelevanz statistische Unabhängigkeit. Lass E alle Beweise sein, die ich in meiner Black Box gelernt habe. Da E für P irrelevant ist, sind sie statistisch unabhängig, also (per Definition der Unabhängigkeit) C 100 (E|P) = C 100 (E). Sie können überprüfen, ob aus dem oben Gesagten C 500 (P) = 0,7 folgt. Meine Überzeugungen haben sich nicht geändert.
Sie nehmen jedoch auch an, dass wir „rigoros nach Beweisen gesucht haben, um P zu (dis)bestätigen“. In einer Blackbox zu sitzen, gilt natürlich nicht als rigorose Beweissuche! Nehmen wir also an, wir suchen rigoros nach Beweisen, finden aber immer noch nichts, was wir für P als relevant erachten. In diesem Fall bleibt das Argument, das ich im vorherigen Absatz vorgebracht habe, bestehen, auch wenn wir nach und nach gesucht haben, und unsere Überzeugungen bleiben unverändert: C 500 (P ) = 0,7.
Stellen wir uns nun einen letzten Fall vor. Angenommen, unsere Hypothese P lautet: "Raben sind auf der Erde ziemlich häufig." Dann reisen wir hektisch um den Globus, suchen nach Raben, finden aber nichts. Wir finden keine offensichtlichen Beweise für ihre Anwesenheit. Wir finden keine verlassenen Rabennester oder frische Rabenskelette. Und wir finden auch keine offensichtlichen Beweise dafür, dass (zB) sie alle durch eine Umweltkatastrophe ausgestorben sind. Wir haben uns nur ein paar Orte angesehen und nichts gefunden, was offensichtlich mit Raben zu tun hat.
In diesem Fall ist es verlockend zu sagen, dass wir keine für P relevanten Beweise erhalten haben. Aber tatsächlich haben wir es! Wir lernten den Satz E, nämlich "Ich habe keine Raben gefunden, obwohl ich lange gesucht habe." Nehmen wir nun an, dass bei t = 100 (bevor wir diese Beweise sammeln) unsere Überzeugung, dass wir diese Beweise beobachten werden, gering ist. Sagen wir C 100 (E) = 0,5. Beachten Sie jedoch, dass, wenn unsere Hypothese P ("Raben sind auf der Erde sehr verbreitet") wahr ist, wir davon ausgehen, dass die Beweise sehr unwahrscheinlich sind. Sagen wir zum Beispiel C 100 (E|P) = 0,01. Dies zeigt, dass E und P statistisch nicht unabhängig sind. Daher kann E für P nicht irrelevant sein. Aber tatsächlich sagt uns die Bayes'sche Konditionalisierung, dass unsere Glaubwürdigkeit bei t=500 viel kleiner als 0,7 sein sollte.
Die Moral der Geschichte: Wenn Ihre Beweise E für P wirklich irrelevant sind, dann kann die Beobachtung Ihre Überzeugungen in P nicht ändern.
Der Glaubwürdigkeitsfaktor steigt mit zunehmender Zeit asymptotisch gegen 1 an. Dies ist auf das Fehlen von Beweisen zurückzuführen, die die Behauptung widerlegen (und nicht auf das Fehlen von Beweisen, die sie beweisen).
Da der Wert bei t = 100 (1x10^2) 0,7 beträgt, würde ich vermuten, dass der Wert bei t = 1x10^12 sehr nahe bei 1 liegen würde!
virmaior