Anwendung des Satzes von Bayes auf Dornröschen

Die Schwierigkeit hier scheint zu sein, dass Sie für die Wahrscheinlichkeit wissen müssen, aus welchem ​​Raum Sie proben, und Dornröschen verlangt von Ihnen, auf diesen Raum zu achten. Es gibt zwei „intuitive“ Räume, und wenn Sie beide mischen, werden Sie verwirrt. Niel de Beaudrap hat das bereits gesagt, aber angesichts der großen Verwirrung, die über dieses „Problem“ geäußert wird, möchte ich versuchen, deutlicher zu werden:

Was "wirklich" passiert ist folgendes:

p=1/2    heads    awaken
p=1/2    tails    awaken    awaken

Das Lustige daran ist, dass Sie zwei Ergebnisse von einem der Zweige erhalten. Das passiert in Wahrscheinlichkeiten und Statistiken nicht selten und ist überhaupt kein Problem, aber Sie müssen entscheiden, was Sie dagegen tun.

Das Dornröschen-Problem wird typischerweise so formuliert, dass Miss Beauty im Wesentlichen jedes Mal, wenn sie aufgewacht ist, ein Experiment durchführt. (Vielleicht gibst du ihr einen Keks, wenn sie Recht hat.) Also die Hälfte der Zeit erhältst du ein Experiment, die Hälfte der Zeit erhältst du zwei, und durch die Konstruktion des Problems sollst du alle diese in einen Topf werfen. (Wenn Sie eine Armee von Sleeping Beauties hätten und alle Antworten auszählen würden, würden Sie Folgendes tun wollen.)

Jetzt haben wir also drei awakens in unserem Beispielraum:

heads-awaken   tails-awaken-1   tails-awaken-2

die alle identisch sind. Wenn wir also Ihre Rechnung machen:

P(H|awaken) = P(awaken|H)*P(H)/P(awaken) = 1*(1/3)/1 = 1/3

Warte, was war das?

P(H) = 1/3

Das ist ziemlich seltsam – aber schauen Sie, wir mussten die Berechnung nicht durchgehen, um das zu finden. Wir haben einen Probenraum, der konstruktionsbedingt nur in einem von drei Fällen Köpfe hat (geschickt konstruiert aus einem Prozess, der 50 % Köpfe hat!). Das ist also genau richtig: Die A-Priori-Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt 1/3.

Und Miss Beauty und alle anderen würden sich darauf einigen, bevor das Experiment jemals durchgeführt würde (zumindest wenn sie ihre Statistiken kennen).

Alternativ, wenn die Formulierung so ist, dass es tatsächlich einen impliziten Unterschied zwischen den verschiedenen Erwachen gibt (z. B. weil das letzte Teil der permanenten Erfahrung von Miss Beauty ist, oder weil Sie es möchten, wenn sie einmal richtig und einmal falsch auf dem Schwanzzweig liegt gib ihr nur einen halben Keks, und du willst keine Kekse zerbrechen, also fragst du sie nur eines der beiden Male auf den Schwanzzweig), dann sollte sie (und alle anderen) vielleicht eine andere Rechnung anstellen:

p=1/2    heads    awaken
p=1/2    tails
     p=1/4        awaken
     p=1/4                   awaken

Die Logik hier ist, dass Sie, wenn Sie auf dem Schwanzzweig sind und aufwachen, 50 % der Zeit in der ersten Instanz und 50 % der Zeit in der zweiten sein werden. In diesem Fall können Sie Dinge berechnen wie

p(H|awaken#1) = p(awaken#1|H)*p(H)/p(awaken#1) = 1*(1/2)/(3/4) = 2/3

Das heißt, wenn Sie wissen, dass Sie sich mitten im Experiment befinden und zum ersten Mal aufwachen, besteht eine Chance von 2/3, dass Sie auf dem Kopfzweig sind. ( p(H|awaken#2) = 0, und p(H) = 1/2durch die Konstruktion dieses Beispielraums.)

Dies ist tatsächlich ein flexibleres Framework, das verwendet werden kann – es ist genauso wahr wie das andere; es ist nur eine andere Formulierung, die für die Berechnung verschiedener Dinge geeignet ist. Der Schlüssel liegt darin, zu erkennen, wie der Sample-Raum auf das abbildet, was möglicherweise tatsächlich passiert ist; Wenn Ihr Beispielraum nicht mit der Frage übereinstimmt, die Sie stellen, erhalten Sie die falsche Antwort.

Wenn Miss Beauty zum Beispiel die Anzahl der Kekse maximieren möchte, die sie erhält, und sie einen pro richtiger Vermutung bekommt, wird sie argumentieren:

// I can pick only one option: H or T
// I will gain no information later so I may as well pick now

E(cookies) = sum(p(cookies)*#cookies)
If I pick H:
  p=1/2  right!         1 cookie
  p=1/2  wrong, wrong!  no cookie
  E(cookies) = (1/2 * 1  +  1/2 * 0) = (1/2 + 0) = 1/2
If I pick T:
  p=1/2  wrong!         no cookie
  p=1/2  right, right!  2 cookies
  E(cookies) = (1/2 * 0 + 1/2 * 2) = (0 + 1) = 1

Verdopple die Auszahlung, wenn ich wähle T, obwohl ich denke P(T) = 0.5.

Das eigentliche Problem tritt auf, wenn man die beiden Abtasträume mischt. Zunächst denkt man, dass die drei Ereignisse natürlich konstruktionsbedingt ununterscheidbar sind, also p(H|awaken)= 1/3. Und natürlich ist eine Münze fair, also p(H)= 1/2. Und dann p(awaken|H)= 1 und p(awaken)=und 1/3 != 1/2und ... was zum Teufel?

Kennen Sie den Beispielraum, halten Sie sich daran, und die Wahrscheinlichkeit wird Sinn machen, selbst wenn Sie Dornröschen sind.

[Anmerkung: Siehe auch mein Chatprotokoll mit Xoxarap.]

1. Unabhängig davon, ob die Münze geworfen wurde oder nicht, ist die Wahrscheinlichkeit nur ein Modell dafür, wie Sie erwarten, dass sich die Ereignisse entwickeln oder entwickelt haben, basierend auf den Ihnen vorliegenden Informationen. Ohne Informationen über das Ergebnis der Münze zu haben, spielt es keine Rolle, ob sie schon geworfen wurde oder nicht. Das probabilistische Modell, das Wahrscheinlichkeiten basierend auf unterschiedlichen Informationsmengen zuweist, bleibt dasselbe und ist daher zeitunabhängig, genauso wie Newtons Gleichungen dasselbe Verhalten für einen Apfel vorhersagen, der aus einer Höhe von 1 m unter ähnlichen Bedingungen fallen gelassen wird gestern und morgen.

2. Wahrscheinlichkeiten werden am besten relativ zu der eigenen Erfahrung der Welt zugeordnet. Beim Dornröschen-Problem wird die Welterfahrung der Prinzessin durch das Schlafmittel beeinflusst. Auch wenn ein ungeschützter Beobachter die Münze als fair empfinden mag, sind Dornröschens Erfahrungen mit den Frequenzen der Münze anders.

   Es geht um die Tatsache, dass Dornröschen die Ereignisse von headsund tailsmit unterschiedlichen Frequenzen relativ zu einem Kontrollbeobachter erlebt. Ohne zusätzliche Informationen könnte Dornröschen den Ergebnissen der Münze rational unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten zuweisen, weil wir ihre Erfahrungen absichtlich verzerren. Obwohl Dornröschen weiß, dass wir ihre Erfahrungen verfälschen, hat dies keinen Einfluss auf die Erfahrungen, die sie als Ergebnis der Verfälschung haben wird. Sie könnte rational schlussfolgern, dass wir die Münze als fair empfinden, und auch, dass sie die Münze als unfair empfinden würde. headsSo konnte sie zumindest für ihre eigenen Zwecke schon vor Beginn des Experiments 1/3 eine Apriori-Wahrscheinlichkeit zuordnen .

   Dornröschen erfährt einfach ein anderes probabilistisches Ensemble als wir selbst und erhält so eine andere Frequenz, auf eine Weise, die nicht völlig anders ist, als verschiedene Beobachter, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, Töne aufgrund des Doppler-Effekts in unterschiedlichen Tonhöhen wahrnehmen. Und ähnlich wie bei der Verschiebung von Tonhöhen können wir ein vereinheitlichendes Wahrscheinlichkeitsmodell erhalten, das dem Ereignis keine bestimmte Wahrscheinlichkeit zuordnet heads, aber das beschreibt, welche Wahrscheinlichkeit jeder Agent dem Ereignis rational zuschreiben könnte, je nachdem, welchem ​​Ensemble seine bewussten Erfahrungen unterliegen werden zu.

Ich nehme an, dass der Dritte das nicht glaubt P(Heads|Sleeping Beauty waking up at all)=1/3(obwohl dies durch Ihr weiteres Argument nahegelegt / impliziert wird), sondern dass the/an awake Sleeping Beauty's P(Heads|being awake at the/a moment of evaluation) should be 1/3. Das würde bedeuten, dass die Prämisse Ihres (weiteren) Arguments falsch ist ("Das heißt, [...]"). Daher kann alles Folgende gültig sein , ist aber nicht stichhaltig .