Geht der Satz von Cox implizit von den drei klassischen Denkgesetzen aus?

Ich habe vor langer Zeit in "Jaynes Probability Theory: The Logic of Science " über den Satz von Cox gelesen. Es wurde verwendet, um die sogenannte "logische" Interpretation der Wahrscheinlichkeit zu rechtfertigen. Mein Eindruck war, dass der Satz von einer existierenden Welt ausgeht, in der jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, und unsere begrenzte Gewissheit über diese existierende Welt durch ein System repräsentiert wird, das isomorph zum Kalkül der Wahrscheinlichkeitstheorie ist.

Ich vermute also, dass die drei klassischen Denkgesetze

  • Gesetz der Identität
  • Gesetz der Widerspruchsfreiheit
  • Gesetz des ausgeschlossenen Dritten

implizit angenommen, dass sie im Beweis des Theorems gelten, auch wenn sie in den Annahmen nie erwähnt werden.

Der resultierende Kalkül scheint jedoch ziemlich robust zu sein, selbst in Fällen, in denen die klassischen Denkgesetze verletzt werden. Nehmen wir zum Beispiel die Kontinuumshypothese. Wir wissen, dass es weder gültig noch ungültig ist, aber wir könnten unser Wissen über seine Gültigkeit trotzdem modellieren, indem wir die vorherige Wahrscheinlichkeit 0,5 verwenden. Es sieht nicht so aus, als würden wir dadurch zu falschen Schlussfolgerungen verleitet. Was jedoch wahr zu sein scheint, ist, dass wir es nicht geschafft haben, unser tatsächliches Wissen genau darzustellen, und dass wir möglicherweise einige wichtige Schlussfolgerungen verpassen, die wir möglicherweise aus diesem Wissen gezogen haben.

Aber wie irreführend ist der Satz von Cox wirklich? Gibt es Untersuchungen von Situationen, in denen es spektakulär versagt? Und wenn ja, gibt es Modifikationen des verwendeten Kalküls, die diese Situationen besser handhaben?

Es ist nicht sinnvoll, der Kontinuumshypothese eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.
@RonMaimon Natürlich nicht. Aber eine vorherige Wahrscheinlichkeit unterscheidet sich von einer realen Wahrscheinlichkeit . Es bedeutet nur, eine subjektive "Gewissheit" oder "Voreingenommenheit" darzustellen. Zum Beispiel bin ich ziemlich voreingenommen zu glauben, dass "P nicht gleich NP" ist, also könnte ich dieser Aussage eine vorherige Wahrscheinlichkeit von 0,99 zuweisen. Ich gebe zu, dass diese Zahlen nicht viel aussagen, insbesondere wenn sie Vorschlägen zugeordnet werden, bei denen es unwahrscheinlich ist, dass ich weitere Informationen erhalte, die meine Voreingenommenheit ändern könnten. Ich habe nur den Eindruck, dass der Kalkül ziemlich robust ist, sogar in Fällen, in denen die klassischen Denkgesetze verletzt werden.
Es ist sinnvoll, P!=NP eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Es ist nicht sinnvoll, CH eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Die erste ist eine Frage mit modellunabhängiger Antwort, die zweite nicht. Es ist, als würde man fragen: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Gruppen abelsch sind?" Dafür gibt es keine Wahrscheinlichkeit, denn einige Gruppen sind es und andere nicht.
@RonMaimon Ich würde der Aussage, dass (alle) Gruppen abelsch sind, eine vorherige Wahrscheinlichkeit von 10 ^ -100 zuweisen. Ich weiß vielleicht einfach nicht, dass die Gültigkeit dieser Aussage modellabhängig ist. Vielleicht war P!=NP kein gutes Beispiel. Zumindest schien Jaynes zu argumentieren, Apriori-Wahrscheinlichkeiten auch in Kontexten anzuwenden, in denen weder klassische Logik noch frequentistische Wahrscheinlichkeiten angemessen waren. Das Ausschließen von bedeutungslosen Aussagen – basierend auf subjektivem Urteilsvermögen – klingt nach einer guten Idee. Aber was ist mit den bedeutungslosen Aussagen, die diesem subjektiven Urteil entgleiten?
@Ron: Sie können vielleicht die Wahrscheinlichkeit ausdrücken, dass CH von ZF oder so abgeleitet werden kann, oder? Ich vermute, das meinte Thomas damit, dass es "wahr" sei.
@Xodarap: Ich verstehe. Ja, vor Cohen hätten Sie eine Wahrscheinlichkeit dafür angeben können, dass ZF CH impliziert (obwohl sie niedrig gewesen wäre, wenn man bedenkt, was bereits 1960 bekannt war). Aber wir wissen, dass die Antwort heute nein ist, also macht es keinen Sinn mehr, eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu haben (es sei denn, Sie zählen die wahnsinnig unwahrscheinliche Wahrscheinlichkeit, dass jeder, der Cohen intuitiv versteht, einfach einen Fehler gemacht hat, was ungefähr so ​​​​wahrscheinlich ist wie alle Gruppen Abelisch).
Die drei "Denkgesetze", als Formeln (p->p), ~(p->^~p), (pv ~p) aufgefasst, werden in einem klassischen logischen System oft NICHT implizit als Axiome angenommen. Sie können viele axiomatische Systeme finden, wo sie nicht als Axiome genommen werden, und Sie können auch natürliche Deduktionssysteme finden, die keine Axiome haben. Sie können auch natürliche Deduktionssysteme finden, die nicht p|-p als primitive Schlussregel haben.

Antworten (3)

Ich glaube nicht, dass ich Ihr Beispiel zu CH vollständig verstehe (es scheint mir, dass Sie tatsächlich ziemlich falsch liegen könnten, wenn Sie davon ausgehen, dass CH mit Wahrscheinlichkeit 1/2 wahr ist ...), aber ich möchte Sie ermutigen , The Philosophical Significance of Cox's zu lesen Satz . Es hebt einige Bereiche hervor, in denen das Theorem von Cox plausibel als fehlgeschlagen angesehen werden könnte. (Einer davon ist, wie Sie sagen, wenn das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten versagt.)

Auf der anderen Seite demonstrieren Quantenwahrscheinlichkeiten als Bayes'sche Wahrscheinlichkeiten eine Verbindung zwischen Bayes'scher Wahrscheinlichkeit und Quantenwahrscheinlichkeit (ein Bereich, in dem die Verteilungseigenschaft nicht gilt ). Diese Idee ist also ziemlich robust, selbst in der bizarren Welt des QM.

Danke für die Links. Der Artikel über QM erwähnt den Satz von Cox überhaupt nicht. Ich habe jetzt etwas mehr über den Satz von Cox gelesen. Es gibt sogar Gegenbeispiele für Fälle, in denen die klassische Logik gilt. Meine Schlussfolgerung ist, dass die Hauptprobleme bei diesem Theorem nicht philosophischer Natur sind, sondern dass die verwendeten Annahmen nicht explizit genug dargelegt werden. Die angenommene Struktur des Satzraums ist lediglich ein Teil der Annahmen und sollte explizit angegeben werden (dh ob es sich um eine σ-Algebra, einen orthomodularen Verband oder ??? handelt). Die Vermutung von Cox und die Bayes'sche Wahrscheinlichkeit sind nicht identisch.
@Thomas: Sicherlich nicht identisch, aber das eine wird oft verwendet, um das andere zu rechtfertigen. Ich würde dem größten Teil von dem, was Sie gesagt haben, zustimmen, außer um klarzustellen, dass an dem Theorem selbst nichts auszusetzen ist - es ist nur so, dass die Leute es auf eine Weise verwenden können, die nicht gerechtfertigt ist.

Mir scheint, dass es hier zwei verschiedene Fragen gibt – eine bezüglich des Vertrauens auf die klassische Logik und die andere bezüglich des Satzes von Cox in der Praxis. Letzteres scheint mir besser für Mathematiker oder Statistiker geeignet zu sein – es liegt sicherlich außerhalb meiner Möglichkeiten zu antworten.

Die erstere Frage ist jedoch eine eigentlich philosophische Frage.

Mir scheint, dass der Satz von Cox implizit auf der klassischen Logik beruht ; aber andererseits gilt dies auch für den größten Teil der Mathematik. Wenn wir die drei Gesetze der klassischen Logik ablehnen, wird es äußerst schwierig, irgendetwas rational zu argumentieren; Wir haben jedoch absolut keine Möglichkeit, sie zu begründen, und sind im Allgemeinen gezwungen, sie als axiomatisch zu betrachten.

Es ist sicherlich möglich, nicht-klassische oder abweichende Logiken vorzuschlagen, und es gibt solche, die dies getan haben – aber diese neigen dazu, bestenfalls lokale Anwendbarkeit zu haben; Die meisten Menschen glauben, dass die klassische Logik am besten für alltägliche Operationen geeignet ist.

Meine Vermutung ist, dass die klassische Logik gut funktioniert, solange die Wechselwirkung zwischen der existierenden Welt, auf die sich die Aussagen beziehen, und der logischen Argumentation einschließlich ihrer Schlussfolgerungen vernachlässigt werden kann. Die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde jedoch ursprünglich durch das Glücksspiel motiviert, und es kann in diesem Zusammenhang eine starke Wechselwirkung geben, wenn verschiedene Spieler die Aktionen der anderen Spieler auf der Grundlage ihrer angenommenen logischen Argumentation antizipieren. Aber auch die Börse zeigt solche Wechselwirkungen, ebenso wie Placebo-Effekte in der Medizin. Klassische Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik versuchen also normalerweise, vorsichtig zu sein ...
Obwohl ich mir dessen nicht bewusst bin, könnten Sie sicherlich ein Bootstrapping-Argument vorbringen, das die klassische Logik wie folgt ablehnt: Beginnen Sie mit der klassischen Logik und zeigen Sie, dass das Logiksystem L bei gegebener klassischer Logik gültig ist; Beispiele finden, wo L gültig ist, aber die klassische Logik irgendwie versagt; beweisen, dass L unter besonderen Umständen jedoch auf die klassische Logik reduziert wird; zeigen, dass die Bewertung der Gültigkeit von L ein solcher Umstand ist. Dann hätte man im Wesentlichen gezeigt, dass „die klassische Logik sagt, dass man stattdessen L glauben soll und L zustimmt“, was ungefähr so ​​​​gut ist, wie man es jemals schaffen kann.

Das erklärte Ziel von Cox war es, eine Logik plausibler Schlussfolgerungen zu konstruieren . Dies war als Erweiterung der üblichen (klassischen) Logik zu betrachten. Eines der Axiome von Cox fordert effektiv, dass jede solche Logik plausibler Schlussfolgerungen mit der Standardlogik kompatibel ist. (In Van Horns Darstellung des Theorems wird dies als R2 bezeichnet ). Wie in den Kommentaren erwähnt wurde, ist sich Cox nicht ganz klar darüber, was genau angenommen wird (insbesondere zum Beispiel über den Raum von Aussagen), aber insofern Cox seine Annahmen klar macht, ist sein Bekenntnis zur klassischen Logik klar.

Die Antwort auf die Frage lautet also nein, an Cox' Annahme der klassischen Logik ist nichts implizit .

Geht der Satz von Cox implizit von den drei klassischen Denkgesetzen aus?
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