Beobachten eines Ereignisses mit einer Wahrscheinlichkeit von Null

Ich bin kein Philosoph. Nur neugierig. Wenn man ein Ereignis mit null Wahrscheinlichkeit beobachtet, führt das aus philosophischer Sicht sofort zu einem Widerspruch? Zum Beispiel, wenn Sie eine Wahrscheinlichkeit von 1 haben, A zu tun, es aber nicht getan haben.

Hinweis: In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es einen technischen Unterschied. Da sich das Integral jedoch auf einer Nullmaßmenge nicht ändert, ändert es sich sowieso nicht viel.

Beachten Sie auch, dass das "Zeichnen aus einer kontinuierlichen Verteilung" nicht funktioniert. Niemals hat eine einzelne Person buchstäblich eine Stichprobe von U(0,1) gezogen. Viele Menschen zeichnen einheitlich aus kleinen Segmenten, um es stattdessen anzunähern.

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Sie fragen sich also im Wesentlichen, was es bedeutet, wenn Sie einen 6-seitigen Würfel mit den Seiten 1-6 werfen und er zeigt eine „7“?
Nein. Betrachten Sie einfach einen voreingenommenen Würfel, der 6 Seiten hat, aber mit Wahrscheinlichkeit (1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 0). Und Sie erhalten eine 6. Beachten Sie, dass sich in meinem Beispiel 6 im Sample-Raum befindet, während es in Ihrem Beispiel nicht der Fall ist. Ich glaube nicht, dass dies im wirklichen Leben oder in der Wahrscheinlichkeitstheorie einen materiellen Unterschied macht. Ich bin nur neugierig, wie Philosophen dieses Thema diskutieren.
Wenn eine 6 kommt, bedeutet das, dass ihre Wahrscheinlichkeit doch nicht Null war, oder?
Sicher. Ich denke auch so (ich bin Biostatistik-Doktorand). Ich sehe jedoch Philosophen, die ernsthaft Dinge diskutieren wie "Wenn Sie A mit Wahrscheinlichkeit 1 wählen sollen, was ist Ihre rationale Wahl", wie verlinkt ... philpapers.org/rec/AHMIIT-2
Wahrscheinlichkeit: das Verhältnis zwischen der Anzahl der aufgetretenen Instanzen eines bestimmten Ereignisses und der Gesamtzahl der Ereignisse. Bevor dieser Satz – identifiziert durch diese bestimmte Buchstabenfolge, dh ein Klon davon würde als derselbe Satz betrachtet werden – geschrieben wurde, war er noch nie zuvor geschrieben worden, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser bestimmte Satz geschrieben wird, null ( zumal ich es beim Schreiben immer wieder lektoriere). Sie können den gleichen Trick mit einem anderen Satz machen, und dann haben Sie ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von Null vor Ihren Augen.
@MichaelK Sie verschmelzen Wahrscheinlichkeit mit Häufigkeit des Auftretens.
@MichaelK, das Schreiben eines bestimmten, noch nie zuvor geschriebenen Satzes, wenn Sie beabsichtigen, etwas im Allgemeinen zu schreiben, hat eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null. Die Anzahl der verschiedenen Sätze, die Sie schreiben können, ist endlich (da Sie als Mensch auf Sätze mit endlicher Länge beschränkt sind), und daher ist die Wahrscheinlichkeit nicht null.
@failedstatistician Angesichts des Inhalts der Kommentare kann man mit Sicherheit sagen, dass Ihre Frage nie verstanden wurde. Ich tappe da auch im Dunkeln. Bitte erwägen Sie, die Frage zu überarbeiten und zu erweitern.
Um fair zu sein, der gleiche Standpunkt, der darauf bestehen würde, dass Menschen "gleichmäßig aus kleinen Segmenten zeichnen", sollte auch darauf bestehen, "aus einer kontinuierlichen Verteilung zeichnen" so zu interpretieren, dass es etwas in der Art des iterativen Zeichnens aus sukzessive immer kleineren Segmenten bedeutet wenn mehr Präzision ist erforderlich.

Antworten (6)

Die Antwort lautet im Allgemeinen: "Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von Null passieren nicht", also muss es ein Widerspruch sein, einen zu beobachten, aber das ist Laiensprache. Wer genauer werden will, muss mit seinen Definitionen sehr vorsichtig sein. Es stellt sich heraus, dass Sie einen ohne Widerspruch beobachten können , aber es ist ein Eckfall in den Definitionen von Zufallsvariablen.

Ein Muster, das entsteht, ist, wenn wir argumentieren, dass wir, wenn wir aus einer kontinuierlichen Verteilung wie U(0, 1) ziehen und beispielsweise 0,31415 erhalten, mathematisch zeigen können, dass die Wahrscheinlichkeit, genau 0,31415 zu erhalten, 0 war, weil Wir nehmen ein Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von 0,31415 bis 0,31415, was immer Null ist, es sei denn, Sie schließen seltsame Funktionen wie die Dirac-Delta-Funktion in Ihre Verteilungen ein. Diese Definition beinhaltete jedoch ein wenig Zirkellogik. Wir haben zuerst unsere Beobachtung gemacht und danach eine Wahrscheinlichkeit berechnet.

Die wahrscheinlich nützlichste Konstruktion, die mir zur Beantwortung der Frage einfällt, wäre eine Zufallsvariable X, bei der die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion eine stückweise Funktion ist:

  • 1, wenn X -1 ist
  • 1 wenn X [0, 1] ist (einschließlich beider Endpunkte)
  • 0 anderswo

Was ich erstellt habe, ist im Grunde eine einheitliche Zufallsvariable zwischen 0 und 1, aber ich habe diese lustige Diskontinuität bei -1 hinzugefügt. Jetzt können wir darüber sprechen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Draw von X negativ ist. Dies ist das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von -unendlich bis 0, was nach den Integrationsregeln eindeutig 0 ist. Aus der Definition geht jedoch klar hervor, dass es tatsächlich eine negative Zahl gibt, die gezogen werden kann. Die Beobachtung einer negativen Zahl widerspricht also nicht der Definition von X.

Nun könnte man die Wahrscheinlichkeit untersuchen , dass dieses Ereignis eintritt. Wir können Tests wie z-Tests verwenden, um zu zeigen, dass solche Ereignisse unendlich unwahrscheinlich sind, aber dass sie nicht der ursprünglichen Definition von X widersprechen.

Das ist jetzt die Mathematik. Die Folgefrage wäre, ob ein bestimmter Philosoph, der über "Nullwahrscheinlichkeit" spricht, sich dafür entscheidet, die formalen Definitionen aus der Mathematik zu verwenden, oder ob er die Wörter verwendet, um etwas zu beschreiben, das nur um ein Haar anders ist. Im Allgemeinen denke ich, dass Philosophen, die über „unmögliche“ Ereignisse sprechen, nicht die Absicht haben, diese spezifischen formalen Formulierungen zu verwenden. Wenn sie sich jedoch dafür entschieden haben, die genauen Worte „Nullwahrscheinlichkeit“ zu verwenden, sind diese Wortwahlen seltsam genug, um darauf hinzuweisen, dass sie beabsichtigten, die formalen mathematischen Definitionen zu verwenden.

In der Meta-Frage zu dieser Antwort bringt Philip Klöcking ein paar gute Punkte an. Zum einen müssen wir neben den reellen Zahlen auch andere Zahlensysteme berücksichtigen. Wenn wir jedoch andere Systeme betrachten, müssen wir darauf achten, ihre Definition von "Null" sorgfältig zu verwenden. Da Wahrscheinlichkeiten in einem metrischen Raum definiert sind, und in metrischen Räumen, wenn der Abstand zwischen X und Y "Null" ist, dann sind sie derselbe Punkt.

Die andere ist vielleicht die interessantere philosophische Frage, die ich ausgeblendet habe, indem ich Definitionen hinterfragte, bevor ich mich auf die Mathematik konzentrierte. Die Frage verwendet die Formulierung "wenn man ein Ereignis mit null Wahrscheinlichkeit beobachtet". In der Sprache der Wahrscheinlichkeit ist dieser Ausdruck gut definiert. Außerhalb dieses engen Rahmens ist dieser Satz schwierig. Fragen wie „Was ist ein Ereignis“ und „Kann jemand etwas beobachten“ sind bekanntermaßen frustrierende Fragen, die es zu beantworten gilt, ohne in Schleifen zu geraten. Die Idee eines Ereignisses mit "Nullwahrscheinlichkeit" beinhaltet auch die Abbildung der realen Welt in die Mathematik der Wahrscheinlichkeit. Wie wurde diese Kartierung durchgeführt? Ich bin einfach davon ausgegangen, dass es aufgrund der Formulierung der Frage sinnvoll gemacht wurde, aber es gab möglicherweise einen Widerspruch in der Art und Weise, wie das gemacht wurde., untersucht er um die 13-Minuten-Marke herum eine ähnliche Frage in Bezug auf die vielen mathematischen Konzepte der Unendlichkeit, die erfunden wurden.

Wenn ich mit einem meiner Lieblingsrätsel abreisen darf, ein Spiel:

In diesem Spiel gibt es zwei Personen, die als Dealer und Player bezeichnet werden . Der Dealer schreibt zwei verschiedene Nummern auf zwei Zettel und versiegelt sie in Umschlägen. Es spielt keine Rolle, wie die Zahlen sind. Sie können 0, 5, 4081922, -382,393193, pi, alles sein. Es müssen nur unterschiedliche Nummern sein. Der Dealer übergibt dem Spieler dann die beiden Umschläge in beliebiger Reihenfolge. Der Spieler wählt dann einen Umschlag zum Öffnen aus. Sie müssen dann entscheiden, ob die Zahl im anderen Umschlag größer oder kleiner ist als die Zahl im gerade geöffneten Umschlag.

Offensichtlich ist es einfach, 50 % der Zeit zu gewinnen. Die Herausforderung des Spiels besteht darin, eine Strategie zu finden, die in mehr als 50 % der Fälle gewinnt. Können Sie sich eine Strategie vorstellen?

Die Lösung ist:

Öffnen Sie zufällig einen Umschlag. Bevor Sie den Umschlag öffnen, wählen Sie eine Zufallszahl aus einer Distribution aus, deren Domain alle Zufallszahlen abdeckt. Jede Verteilung funktioniert, aber eine Gaußsche Verteilung ist die üblichste Wahl. Wenn Sie den Umschlag öffnen, vergleichen Sie diese Zufallszahl mit der gewählten. Wenn Ihre Zufallszahl größer ist als die, die Sie aufgedeckt haben, sagen Sie, dass die unsichtbare Zahl die größere ist. Wenn die Zufallszahl kleiner ist, dann sagt man, die unsichtbare Zahl sei die kleinere. Wenn sie gleich sind, dann wähle nach dem Zufallsprinzip. Wie funktioniert das? Schauen wir uns an, was passieren kann. Wenn die von Ihnen gewählte Zahl größer oder kleiner als beide istZahlen, dann wählst du im Grunde zufällig, also hast du eine 50%ige Chance. Wenn Sie genau die Zahl sehen, die Sie sehen, haben Sie eine Chance von 50 %. Wenn Sie jedoch einen Wert wählen, der zwischen beiden Zahlen liegt, haben Sie eine 100% ige Chance, es richtig zu machen. Da es immer eine Zahl zwischen zwei beliebigen gegebenen reellen Zahlen gibt, gibt es immer einen zufälligen Wert, den Sie auswählen können und der zufällig zwischen beiden Zahlen liegt. Somit können Sie immer mehr als 50% der Zeit gewinnen.

@failedstatistician Da ich die philosophische Seite überhaupt nicht angesprochen habe, habe ich einen zusätzlichen Absatz hinzugefügt. Ich habe auch eines meiner Lieblingsspiele mit kleinen Zahlen hinzugefügt, das sehr verwandt ist.
Das ist interessant. Bezüglich des Rätsels: Ich habe noch keine Antwort, obwohl mich meine Mathematikseite zwingt, die Verteilung der Zahlen auf die Umschläge schreiben zu lassen ...
Faszinierenderweise erfordert es überhaupt keine Distribution. Tatsächlich kann der Dealer wissen , dass Sie diese Methode verwenden, und versuchen, Zahlen mit der ausdrücklichen Absicht zu wählen, sie zu vermasseln, und der Dealer kann Ihre Chancen von mehr als 50 % immer noch nicht brechen. Sie müssten eine böse Zahl wie "unendlich" auswählen, in diesem Fall würden sie mich zwingen, das Spiel genauer umzuschreiben, um zwei reelle Zahlen zu verlangen.
Ich kann zwar darüber spekulieren, warum diese Antwort möglicherweise abgelehnt wurde, kann mir aber nicht vorstellen, wie ich sie verbessern würde. Ich gebe eine positive Stimme und bringe dies zu Meta.
@CortAmmon Ich bin von diesem letzten Rätsel nicht überzeugt. Hast du eine Referenz dafür?
@Chelonian Hier ist das ursprüngliche Problem , wie von Randall Munroe gepostet, das ist die erste Referenz, die ich finde. Hier ist eine rigorose Analyse zu Math Overflow . Ihre endgültige Meinung ist, dass die ursprüngliche Formulierung keine wohldefinierte mathematische Formulierung ist, aber "... mit den richtigen Quantifizierern und der expliziten Abhängigkeit von x und y wird es eher zu einem coolen mathematischen Ergebnis als zu einem Paradox."
Was meiner Meinung nach möglich ist, ist die Tatsache, dass Sie zwei Informationen kennen. 1) die zweite Zahl ist eine reelle Zahl 2) die zweite Zahl ist nicht gleich der ersten. Es sind dann die Eigenschaften der reellen Zahlen, die es Ihnen ermöglichen, dies so zu manipulieren, dass es eine Lösung von mehr als 50 % ist.
Bemerkenswert ist auch, dass wir, wenn wir es uns ansehen, sehen können, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit größer als 50 % ist, aber dass wir keinen Prozentsatz X % finden können, sodass unsere Gewinnwahrscheinlichkeit größer oder gleich X % ist. Diese Logik reicht aus, um aus >= 50 % > 50 % zu machen, aber sie kann nicht besser sein. Es wird auch angemerkt, dass dies eine physikalisch unmögliche Lösung ist, da es keinen bekannten physikalisch sinnvollen Weg gibt, um aus einer Gaußschen Verteilung oder irgendeiner kontinuierlichen Verteilung, deren Domäne unbegrenzt ist, zu ziehen. Rein rechnerisch ist das kein Problem. Körperlich ist es ein Problem.
Und angesichts der Art und Weise, wie reelle Zahlen verwendet werden, kann man erwarten, dass Logik zweiter Ordnung beteiligt ist. Intuitiv denke ich, dass man tatsächlich ein Axiom zweiter Ordnung braucht, um diesen Beweis zu ermöglichen. Mir ist keine formale Formulierung für diese Frage bekannt, die keine Logik zweiter Ordnung enthält (wie das Induktionsaxiom der Peano-Arithmetik).
@CortAmmon Danke. Die Math Overflow-Diskussion geht mir weit über den Kopf. Ich werde dieses Rätsel vorerst auf Eis legen. Weitere Diskussionen zu diesem Punkt sollten im Chat stattfinden.
@CortAmmon Keine Strategie. Wir haben keine relevanten Informationen über die Beziehung zwischen der zweiten Zahl und der ersten Zahl. 50 % ist das Beste, was jeder Vernünftige erwarten sollte.
@Speakpigeon Ich empfehle, sich die Analyse anzusehen, bevor man voreilige Schlüsse zieht. So wie es aussieht, haben wir tatsächlich relevante Informationen – die Nummern sind nicht die gleichen Nummern.
@CortAmmon Das sind keine relevanten Informationen. Zu einer gegebenen Zahl x gibt es unendlich viele Zahlen, die streng größer als x sind, und unendlich viele Zahlen, die streng kleiner als x sind. 50/50.
@Speakpigeon Seien Sie vorsichtig, wenn Sie Unendlichkeiten durch Unendlichkeiten teilen. Es kann zu Problemen führen. Persönlich denke ich, dass es am besten in die verknüpfte mathematische Überlaufantwort eingefügt wurde: "... mit den richtigen Quantifizierern und der expliziten Abhängigkeit von x und y wird es eher zu einem coolen mathematischen Ergebnis als zu einem Paradoxon."
@CortAmmon Ich teile nichts. Gerade wegen der Unendlichkeiten gibt es keine rationale Berechnung. Es kann eine beliebige Anzahl gewählt werden, und es soll unendlich viele davon geben. Das Beste, was wir tun können, ist unserer Intuition zu vertrauen. 50/50.
@Speakpigeon Denken Sie, was Sie mögen, denke ich.

Sprache und Sätze

Man kann alles vorschlagen, aber der Vorschlag ist lediglich eine Beobachtung oder Vorhersage oder Erklärung eines vergangenen, gegenwärtigen und zukünftigen Ereignisses.

Wenn Sie also sagen, dass dieses Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von null hat, dann ist die ausgedrückte Wahrscheinlichkeit entweder falsch oder es handelt sich um etwas anderes als das Ereignis, das es beschreiben sollte, wenn das besagte Ereignis jetzt eintritt.

Ein klassisches Beispiel dafür ist die Newtonsche Physik und Relativitätstheorie. Das eine ist eine Teilmenge des anderen, von dem die Leute dachten, wenn sie aus der Perspektive der Newtonschen Physik sprachen, alles beschrieb, die Relativitätstheorie unmöglich war, aber tatsächlich zeigte die Relativitätstheorie an den Grenzen ihre Wirkung.

Dies verdeutlicht auch das Problem des Absoluten statt des Allgemeinen. Theoretisch funktionieren die Dinge gut als Absolutheiten, außer dass das wirkliche Leben hauptsächlich durch subtile Interaktionen und geschichtete Hierarchien verzerrt wird, die immer schwerer zu verstehen und zu berücksichtigen sind.

Also 1, 100% wahrscheinlich ist wahrscheinlich genauso unmöglich wie 0% wahrscheinlich, denn um alles Mögliche auszuschließen, muss man einen Raum definieren, der absolut und kontrolliert sein kann, von dem wir nicht wissen, dass er irgendwo existiert. Die Existenz selbst könnte eine Wahrscheinlichkeit von weniger als eins sein, weshalb wir vielleicht so verwirrt sind, weil wir die Idee lieben, zu beweisen, dass etwas 1 ist, weil wir uns dann sicher fühlen ... lol

Einverstanden. Ich würde sagen, die Vermeidung der Diskussion über "Was ist, wenn ich etwas mit Wahrscheinlichkeit Null beobachte" erspart eine Menge Ärger ... Sagen wir, betrachten Sie eine Dichtefunktion f(X | Y), in der P (Y = 0). Es ist nur mathematisch definiert, wenn Y durch eine Folge von Nicht-Null-Ereignissen angenähert werden kann und die resultierende Verteilung unabhängig von der von Ihnen gewählten Folge ist.

Null Wahrscheinlichkeit bedeutet nicht unbedingt unmöglich.

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die Erwartung, dass ein Ereignis eintreten wird (oder eingetreten ist).

Ein Ereignis zu beobachten, mit dessen Eintreten Sie nicht gerechnet haben, ist kein Widerspruch. Es ist nur eine Überraschung.

Wikipedia definiert einen Wahrscheinlichkeitsraum wie folgt:

Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zurückgibt. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine reelle Zahl zwischen null ( unmögliche Ereignisse haben die Wahrscheinlichkeit null, obwohl Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit null nicht unbedingt unmöglich sind ) und eins (das Ereignis tritt mit ziemlicher Sicherheit ein). [meine Betonung]

Beachten Sie, dass die Funktion P, das Wahrscheinlichkeitsmaß, für mögliche Ereignisse den Wert Null haben kann. Diese Antwort wird versuchen, diese Aussage zu verstehen.

Um zu versuchen, einen Sinn daraus zu machen, überlegen Sie, wie Wikipedia ein Ereignis definiert:

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis eine Menge von Ergebnissen eines Experiments (eine Teilmenge des Stichprobenraums), der eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird

Bedenken Sie auch, wie Wikipedia das Ergebnis eines Experiments definiert:

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ergebnis ein mögliches Ergebnis eines Experiments.

Betrachten wir die Frage:

Wenn man ein Ereignis mit null Wahrscheinlichkeit beobachtet, führt das aus philosophischer Sicht sofort zu einem Widerspruch?

Man muss vermeiden, die mathematischen Definitionen mit der natürlichen Sprache zu verwechseln.

Wenn man „ein Ereignis beobachtet“, dann hat man tatsächlich ein Experiment durchgeführt und eine Reihe von Ergebnissen, ein Ereignis, eines Experiments beobachtet. Ein Ergebnis ist ein mögliches Ergebnis und daher ist seine Beobachtung keine Unmöglichkeit und führt nicht zu einem Widerspruch.

Wenn man jedoch keine Beobachtung macht, dann ist dieses Ereignis leer. Es enthält keine Ergebnisse. Ihm wird eine Wahrscheinlichkeit von Null zugeordnet, so dass das Wahrscheinlichkeitsmaß allen Teilmengen des Abtastraums eine reelle Zahl zwischen Null und Eins zuordnet. Es wäre ein Widerspruch, ein Ereignis zu beobachten, das man eigentlich nicht beobachtet. Aber das OP sagt, dass eine Beobachtung gemacht wurde.

Wenn der Stichprobenraum unendlich ist, könnte es Teilmengen dieses Stichprobenraums geben, die das Maß Null haben und denen daher ein Wahrscheinlichkeitsmaß von Null zugewiesen wird. Obwohl diese Teilmengen Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit Null entsprechen, enthalten sie dennoch mögliche Ergebnisse. Solche Ergebnisse zu erzielen, wäre kein Widerspruch.

Wikipedia-Mitwirkende. (2019, 3. April). Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie). In Wikipedia, der freien Enzyklopädie. Abgerufen am 8. Mai 2019 um 11:43 Uhr von https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Event_(probability_theory)&oldid=890813651

Wikipedia-Mitwirkende. (2018, 21. Dezember). Ergebnis (Wahrscheinlichkeit). In Wikipedia, der freien Enzyklopädie. Abgerufen am 8. Mai 2019 um 11:44 Uhr von https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Outcome_(probability)&oldid=874830338

Wikipedia-Mitwirkende. (2018, 31. Dezember). Wahrscheinlichkeitsraum. In Wikipedia, der freien Enzyklopädie. Abgerufen am 8. Mai 2019 um 11:43 Uhr von https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_space&oldid=876200212

Wahrscheinlichkeit ist eine vorherige Einschätzung der Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis in der Zukunft eintritt, normalerweise über einen bestimmten Zeitraum oder in Verbindung mit einem anderen Ereignis, wie z. B. dem Werfen eines Würfels.

Die Einschätzung der Wahrscheinlichkeit basiert im Großen und Ganzen auf unserer Welterfahrung. Angenommen, Sie haben 100 Schwäne beobachtet (und erinnern sich daran, beobachtet zu haben!), und dass 3 dieser Schwäne schwarz waren, während 97 nicht schwarz waren, dann schätzen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, in der Zukunft einen schwarzen Schwan zu beobachten, 0,03 beträgt.

Dies beruht jedoch auf verschiedenen Annahmen. Wenn Sie beispielsweise in dem angegebenen Beispiel entscheiden, dass die Wahrscheinlichkeit eines schwarzen Schwans 0,03 beträgt, gehen Sie davon aus, dass alle anderen Dinge gleich bleiben. Zum Beispiel gehen Sie davon aus, dass es derzeit niemanden gibt, der alle schwarzen Schwäne in Ihrer Nähe ausmerzt. Oder dass nicht jedes Mal, wenn Sie in Zukunft einen Schwan suchen, ein Schwarm schwarzer Schwäne um Sie herum landet.

Da Ihr Wissen über das Universum bestenfalls minimal ist, kann die Einschätzung einer Wahrscheinlichkeit nur ein sehr zwielichtiger Prozess sein. Man könnte sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, die meisten Wahrscheinlichkeiten richtig einzuschätzen, nahe Null ist. Es funktioniert jedoch gut, wenn Sie es sich leisten können, so etwas wie ein "kontrolliertes Experiment" durchzuführen, im Wesentlichen immer dann, wenn Sie sicher sein können, dass der beobachtete Bereich irgendwie vor Störungen geschützt ist und daher weitgehend dem entspricht, was er während der kritischen Periode war wann Sie die Beobachtungen gemacht haben, auf die Sie Ihre Beurteilung gestützt haben.

Es gibt jedoch viele Fälle, in denen wir alle sehr gut darin sind. Zum Beispiel: Wie hoch schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit ein, dass das Wasser in der Flasche auf Ihrem Küchentisch plötzlich explodiert? Nun, ja, nahe, sehr, sehr nahe Null. Sollte dies jemals der Fall sein, würden wir eher ein schlechtes Spiel vermuten, als dass unsere Einschätzung falsch ist.

Die Einschätzung der Wahrscheinlichkeit erfordert einen Relevanzbereich. Zum Beispiel ist es eine unmögliche Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit einzuschätzen, Gott zu sehen. Wir können die Wahrscheinlichkeit einschätzen, beim Würfeln eine 5 zu erhalten. Die relevante Domäne ist das Gießen eines Würfels. Sie können entscheiden, ob Sie über irgendeinen Würfel sprechen oder über einen bestimmten Würfel. Ob Sie darauf vertrauen, dass die Würfel fair sind, oder ob Sie den Würfel vorher einige Male geworfen haben, um zu beobachten, was er tut. Und Sie müssen entscheiden, wie oft Sie in Zukunft würfeln werden, um das Ergebnis mindestens einmal zu sehen.

Eine Wahrscheinlichkeit von Null bedeutet nur, dass Sie keine guten Gründe haben zu glauben, dass es passieren wird, wenn alle Dinge gleich sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich Gott oder Aristoteles begegne, ist null. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich jemanden leibhaftig treffe, den ich noch nie getroffen habe, ist nicht null, wenn ich davon ausgehen kann, dass diese Person am Leben und wohlauf ist und tatsächlich auf diesem Planeten lebt.

Die Wahrscheinlichkeit, während eines bestimmten Zeitraums ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von Null zu beobachten, ist 1. Dies liegt daran, dass wir bestenfalls nur ein sehr teilweises Wissen über die Welt haben und unsere Einschätzung von Wahrscheinlichkeiten, so vorsichtig sie auch sein mag, bleibt ein zwielichtiges Geschäft (noch vor Berücksichtigung der Quantenphysik).

Wir achten normalerweise nicht darauf, weil wir im Wesentlichen die Wahrscheinlichkeit der meisten der unwahrscheinlichsten Ereignisse überhaupt nicht einschätzen, die zu viele und unbedeutend sind, als dass wir uns darum kümmern könnten. Selbst wenn wir die Einschätzung der Wahrscheinlichkeit zählen, ohne darüber nachzudenken, gibt es immer noch viele mögliche Ereignisse, die wir nicht einschätzen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich Donald Trump heute Abend zu mir nach Hause zum Abendessen einlädt? Nun, daran habe ich noch nie gedacht, muss ich gestehen, auch wenn es bei näherer Betrachtung definitiv nicht null ist.

Also, kein Paradoxon, fürchte ich. Bei der Wahrscheinlichkeit geht es um die Vorhersage der Zukunft angesichts dessen, was wir aufgrund unserer Erfahrung über das Universum zu wissen glauben, was notwendigerweise sehr begrenzt ist.

Also, es falsch zu machen, ist ... wahrscheinlich, mehr oder weniger.

Ein Studiengebiet, das sich ernsthaft mit der Frage beschäftigt, was zu tun ist, wenn Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit Null (selbst in endlichen Umgebungen) beobachtet werden, ist die Spieltheorie . Um zu veranschaulichen, warum dies für Spieltheoretiker interessant ist, betrachten Sie das folgende Beispiel.

Stellen Sie sich zunächst eine asynchrone Version von Schere-Stein-Papier vor, bei der ich zuerst meine Wahl treffen und in einen versiegelten Umschlag stecken muss, und dann treffen Sie Ihre Wahl, ohne zu sehen, was sich im Umschlag befindet. Es ist unschwer zu erkennen, dass Ihnen dies gegenüber der normalen Version, bei der wir uns gleichzeitig entscheiden müssen, keinen Vorteil verschafft. Aber wenn Sie Ihre Wahl treffen, sollten Sie wahrscheinliche Überzeugungen über das haben, was ich aufgeschrieben habe. Nehmen wir an, ein Sieg gibt +1 Punkt, eine Niederlage -1 Punkt und ein Unentschieden 0 Punkte. Spieltheoretische Lösungskonzepte schreiben vor, dass Ihr Glaube bei jeder Möglichkeit 1/3 betragen sollte.

Jetzt erweitern wir das Spiel wie folgt, indem wir mir in der ersten Runde eine vierte Option geben, die das Spiel sofort mit einer Punktzahl von +1/2 für mich und -1/2 für dich beendet. Dann sagen spieltheoretische Lösungskonzepte, dass ich diese Option mit Wahrscheinlichkeit 1 nehmen sollte (da ich nicht erwarten kann, bei RPS durchgehend zu gewinnen, da wir davon ausgehen, dass beide Spieler rational sind).

Aber nehmen Sie jetzt an, dass Sie im erweiterten Spiel entgegen allen Widrigkeiten sehen, dass ich diese vierte Option nicht gewählt und stattdessen etwas geschrieben und in einen Umschlag gesteckt habe. Aus Ihrer Sicht ist gerade ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 passiert. Trotzdem müssen Sie jetzt aktualisieren und herausfinden, was Ihre Überzeugungen zu dem sind, was ich geschrieben habe – sollte es immer noch 1/3, 1/3, 1/3 sein? Diese Analyse erweist sich nicht nur für den Fall, dass das Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 tatsächlich eintritt, als wichtig, sondern auch für die Gleichgewichtsanalyse zu Beginn. Wenn Sie beispielsweise unter diesen Umständen Ihre Überzeugung dahingehend aktualisieren würden, dass ich Rock mit Wahrscheinlichkeit 1 gespielt (aufgeschrieben) haben muss (und daher selbst Papier mit Wahrscheinlichkeit 1 spielen werde), dann würde ich das in der ersten Runde tatsächlich nicht tunIch möchte diese vierte Option wählen und stattdessen einfach Schere spielen.

Diese Literatur geht viel tiefer, als ich hier beschreiben kann, mit verschiedenen Lösungskonzepten, die verschiedene Dinge dieser probabilistischen Überzeugungen fordern (zum Beispiel ist das sequentielle Gleichgewicht anspruchsvoller als das perfekte Bayes'sche Gleichgewicht ). Ich wollte nur einen kleinen Hinweis darauf geben, warum sich Spieltheoretiker für diese Dinge interessieren.

Ich verstehe nicht, wie das Nichtwählen dieser vierten Option ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 darstellt. Wenn es möglich ist, hat es eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null. So einfach ist das. Nur weil ich erwarte, dass etwas nie eintritt, heißt das nicht, dass es tatsächlich eine 0-prozentige Wahrscheinlichkeit hat.
Hallo Flo, ich stimme dir zu, dass es im wirklichen Leben natürlich immer eine gewisse positive Wahrscheinlichkeit gibt, dass der andere Spieler die vierte Option wählt (wenn auch nur, weil im Gehirn des Spielers etwas schief gehen könnte). Die Spieltheorie betrachtet eine idealisierte Situation, von der ich nicht glaube, dass sie jemals im wirklichen Leben auftreten wird. Oft ist es jedoch eine nützliche Annäherung an die Wahrheit, die in einer Vielzahl von realen Anwendungen verwendet wird, und es ist ein Fall, in dem Menschen wirklich darüber nachdenken, was zu tun ist, wenn ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 eintritt, daher schien es für die Frage sehr relevant zu sein. (Ich bin überrascht, dass meine Antwort abgelehnt wurde?!)
Scheint mir eine Kollision von Begriffen zu sein: Was Spieltheoretiker meinen, wenn sie über Ereignisse mit 0-Wahrscheinlichkeit sprechen, unterscheidet sich stark von tatsächlichen Ereignissen mit 0-Wahrscheinlichkeit. In der Spieltheorie scheint "Ereignis mit Wahrscheinlichkeit von ungefähr null" ein genauerer Begriff zu sein.
Das ist vernünftig genug, und tatsächlich funktionieren einige der fortschrittlicheren Lösungskonzepte auf diese Weise, dass Sie solchen Ereignissen effektiv positive, aber unendlich kleine Wahrscheinlichkeiten zuweisen. Ich würde jedoch nicht sagen, dass Spieltheoretiker die Begriffe nicht korrekt verwenden. Viele beherrschen die Wahrscheinlichkeit als mathematische Theorie sehr gut, und was sie tun, stimmt sehr gut mit dieser mathematischen Theorie überein. Die Bedeutung der Wahrscheinlichkeit in der realen Welt ist natürlich ein umstritteneres und philosophischeres Thema. Wie auch immer, ich versuche nur, auf etwas hinzuweisen, das relevant erscheint.
Beobachten eines Ereignisses mit einer Wahrscheinlichkeit von Null
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