Ist die Wahrscheinlichkeitstheorie (unter Verwendung von Kolmogorovs Axiomen) eine Erweiterung des Aussagenkalküls oder eine Erweiterung der Logik erster Ordnung?
Die Wahrscheinlichkeitstheorie kann als Erweiterung der Aussagenlogik und sogar der aristotelischen Logik verstanden werden, nicht aber der Prädikatenlogik im Allgemeinen. Zur Verdeutlichung: Aussagenkalkül ist im Grunde der wahrheitsfunktionale Kalkül von „und“, „oder“, „nicht“ und materieller Implikation. Die aristotelische Logik erlaubt die Quantifizierung in einer Variablen, sodass man Aussagen wie „alle A’s sind B’s“ erfassen kann. Die Prädikatenlogik ist viel aussagekräftiger und erlaubt die Quantifizierung in einer beliebigen Anzahl von Variablen in einem einzigen Satz: Sie ermöglicht es beispielsweise, den Unterschied zwischen "es gibt ein Mädchen, das jeder Junge liebt" und "jeder Junge liebt ein Mädchen" zu erfassen und beweisen, dass Letzteres Ersteres nach sich zieht und nicht umgekehrt - etwas, was man mit der aristotelischen Logik nicht tun könnte.
Verwendet man eine epistemische Deutung der Wahrscheinlichkeit, so kann man von der Wahrscheinlichkeit sprechen, dass ein Satz wahr ist. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung bietet einen Weg, mit Unds, Ors und Nots umzugehen, der mit dem Aussagenkalkül kompatibel ist, aber es erlaubt einem nicht, einen Blick in einen atomaren Satz zu werfen und zu sagen, dass einzelne Komponenten davon mehr oder weniger wahrscheinlich sind. Wenn ein Satz mehrere Quantifizierer enthält, gibt es keine ganz allgemeine Erklärung dafür, wie sich die Wahrscheinlichkeit der darin enthaltenen Ausdrücke auf die Wahrscheinlichkeit des Satzes als Ganzes bezieht. Bei der sogenannten Wahrscheinlichkeitslogik wurden einige Fortschritte erzielt, und sie bleibt ein aktives Forschungsgebiet. Jon Williamson hat darüber in der Abhandlung „Probability Logic“ in „Handbook of the Logic of Argument and Inference“ (Elsevier,
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Hummel
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