Habe ich ein Paradoxon gefunden, oder ist das Universum digital? Oder liege ich einfach falsch? [abgeschlossen]

Wenn das Universum analog ist, muss es unendlich viele Positionen geben. Dies wirft eine interessante Frage auf.

Lassen Sie es mich auf etwas Vertrautes reduzieren: einen Tisch und einen Aschenbecher. Ich lasse den Aschenbecher quadratisch, nur der Einfachheit halber.

In einem analogen Universum enthält allein der Tisch unendlich viele Orte auf seiner Oberfläche. Egal, welche zwei Punkte Sie auswählen, Sie können immer auf einen Ort zwischen ihnen hinweisen. So wie es unendlich viele rationale Zahlen zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen gibt, die einander ungleich sind.

Wir stellen uns vor, dass der Tisch 50 x 50 cm groß ist, und wir sagen, der Ursprung (0,0) ist unten links. Wenn ich den Aschenbecher an einer zufälligen Stelle auf den Tisch stelle, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit seiner linken unteren Ecke genau an der Koordinate (10,10) landet?

Laut anderen Antworten zu Unendlichkeit und Wahrscheinlichkeit, die ich im Internet gefunden habe, ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Position aus einer Menge mit unendlich vielen Positionen zu treffen, gleich Null.

Das Problem ist, dass alle Positionen auf dem Tisch die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Aschenbecher irgendeine Position auf dem Tisch trifft, gleich null ist.

Trotzdem ist es natürlich möglich, einen Aschenbecher auf einen Tisch zu stellen. Also wird trotz einer Nullmöglichkeit trotzdem eine Position gewählt. Das kann nicht sein!

Wenn das Universum digital ist (also ein minimaler Abstand existiert, egal wie klein), gibt es überhaupt kein Problem: Die Tabelle enthält eine endliche Anzahl von Positionen, alle haben die gleiche Wahrscheinlichkeit größer als Null, zufällig ausgewählt zu werden, und eine von sie ist ausgewählt, wenn ich den Aschenbecher abstelle.

Ich erinnere mich, dass Max Planck etwas über die Strahlung von Energie geschlussfolgert hat, weil ein Objekt auf allen Wellenlängen gleiche Energiemengen ausstrahlen würde, und da es unendlich viele Wellenlängen gibt, würden alle Objekte unendlich viel Energie ausstrahlen. Das konnte nicht wahr sein, also folgerte Planck, dass die Energie von Atomen nur diskrete Werte haben könne.

Beweist mein Beispiel also, dass das Universum digital ist? Oder ist das Universum analog, und das ist ein Paradoxon? Oder schlägt meine Logik irgendwo fehl?

Nehmen Sie an einem Prob&Stats-Kurs teil. Eines der ersten Dinge, die Sie lernen werden, ist, dass "Wahrscheinlichkeit = 0" nicht dasselbe ist wie "kann nicht passieren".
Nein, es ist nicht Null, es ist ein Epsilon
Dies ist eine mathematische Frage, keine philosophische Frage. Mathematik modelliert unsere Welt; das heißt nicht, dass es unsere Welt ist.
Wir wissen nicht, ob die Raumzeit kontinuierlich oder diskret ist, wir haben kein vollständiges Bild der Quantengravitation. Die Raumzeit in der klassischen Gravitation (GR) ist kontinuierlich, aber die Quantenmechanik sagt uns, dass sie auf der Planck-Skala diskret sein muss, also wissen wir, dass diese beiden Theorien nicht die einzige Geschichte sein können. Unsere derzeit besten Modelle der QG, der Stringtheorie und dergleichen sind noch verwirrender, weil nicht klar ist, ob die Raumzeit in ihnen diskret oder kontinuierlich ist oder nicht, weil sie keine vollständig realisierten Theorien sind. Es ist also nicht so, dass Sie ein Paradoxon gefunden haben, wir kennen die Antwort nur noch nicht.
Diese Frage wurde in der Physik SE mehrfach gestellt, siehe zum Beispiel hier und alle verwandten und verknüpften Fragen. Ich muss dem obigen Kommentator jedoch zustimmen, dies ist nicht wirklich eine philosophische Frage, da es sich eindeutig um etwas handelt, das im Bereich der Physik liegt und an dem aktiv geforscht wird. Wie ich schon sagte, es ist kein Paradoxon; Die Physik ist einfach noch nicht da, wo sie sein muss, aber sie ist nah dran.
@user Es ist null. Aber das heißt nicht, dass es nicht passieren kann.
Die paradoxe Analyse von Plancks Blackbox geht nicht von "gleichen Energiemengen auf allen Wellenlängen" aus, liefert aber eine Antwort, die auf eine unendliche Menge an Gesamtenergie hindeutet. Und Planck folgerte nur über Wärmestrahlung, nicht über Atome.
Das dachte ich auch. Schön, die Idee in der Wildnis zu sehen. Ich stimme Ihrer Argumentation voll und ganz zu; es scheint wahrscheinlich, dass mindestens einer von entweder Raum oder Zeit diskret ist, weil sonst – paradox. Die derzeit beste Antwort weist auf etwas hin, das ich nicht kenne und das als Newtons Integralkalkül bezeichnet wird, erklärt es jedoch nicht auf eine Weise, die ich verstehe - wenn jemand diese Antwort bearbeiten könnte, um auf einen Erklärer von NIC und zu verweisen Warum das das Paradoxon duckt, das wäre eine große Hilfe für mich.
@piersb plato.stanford.edu/entries/continuity "Newtons Integralrechnung" bedeutet nur, die Berechnung so zu machen, wie Newton es getan hat, dh Differentiale als Fluxionen und Integration als Umkehrung der Differenzierung (Grundsatz der Kalküle) zu behandeln, im Gegensatz zu Leibniz 'Kalkül die Infinitesimale als tatsächliche Infinitesimale behandelt. Deltas und Epsilons im Vergleich zu nicht standardmäßigen Zahlen. Wenn Ihr Problem darin besteht, was Kalkül und Integration sind, werden Sie meines Erachtens niemanden finden, der das alles in nur einer Bearbeitung einer tangential, aber nicht wirklich verwandten Frage erklären kann.
Ja, deshalb hatte ich auf einen Hinweis auf eine Idiotenanleitung gehofft. Ich bin kein Mathematiker, daher war es für mich nicht hilfreich, Analysis und Integration als Antwort auf eine philosophische Frage zu erwähnen, ohne eine Verbindung zum Kontext ihrer Relevanz herzustellen.
Sie könnten überlegen, „diskret“ statt „digital“ zu sagen, und „kontinuierlich“ statt „analog“. Analog und digital sind Arten der Signalverarbeitung , während "kontinuierlich" und "diskret" verschiedene Zweige der Mathematik sind, die zum Studium der Naturgesetze verwendet werden könnten.
Du meinst "diskret". „Digital“ würde bedeuten, dass wir in der Matrix leben.
Ich habe einige Teile dieser Frage bearbeitet, weil sie schon ziemlich lang genug war und wir auf SE-Sites im Allgemeinen diese Art von Konversationsteilen nicht in unsere Beiträge aufnehmen. Mit anderen Worten, es wird empfohlen, Posts so weit wie möglich von „Flusen“ zu befreien (z. B. Danke, was Sie tun können, indem Sie Posts positiv bewerten, oder Grüße / Slogans). Wie auch immer, genießen Sie die Seite.
In der Welt der Quantenmechanik ist analog != kontinuierlich. Wie sich herausstellt, kann sogar der Raum selbst diskret sein .
Herzlichen Glückwunsch, Sie sind auf dem Weg, die Analysis zu entdecken!
Ihr Fehler ist, dass Sie annehmen, dass 0 × ∞ = 0 ist. Das ist einfach nicht wahr. Wenn etwas in einer endlichen Anzahl von Versuchen nicht passieren kann (wegen der Wahrscheinlichkeit Null), kann es immer noch passieren, wenn die Anzahl der Versuche unendlich ist.
Es kann beides sein, ebenso wie Punkte (Ereignisse), die diskret in der Raumzeit existieren und einen beliebigen Abstand haben, der sie trennt. Position und Zeit sind äußerst relative Konzepte, wenn Sie diese Art von Fragen betrachten. Schlagen Sie den Begriff „Aktion“ nach, um eine klarere Vorstellung von der Struktur der Raumzeit zu bekommen.
Die Plank-Konstante impliziert einen grundlegenden Mindestabstand: Plank length. Also ja, der physische Raum in der Einheit kann nicht unendlich aufgeteilt werden. Ein Photon kann eine Strecke zurücklegen, die in Vielfachen von Plank length(nicht einem Bruchteil einer Plankenlänge) gemessen wird.
@DavidRicherby, ich würde kontern, dass es nicht Null ist, da Atome eine endliche Größe haben (in unseren aktuellen Modellen). Nur weil Atome für uns klein sind, heißt das nicht, dass sie keine Größe haben. Dito für Quarks usw.
@ user28502 Rein mathematisch ist in der Standardeinstellung der Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, genau 0, obwohl sie bei der Realisierung sicherlich einen bestimmten Wert annehmen wird (das liegt daran, dass das Lebesgue-Maß eines Punktes 0 ist). Wenn das beunruhigend erscheint, was vernünftig ist, kann man Wahrscheinlichkeitsmaße verwenden, die Werte in nicht-archimedischen Feldern wie den Hyperrealen annehmen, sodass mögliche Ereignisse immer eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null haben (Ihr Epsilon könnte also ein Infinitesimal sein). Aber auch hier geht es nur um Mathematik und nicht um irgendeine physikalische Realität
@CramerTV "Endlich" bedeutet "nicht unendlich"; Sie meinen, dass Atome eine Größe ungleich Null haben. Aber die Größe der Atome ist irrelevant: Die Frage ist nach der Lage der Atome. Unsere aktuelle Raum- und Materietheorie erlaubt es Atomen, überall in einem Kontinuum von Positionen zu sein.
Grundsätzlich geht man entweder den physikalischen Weg oder den mathematischen Weg. In ersterem gibt es noch kein zufriedenstellendes Modell des Mikroraums, also wissen wir es nicht (und die Planck-Länge ist nicht die Antwort auf alles). Im letzteren Fall macht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit unendlichen Mengen keinen Sinn, es sei denn, Sie verwenden Maße .
@BrianMcCutchon Re "...würde bedeuten, in der Matrix zu leben": Aber wir tun es mit ziemlicher Sicherheit. Natürlich nicht im trivialen Sinne des Films, sondern im Sinne einer so oder so kalkulierten Realität. Es scheint ziemlich offensichtlich. (Beachten Sie, dass „berechnet“ nicht unbedingt „deterministisch“ oder, philosophischer ausgedrückt, „prädestiniert“ bedeutet. Laplaces Dämon würde nicht mehr wissen als Heisenberg.)
Ab einer gewissen Messgenauigkeit hat der Aschenbecher nicht einmal eine feste Position, er hat vibrierende Atome, die von diffusen Elektronenwolken umgeben sind; Gleiches gilt für den Tisch ... Wenn das hilft.

Antworten (11)

Das Problem ist, dass alle Positionen auf dem Tisch die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Aschenbecher irgendeine Position auf dem Tisch trifft, gleich null ist.

Nicht ganz. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Aschenbecher eine bestimmte Position auf dem Tisch trifft, ist null. Aber wie Sie beobachtet haben, können Sie den Pfeil ganz sicher auf den Tisch legen und eine neue Position erhalten.

Trotzdem ist es natürlich möglich, einen Aschenbecher auf einen Tisch zu stellen. Also wird trotz einer Null-Möglichkeit trotzdem eine Position gewählt. Das kann nicht sein!

Da Sie nicht auf eine bestimmte Position abzielen, gibt es kein Paradoxon. Es besteht keine Wahrscheinlichkeit, dass Sie den Aschenbecher aufheben und an genau derselben Stelle wieder abstellen, aber Sie können den Aschenbecher sicherlich abstellen und eine neue Position einnehmen, genau wie beim ersten Mal.

Ich wähle dies als Antwort, da ich denke, dass die Aussage, eine bestimmte Position nicht anzuvisieren, es trifft. Wenn ich darüber nachdenke, haben Sie in einer Lotterie sehr geringe Chancen, die richtigen sieben Zahlen aus 50 oder aus welchem ​​​​Pool auch immer Sie wählen können, aber die Ziehung der Zahlen ist kein Problem: Es wird ein '100%' sein. Chance, dass Sie sieben Zahlen ziehen. Das Tischbeispiel ist nur eine Lotterie mit unendlichem Pool, und das Platzieren des Aschenbechers ist eine „Auslosung einer Position“ unter allen. Ich möchte mich jedoch bei allen bedanken, die sich beteiligt haben, durch Antworten und Kommentare bin ich viel klüger geworden.

Sie haben ein bekanntes Paradox wiedergefunden – das von Zeno.

Dies ist nur eine kompakte Version von Zenos Paradoxon. Anstelle von Zeit und Raum dividierst du zwei Räume gegeneinander. Die Ecke hat null Wahrscheinlichkeit, irgendwo zu enden, genauso wie der Punkt, an dem Achilles die Schildkröte überholt, null Breite hat.

Tatsächlich ist in der modernen statistischen Theorie die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Punktprobe aus einer beliebigen Verteilung fast immer null. Aber das funktioniert, weil die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie bereits eine Lösung für Zenos Paradoxon voraussetzt.

Der heute übliche Ausweg aus Zenos Modell ist Newtons Integralrechnung. Aus dieser Sicht hat jeder unendlich kleine Splitter von irgendetwas immer noch eine Nullfläche, aber diese Nullbeiträge summieren sich zu Nicht-Null-Ergebnissen, wenn sie über kontinuierliche Bereiche akkumuliert werden.

Aus Sicht der modernen Analyse ist dies nur die Natur des Raums. Der Raum ist kontinuierlich, sodass wir immer Werte an Punkten aus beliebigen Attributen extrapolieren können, die von jeder Nachbarschaft um sie herum geteilt werden, vorausgesetzt, dass etwas Konsistentes existiert. Wir können die Summen von Flächen aus idealisierten Splittern aus Annäherungen berechnen, die zu den richtigen Formen konvergieren.

Aus Sicht der Nichtstandardanalyse funktioniert dies, weil ein kontinuierlicher Bereich unendlich viele Punkte umfasst und eine Null mal Unendlich endlich sein kann.

Funktional gesehen ist für jede geeignete Messung eine Unsicherheit ungleich Null in das Messmittel eingebaut. Damit die Newtonsche Mechanik wirklich für Sie funktioniert, müssen Sie für jedes Maß eine Toleranz angeben. Eine Null-Toleranz erzeugt oft automatisch eine irreführende Null- oder unendliche Antwort, weil nichts Wirkliches absolut spezifisch ist.

Es ist wahrscheinlich erwähnenswert, dass Zenos Paradoxon eine Fehlbezeichnung ist – es ist überhaupt kein Paradoxon. Es wurde nur von Leuten, die Newtons Integralrechnung vorausgingen, für ein Paradoxon gehalten
Ich bin nicht einverstanden. Paradoxien, die riesige Systeme motivieren, die eher um unsere Intuition herum funktionieren als durch unsere Intuition, sind legitime Argumente. Zeno und Kant lagen nicht falsch, wenn sie dies zu einem letztlich unlösbaren Problem erklärten – aber das bedeutet nicht, dass es uns im Weg stehen muss. Schlaue Lösungen wie die Zermelo-Frankel-Axiome oder der Begriff der Fluxion, der dem Kalkül zugrunde liegt, lassen die Schwäche oder den Konflikt in der Intuition nicht verschwinden. Sie übertünchen die Schwäche mit einer Masse von Konventionen, die einige Teile der Intuition bewahren und andere aufgeben.
Wir sind besser dran, das Paradoxon und all seine möglichen Problemumgehungen anzunehmen, als eine als Lösung zu wählen, das Problem für gelöst zu erklären und es nie weiter in Betracht zu ziehen.
Ich muss widersprechen, obwohl ich hier nicht ablehnen kann. Zenos Paradoxon ist grundlegend anders, da es eher um potenzielle Unendlichkeit als um tatsächliche Unendlichkeit geht, womit das OP hier Probleme hat. Sie weisen zu Recht auf das Problem mit Toleranzen hin, aber Ihre Einmischung von Nichtstandardanalysen macht nicht viel Sinn. Es ändert nichts an der Wahrscheinlichkeit (Sie erhalten nicht die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Punkt unendlich klein ist, sondern nur Null). Das eigentliche Problem ist, dass die Wahrscheinlichkeit über unendliche Räume seltsam ist, wenn Sie erwarten, dass sie sich normal verhält. Toleranzen sind der Weg zu gehen.
@DRF Was genau ist Ihrer Meinung nach eine Toleranz, außer einem Grenzwert für ein Integral über eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über einen Bereich? Da also Toleranzen Integration als Teil ihrer Definition beinhalten, ist die Einführung von Integration nichts „Einmischen“. Es ist die Idee des Integrals, die uns dieses ganze Problem verstehen lässt. Und Integration beinhaltet offiziell keine Infinitesimal mehr, aber meiner Meinung nach macht es ohne sie sehr wenig Sinn.
Ich habe nicht gegen Integrale argumentiert (diese sind offensichtlich ein wesentlicher Bestandteil jeder kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung), aber die Nicht-Standardanalyse verwirrt dieses Imo nur. Und was haben Toleranzen mit Integralen zu tun? Toleranzen sind der empirische Grund, der dafür spricht, dass die kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung der richtige Weg ist. Ich sehe nicht, was sie mit der Integration zu tun haben, außer dem Intervall, über das Sie Ihre Dichtefunktion integrieren, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, aber Sie können wirklich genauso einfach das induzierte Maß verwenden.
"Raum ist kontinuierlich." Was ist mit der Planck-Länge? (Ich bin etwas verwirrt darüber, ob diese Frage Philosophie oder Physik ist.)
@TRiG - Ich würde sagen, es ist beides, aber Fragen zur Natur von Zeit und Raum werden normalerweise unter Metaphysik abgelegt, da dies keine vortheoretischen empirischen Phänomene sind, sondern eine Interpretation von Erfahrungen.
Es ist das „ Dartscheiben-Paradoxon “ (nicht Zenos Paradoxon).
@TRiG Ich meine nicht den physischen Raum, ich meine den euklidischen Raum. Sowohl die Quantenphysik als auch die Relativitätstheorie sagen uns, dass wir uns in Bezug auf den Weltraum irren, aber wir müssen immer noch von einem bestimmten genetischen Erbe ausgehen, das wir in unsere Mathematik einbetten.
@jobermark Ah, also Mathematik! ;) Fair genug.
@TRiG, ​​wenn die (art übertriebene) Antwort auf diese Antwort richtig ist. Man kann die Gedanken des OP nicht lesen, er könnte immer noch eine andere Antwort wählen, wenn ich falsch geraten habe. Ich habe Antworten, die ich für wahre Meisterwerke der Logik und Komposition halte, die die Hälfte dieser Punktzahl erreicht haben. Und dieser ist irgendwie lahm. Es fehlt sogar der Versuch von Referenzen. Ich verstehe dieses Forum überhaupt nicht.
Zenos Paradoxon (was dies nicht ist) ist in der Tat ein Paradoxon. Was es nicht ist, ist ein Antimon oder ein Widerspruch.
@TRiG, ​​die Planck-Länge ist genau das, eine ziemlich willkürliche Länge (mit dem netten Attribut, dass Sie, wenn Sie all diese Zahlen wie Plankenlänge, Gravitationskonstante und Lichtgeschwindigkeit multiplizieren/dividieren, "1" erhalten, aber das ist nur ein mathematischer Trick, um das Arbeiten mit all dem Zeug einfacher zu machen). Es ist kein absolutes Minimum für irgendetwas im "realen" Universum; und es ist auch nicht klar, dass das Universum auf die Planck-Länge verpixelt ist. Tatsächlich weiß niemand, ob das Universum überhaupt von dieser Konstante „weiß“.
Das ist nicht Zenos Paradoxon.
"Aus Sicht der Nichtstandardanalyse funktioniert dies, weil ein kontinuierlicher Bereich unendlich viele Punkte umfasst und null mal unendlich endlich sein kann." Das ist zumindest schlecht formuliert, wenn nicht gar falsch. Die hyperreellen Zahlen enthalten 0 genau wie die reellen Zahlen, und jede unendliche hyperreelle Zahl multipliziert mit 0 ist immer noch 0 – das folgt direkt aus den Feldaxiomen.
Nach dem POV des Los-Theorems ist ein Infinitesimal eine Null. Es hängt also nur von Ihrer Einstellung zu NA ab. Ich werde es auf "eine Null" bearbeiten.
@AnoE Laut Greenes "Elegant Universe" kann ein vibrierendes Objekt der Planck-Länge nicht kleiner werden. Wenn Sie seine Länge verringern, müssen Sie seine Schwingung erhöhen, was den Raum vergrößert, den es in einer anderen Richtung über diese Länge einnimmt. Ich verstehe nicht, wie das angeblich den Raum atomisiert, was die Leute immer wieder bestreiten. Aber Wheeler hat vorgeschlagen, dass es sein könnte, und ich bin ein Fan von ihm, also verstehe ich es vielleicht einfach nicht.
Downvoting, weil dies nicht Zenos Paradoxon ist. Es ist ziemlich explizit das Dartboard-Paradoxon
@StellaBiderman Zwei Namen bedeuten nicht unbedingt zwei Dinge. Wenn Sie Zenos Paradoxon eher als eine gleichzeitige Teilung und dimensionslose Punkte sehen, als als eine Widerlegung der Bewegung, bleibt dieses Paradoxon erhalten, unabhängig davon, ob es auch eine andere Betrachtungsweise gibt oder nicht. Aus meiner Sicht gibt es mehrere Betrachtungsweisen. Dies ist nicht einmal das beste, nur das kürzeste zum Schreiben. Aber ich kontrolliere nicht, was andere über meine Arbeit denken...
@jobermark, ich liebe dieses Buch von Greene wegen der Herangehensweise an dieses Zeug, das es dem Laien gibt. Ich sage nur, dass die Jury auf der Planck-Skala noch aussteht.
Etwas Pedanterie: "Tatsächlich ist in der modernen statistischen Theorie die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Punktprobe aus einer beliebigen Verteilung immer Null" - dies gilt nur für rein kontinuierliche Verteilungen. Natürlich gibt es auch diskrete Distributionen, aber eigentlich muss man nicht einmal das eine oder das andere sein. Es ist nichts Falsches daran, dass eine Verteilung gleichzeitig diskrete und kontinuierliche Teile hat.
@BenMillwood Ich habe fast hinzugefügt. (Und nur um der Pedanterie zu entsprechen, selbst wenn die gesamte Verteilung diskret ist, bleibt dies fast immer wahr – das Maß der Menge von Punkten mit Punktprobenwerten ungleich Null ist Null.)

Wir stoßen fast immer auf dasselbe Problem, wenn wir versuchen, die reellen Zahlen, wie sie von der Mathematik beschrieben werden, mit der Wahrscheinlichkeitstheorie zu kombinieren.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeitstheorie auf etwas wie einen Münzwurf, einen Würfel oder ein Kartenspiel anwenden, verwenden wir eine sogenannte Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion, um jedem möglichen Ergebnis einen Wahrscheinlichkeitswert zuzuweisen . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser faire sechsseitige Würfel eine 3 ergibt? 1/6.

Aber wie Sie bemerkt haben, funktioniert diese Art von Wahrscheinlichkeitsmodell nicht gut, wenn Sie versuchen, mit reellen Zahlen zu arbeiten, weil es einfach zu viele davon gibt. Da es sogar innerhalb eines Min-Max-Intervalls mehr reelle Zahlen gibt als natürliche Zahlen, wenn Sie versuchen, jeder Zahl im Bereich eine einzige nicht negative Wahrscheinlichkeit zuzuweisen und verlangen, dass sie sich zu 1 addieren, fast alle muss null sein.

Wenn es sich also um einen Bereich reeller Zahlen handelt, wechselt die Wahrscheinlichkeitstheorie normalerweise zur Verwendung einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion . Diese Funktion weist jedem möglichen Ergebnis in der Domäne einen realen Wert zu, aber diese Werte sind keine Wahrscheinlichkeiten. Um eine Wahrscheinlichkeit aus einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu erhalten, müssen Sie stattdessen das Integral der Funktion von einem Startpunkt zu einem Endpunkt nehmen, und dies stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass das Ergebnis zwischen diesen Punkten liegt.

Als einfaches Beispiel könnte ein Prozess, der eine zufällige reelle Zahl erzeugt x, die aus dem Intervall von 0 bis 1 ausgewählt wird, so dass die Wahrscheinlichkeit über das gesamte Intervall gleich ist, durch die Funktion dargestellt werden p(x)=1. Die Wahrscheinlichkeit von „ xliegt zwischen 0 und 1/4“ ist das Integral von 0 bis 1/4 von 1, also 1/4. Die Wahrscheinlichkeit von " xist genau 1/4", wenn überhaupt sinnvoll, müsste das Integral von 1/4 bis 1/4 von 1 sein, was 0 ist. Obwohl die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten exakten Werts null ist, Sie haben immer noch eine Wahrscheinlichkeit von 1, dass der Wert irgendwo im Intervall liegt, und sinnvolle Wahrscheinlichkeiten für alle kleineren Teile des Intervalls, die Sie berechnen möchten.

Reelle Zahlen sind in der Physik in der Regel nützlich, da Sie im Allgemeinen gewöhnliche Größen von Entfernung, Zeit, Masse und Energie in beliebige Intervalle unterteilen können (und manchmal tauchen nicht-algebraische Zahlen wie Pi und E in den nützlichen Modellen auf). Als die moderne Wissenschaft auf Beobachtungen stieß, die jetzt Atomen und Photonen zugeschrieben werden, und das Standardmodell der Teilchenphysik entwickelte, brauchten wir natürlich neue Theorien, die nicht länger davon ausgehen, dass Masse und Energie im kleinsten (nicht gewöhnlichen) Maßstab unteilbar sind. Könnte das gleiche für Distanz und Zeit passieren? Wer weiß?

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen haben sich übrigens auch in der Physik als recht nützlich erwiesen: Die grundlegende Quantenmechanik beschreibt Ort und Impuls eines Objekts in Form von komplexwertigen "Wellenfunktionen", die der Schrödinger-Gleichung gehorchen . Die Quadrate der Absolutwerte dieser Wellenfunktionen sind eigentlich Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für die zu beschreibende Variable. Diese Wellenfunktionen nehmen immer noch reellwertige Position, Zeit und Impuls an.

Schließlich deuten einige der vielversprechend aussehenden Ideen zur Quantengravitation (einschließlich der Stringtheorie) darauf hin, dass es tatsächlich eine minimale oder fundamentale Einheit der Raumzeit geben könnte, irgendwo in der Größenordnung der Planck-Länge . Aber soweit ich gehört habe, ist noch keine davon auf dem Niveau einer etablierten nützlichen Theorie.

All dies zeigt, dass es Wege gibt, das Paradoxon zu umgehen, und Wege, unser beobachtetes Universum immer noch ziemlich gut zu beschreiben, indem wir sowohl reelle Zahlen als auch Wahrscheinlichkeiten verwenden. Aber das bedeutet nicht unbedingt, dass dies die wahre grundlegende Natur des Universums ist oder so etwas. Es ist auch möglich, funktionierende physikalische Gesetze zu konstruieren, indem man nur rationale Zahlen verwendet oder Zahlen, die alle Vielfache einer einzelnen ausgewählten sehr kleinen Zahl sind. (Aber diese Systeme sind möglicherweise nicht so einfach zu berechnen!) Alles, was jede physikalische Theorie oder jedes Gesetz behaupten kann, ist, dass sie Beobachtungen gut erklären und vorhersagen kann und möglicherweise mehr Beobachtungen abdeckt als andere Theorien und / oder einfacher und leichter zu handhaben ist verstehen und verwenden als andere Theorien.

Wenn es also um Fragen geht wie: Funktioniert das Universum wirklich so oder so? oder Bringt uns ein „besserer“ Satz physikalischer Theorien dem Verständnis einer wahren zugrunde liegenden Natur des Universums näher? oder Warum können wir vorhersagen, dass etwas passieren wird? ... wir befinden uns im interessanten Bereich der Metaphysik. Aber das ist eine andere Geschichte (und eine, die ich nicht so qualifiziert kommentieren kann).

Nachdem ich die Frage gelesen hatte, habe ich Strg + F "Plancklänge" +1 gedrückt, dass es in Ihrer Antwort enthalten ist!
@MikeOunsworth Während die Existenz der Planck-Länge darauf hindeuten kann, dass das Universum in gewisser Hinsicht diskret ist, ist es nicht erforderlich, die Quantenmechanik einzubringen, um den Fehler im ursprünglichen Argument zu finden. Das Hauptproblem bei der Argumentation des OP besteht darin, dass angenommen wird, dass "Wahrscheinlichkeit 0" in diesem Zusammenhang "kann nicht passieren" bedeutet, wo es besser als die Grenze des bestimmten Integrals der Wahrscheinlichkeitsverteilung angesehen werden könnte, die über diesem Punkt zentriert ist als die Fläche geht auf 0. Für jede Region mit einer Fläche ungleich Null ist die Wahrscheinlichkeit größer als 0.
@Ray Ich habe auch Statistikkurse für Hochschulabsolventen besucht. Allein die Formulierung der Frage ließ mich an Planck-Länge als etwas denken, an dem das OP interessiert sein könnte, nicht dass es unbedingt die Antwort auf die Frage ist. (Ist es nicht das Ziel, Wissen und Neugier zu verbreiten, anstatt die Frage wie geschrieben knapp zu beantworten?) Es ist amüsant, dass das OP gleichzeitig falsch und richtig ist, nur nicht aus den Gründen, die sie glauben.

Zenos Paradoxon ist kein Paradoxon. Es ist ein Angriff auf loses Denken. Indem es die Unendlichkeit einer Sache betont und die Unendlichkeit einer anderen nicht erwähnt, verwirrt es die Menschen, indem es denkt, dass etwas unmöglich ist.

Die Betonung in Zenos Paradoxon liegt auf der unendlichen Anzahl von Unterteilungen einer Entfernung, was den Eindruck erweckt, dass es unendlich viel Zeit in Anspruch nehmen wird, diese unendliche Anzahl von Unterteilungen zu durchqueren. Es ignoriert sorgfältig die Tatsache, dass Sie jedes Mal, wenn Sie die Entfernung halbieren, auch die Zeit halbieren, die zum Überqueren dieser Entfernung (bei einer bestimmten Geschwindigkeit) benötigt wird. Es spielt keine Rolle, wie fein Sie die Strecke unterteilen, wenn es immer gleich lang dauert, alle Unterteilungen zu durchqueren.

Also zur Ausgangsfrage - wie genau kann man die Position des Aschenbechers messen? Die Wahrscheinlichkeit, dass seine Ecke an einer bestimmten Stelle gemessen wird, hängt davon ab, wie genau Sie sie messen können. Wenn Sie es nur auf die nächsten 10 cm genau messen könnten und der Tisch ein Quadrat von 50 cm hat, dann gibt es 25 mögliche Orte, und (unter der Annahme einer zufälligen Verteilung) beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/25 (0,04). Wenn Sie auf 1 cm genau messen können, gibt es 2500 mögliche Orte, und die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,0004. Usw. Denken Sie daran, dass das Heisenbergsche Prinzip eine untere Grenze dafür setzt, wie genau Sie seinen Standort messen können (unter der Annahme eines relativ stationären Aschenbechers!).

Mit anderen Worten, je genauer Sie die Position messen können, desto mehr Positionen gibt es und desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Objekt eine bestimmte Position einnimmt (wieder unter der Annahme einer zufälligen Verteilung). Die Wahrscheinlichkeit ist nie Null, aber sie wird sehr klein (aber das Zielgebiet auch).

Eine andere Antwort sagte so ziemlich dasselbe, indem sie sagte, dass Sie eine Toleranz für die Position angeben müssen.

Mit anderen Worten, Ihr „Paradoxon“ ist nicht mehr ein Paradoxon als das von Zeno.

"Zenos Paradoxon ist kein Paradoxon. Es ist ein Angriff auf loses Denken." - Ein Angriff auf loses Denken ist ein Paradoxon . ;)
@AnoE - So ein wichtiger Punkt!
Der Punkt über die Genauigkeit der Messung ist wirklich die wahre Antwort.
@AnoE Nun, ein Paradoxon (oder genauer gesagt eine Antinomie) kann auch zeigen, dass ein ausgewählter Satz von Axiomen nicht konsistent ist. Ein solches Set muss nicht immer das Ergebnis vagen Denkens sein.

Das Problem ist, dass Wahrscheinlichkeit 0 nicht „unmöglich“ bedeutet.

Wenn jemand für immer Münzen wirft, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er niemals auf einen Kopf trifft? Nun, es ist null. Aber es ist möglich! Tatsächlich ist jede spezifische unendliche Folge von Kopf und Zahl unendlich unwahrscheinlich; das heißt, seine Wahrscheinlichkeit ist null. Dennoch ist nichts unmöglich: Einer von ihnen wird tatsächlich eintreten.

Auf die gleiche Weise landet der Aschenbecher an einem Punkt, an dem er keine Wahrscheinlichkeit hatte zu landen, aber das bedeutet nicht, dass es unmöglich war, dort zu landen. In der Tat tut es das.

Ich denke, das hat nichts mit der Quantenphysik zu tun, die uns sagt, dass Entfernung quantisiert ist. Es gibt einen Mindestabstand, den Sie messen können, aber das ist nur eine Grenze für die Genauigkeit unserer Instrumente. Es ist nicht so, dass die Welt wirklich auf einem quadratischen Gitter von 1 Planck-Länge angeordnet ist, zumindest nach meinem Verständnis.

Was Sie beschreiben, ist ein grundlegender Aspekt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (in der Mathematik), dh die Wahrscheinlichkeit jedes Punktes geht gegen Null, weshalb Wahrscheinlichkeiten auf Intervallen oder Flächen berechnet werden (falls hier eine Einführung ist ). Je kleiner das Intervall, desto kleiner die Wahrscheinlichkeit. Auf der Ebene eines Punktes wird er als Null betrachtet. Trotzdem können Sie es über ein Intervall summieren. Beachten Sie, dass dies ein mathematisches Konstrukt ist.

Die allgemeinere Frage wird oft gestellt, ob das "reale" Universum diskret (ich glaube, Sie haben es als digital gemeint) oder kontinuierlich ist.

Hier finden Sie eine Behandlung des genauen Arguments, das Sie vorbringen .

Kurz gesagt besteht die Vorstellung seit langem darin, dass Materie aus Atomen besteht, dh aus unteilbaren Teilchen. Die Physik hat diese Idee übernommen, außer dass das, was sie von Atomen hielt, tatsächlich in Teilchen teilbar war, die dann in Unterteilchen usw. unterteilbar waren. Wir sind jetzt in einer Hypothese von "Strings", aber nur zu sagen, ob sie diskret oder kontinuierlich sind Studenten dieser Dinge könnten darüber streiten (aber da die Quantenmechanik auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen angewiesen ist, könnten wir wieder bei Null angelangt sein).

Es stellt sich auch die Frage, ob der Raum selbst eigentlich diskret oder kontinuierlich ist. Raum und Zeit werden nach der Einstein-Mechanik als miteinander verbunden betrachtet.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass mathematische Konstrukte und physikalische Modelle uns viel über die Wechselbeziehungen zwischen Objekten, Raum und Zeit im physikalischen Universum aussagen und darüber, wie größere Objekte in kleinere Objekte zerlegt werden können. Aber es sagt uns nichts darüber, was diese Dinge sind . Nach allem, was wir wissen, könnten wir eine völlig „falsche“ Vorstellung vom Wesen der Dinge haben, aber solange die Theorie nicht bemängelt werden kann und sie anwendbar ist, ist sie gut genug.

Am Ende könnte es eine philosophische Frage sein, auf die unsere Wissenschaft keine endgültige Antwort hat (in diesem Sinne könnten wir sie metaphysisch nennen ) .

Die Wahrscheinlichkeit ist absolut null. Infinitesimals kommen darin überhaupt nicht vor. Der Trick liegt darin, wie das zu interpretieren ist.
Wenn ich richtig verstehe, ist die Aussage, dass die Wahrscheinlichkeit eines "Punktes" Null ist, eine Abkürzung: Der Punkt in diesem Zusammenhang ist eine Grenze eines Bereichs in Richtung Null; es wird dann mit einem "Punkt" als dimensionsloses Objekt identifiziert. Daher die Verwirrung?
In der üblichen Definition der Wahrscheinlichkeit als Maß/Integral gibt es absolut kein Problem mit der Dimension oder irgendetwas anderem. Es muss keine Grenze involviert sein (obwohl Sie es so berechnen könnten) und selbst wenn es eine gäbe, würden Sie immer noch den Wert von P(x \in {a}) = 0 und kein Infinitesimal erhalten. Ich sehe, Wikipedia hat diesen Fehler auch. Bei der Erklärung eines "offensichtlichen Paradoxons". Es gibt kein „offensichtliches“ Paradoxon oder etwas anderes. Das Wahrscheinlichkeitsmaß ist nur abzählbar additiv. Dies ist nur das Ergebnis dessen, dass die meisten Menschen Unendlichkeiten nicht verstehen, aber versuchen, ohne Strenge mit ihnen zu arbeiten.
Ich stimme Ihrem Punkt zu und habe meine Antwort geändert. Wenn Sie die Befugnis dazu haben, können Sie es gerne weiter ändern.

Laut anderen Antworten zu Unendlichkeit und Wahrscheinlichkeit, die ich im Internet gefunden habe, ist die Chance, eine bestimmte Position aus einer Menge mit unendlich vielen Positionen zu treffen, gleich Null.

Ich denke, es ist eine schlampige Rede über das Wort "Unendlichkeit". Ihre Aussage ist ein Fehler "durch Null dividieren", undefiniert, bedeutungslos.

Ich habe in Mathe gelernt, dass die richtige Art, „unendlich“ zu verwenden, darin besteht, dass es keine Zahl ist, es ist eine Grenze ... oder genauer gesagt, es ist keine Grenze, es ist unbegrenzt. Die Definition von "unendlich" ist "größer als jede Zahl": Wenn Sie zum Beispiel eine beliebige Zahl wählen (z. B. "100"), kann ich eine andere Zahl finden, die größer als Ihre Zahl ist (z. B. "101"), daher ist die von Ihnen gewählte Zahl nicht t "unendlich" ... keine Zahl, die Sie auswählen können, ist "unendlich".

Der richtige Weg, Ihr Aschenbecherproblem zu formulieren, ist so etwas wie:

  • Beginnen Sie mit einer Tabelle
  • Legen Sie ein Gitter der Größe „n“ auf den Tisch
  • Die Anzahl der Gitterzellen ist "n zum Quadrat"
  • Daher ist die Wahrscheinlichkeit, ein Gitterquadrat zufällig auszuwählen, "eins geteilt durch n zum Quadrat".
  • Diese Wahrscheinlichkeitsformel gilt "für alle n, auch wenn n gegen unendlich geht"
  • Aber von der Wahrscheinlichkeit "wenn n gleich unendlich" ist, kann man nicht sprechen, denn unendlich ist keine Zahl ... unendlich ist ein Synonym für "unbegrenzt" oder "ohne obere Grenze".

Die Logik des Paradoxons im OP hängt von "Null multipliziert mit Unendlich gleich Null" ab (dh Null-Wahrscheinlichkeit pro Punkt multipliziert mit Unendlich-Punkten ist gleich einem Paradoxon).

Sie erhalten diese Gleichung, indem Sie eine Division durch Null durchführen, "Eins geteilt durch Null ist unendlich" (dh eine endliche Fläche der Tabelle geteilt durch die Größe eines Nullflächenpunkts entspricht unendlich vielen Punkten) .

Aber "Division durch Null" ist eine undefinierte Operation. Seine Verwendung führt zu bekannten, trivialen (Grundschulniveau), leicht erkennbaren algebraischen Fehlschlüssen, zum Beispiel wie hier gezeigt: Division durch Null - Fehlschlüsse

Es beweist nichts über das Universum, es drückt das Nummerierungssystem, bis es ins Stocken gerät. Sie können eins durch n dividieren, wobei n eine beliebige Zahl ungleich Null ist.

FTR ist es möglich, konsistente mathematische Rahmen zu konstruieren, in denen Unendlich eine Zahl ist . Aber es ist in der Tat nicht der, nun ja, Standardweg , und ob es überhaupt sinnvoll ist, ∞ als Zahl zu betrachten, ist umstritten. Ich persönlich bevorzuge konstruktive Ansätze .
Er sagt nicht "Zahl gleich unendlich", sondern "unendlich viele Stellen". Ich würde sagen, das ist nicht "schlampig", nur etwas gekürzt. Von unendlichen Mengen zu sprechen ist nicht nur möglich, sondern in der Mathematik durchaus üblich. Für mich ist klar, dass er über eine Menge von Realzahlen in einem Intervall spricht, was per Definition für jedes nicht-triviale Intervall eine unendliche Menge ist ... und die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte (oder tatsächlich jede Teilmenge von endlichen) auszuwählen Größe) ist Null. Siehe "Maßtheorie". Und das ist gerade etwas anderes, als a nins Unendliche gehen zu lassen (wobei jeder einzelne Schritt immer endlich ist).
@AnoE Ich habe der Antwort ein wenig hinzugefügt, um zu versuchen, auf Ihren Kommentar einzugehen.

Wenn wir davon ausgehen, dass der Weltraum tatsächlich analog ist (und ich bin mir nicht sicher, ob uns das die zeitgenössische Physik sagt), folgt daraus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Punkt getroffen wird, tatsächlich null ist.

Dies ist jedoch so, wie es sein sollte: Egal wie feinkörnig Ihre Analysemethoden sind, wenn der Raum (oder die Fläche) wirklich aus unendlich vielen unendlich kleinen Punkten besteht, muss jede Methode zur Bestimmung der Position des getroffenen Punktes hat eine gewisse Unsicherheit: Es gibt Ihnen die Position bis zu einer bestimmten Anzahl von Dezimalstellen, und bis zu dieser Anzahl von Dezimalstellen sind Punkte im Raum diskret: Wenn Sie auf 0,01 mm genau messen, besteht jeder cm² aus genau 100 verschiedene diskrete Orte.

Wenn Sie aus Argumentationsgründen eine Maschine erfinden, die Ihnen den Ort mit all seinen (unendlichen, wenn der Raum nicht digital ist) Dezimalstellen angibt, ist nichts gewonnen, weil Sie sterben werden, bevor Sie diese unendliche Menge ablesen können von Informationen, und die Menschheit wird aussterben, daher gibt es keinen sinnvollen Weg zu sagen, dass sie auf mehr als eine beliebige, aber endliche Anzahl von Dezimalstellen gemessen wurde.

Das bedeutet, dass wir tatsächlich nur annehmen, dass irgendein Punkt getroffen wurde, weil wir nie herausfinden können, welcher Punkt es war. Es ist also praktisch so, als ob kein einziger unendlich exakter Punkt getroffen wurde, sondern nur ein Bereich, von dem wir sagen können, dass ein Punkt darin getroffen wurde. Auch wenn der Raum nicht digital ist, folgt daraus nichts.

Ich denke, "digital" war hier als Synonym für "diskret" gemeint, im Gegensatz zu "analog". Sie scheinen es im umgekehrten Sinne zu verwenden.
@aschepler Nein, ich benutze es im gleichen Sinne. Habe ich etwas Dummes gesagt?

Das Paradoxon, das Sie erwähnen, und Zenos Paradoxon beruhen auf der Irrationalität von Zahlen, die Menschen erfunden haben. Ich behaupte, dass diese Irrationalität als Ergebnis unserer gegenwärtigen Irrationalität auftritt. Mein Gegenbeispiel dazu ist, dass es in Computern keine irrationalen Zahlen gibt. Und laut einigen der klugen Köpfe von heute sagen sie, dass das Universum berechnet werden kann. Es kann also nur digital sein.

Kleiner Trottel, es funktioniert auch gut für rationale Zahlen. Du brauchst keine Irrationalität, nur Unendlichkeit.
Verschiedene Klassen irrationaler Zahlen können in Computern gut dargestellt werden. Alle algebraischen Zahlen zum Beispiel. Oder die Felderweiterung der Rationalen durch eine endliche (berechenbare?) Menge von Irrationalen (selbst wenn sie transzendental sind).
Gibt es irrationale Zahlen in unseren Köpfen? Wir kennen Prozeduren , um sie auf eine endliche Anzahl von Dezimalstellen zu generieren, aber diese Prozeduren können in Computercode implementiert werden.
@labreuer interessanter Kommentar. Können Sie mich bitte mit einem Hyperlink auf die Richtung eines Peer-Review-Artikels verlinken, den ich möglicherweise über irrationale Zahlen in Computern gelesen habe? Bitte und Dankeschön.

Ergänzend zu anderen Antworten frage ich mich, welche Vorstellung von Wahrscheinlichkeiten Sie annehmen müssen, damit Ihr Paradoxon durchläuft.

Das Paradoxon scheint nicht nur auf Diskretion anwendbar zu sein, sondern allgemeiner auf die Idee, dass die Welt eine unendliche Anzahl möglicher Konfigurationen hätte. Selbst wenn die Welt eher diskret als kontinuierlich ist, reicht es aus, dass sie unendlich groß wäre (und daher eine unendliche Anzahl möglicher Zustände haben könnte), damit ihr tatsächlicher Zustand die Wahrscheinlichkeit Null hat. Aber in einem solchen Fall könnte man versucht sein zu sagen, dass es keinen Widerspruch in der Vorstellung gibt, dass das Universum einen bestimmten Zustand unter einer Unendlichkeit von Möglichkeiten haben würde.

Wenn Sie Unwissenheitswahrscheinlichkeiten annehmen, würde dies bedeuten, dass der tatsächliche Zustand der Welt oder der Tabelle in Ihrem Beispiel "unglaublich" ist. Jetzt bilden wir Überzeugungen nur auf der Grundlage unserer Beobachtungen und Konzepte, also wären bedingte Wahrscheinlichkeiten vielleicht angemessener, aber Sie könnten das gleiche Paradoxon mit bedingten Wahrscheinlichkeiten erhalten (vorausgesetzt, unser Wissen ist endlich). Aber man könnte einwenden, dass das, wozu wir geneigt sind oder Gründe zu glauben haben, für den tatsächlichen Zustand der Welt irrelevant ist und dass Ihre Argumentation falsch ist. Sie haben also keinen Grund zu der Annahme, dass sich der Tisch an einer bestimmten Position befindet, obwohl dies der Fall ist, aber hier gibt es keinen Widerspruch.

Unter der Annahme von nomologischen Wahrscheinlichkeiten anstelle von Unwissenheit wäre die Schlussfolgerung des Paradoxons, dass es nomologisch unmöglich ist, dass sich das Universum oder der Tisch in dem Zustand befindet, in dem es sich befindet. Aber warum sollte man bei nomologischen Wahrscheinlichkeiten von einer gleichmäßigen Verteilung der Möglichkeiten ausgehen? Wenn das Universum beispielsweise deterministisch ist, besteht die Wahrscheinlichkeit eins, dass es sich angesichts seines vergangenen Zustands in seinem aktuellen Zustand befindet, und es ergibt sich kein Paradox, außer den Anfangsbedingungen des Universums, aber warum sollte man davon ausgehen, dass alle Anfangsbedingungen gleich wahrscheinlich sind? Das erscheint an dieser Stelle ziemlich metaphysisch.

Beachten Sie schließlich, dass im Fall der Quantenmechanik nichts eine perfekt bestimmte Position hat und Wahrscheinlichkeiten im Allgemeinen über quantifizierte (diskrete) Möglichkeiten definiert werden, sodass das Paradoxon nicht auftritt, obwohl der Raum selbst kontinuierlich ist: Dies liegt daran, dass Messungen diskret wären Ereignisse und wäre niemals von unendlicher Genauigkeit (zumindest in einigen Interpretationen).

Auf jeden Fall werfen Sie ein interessantes Paradoxon auf, das mit der Beziehung zwischen mathematischem Formalismus und Realität zu tun hat. Es scheint, dass die Physik kontinuierlichen Raum (reelle und komplexe Zahlen, Differentialrechnung) benötigt, um die Realität genau zu beschreiben, obwohl unsere Messungen immer diskret sind und obwohl Unendlichkeiten und Kontinuität zu Paradoxien führen.

„Selbst wenn die Welt eher diskret als kontinuierlich ist, reicht es aus, dass sie unendlich groß wäre.“ Für das spezifische Problem (ein Objekt auf einen Tisch legen) kommt es darauf an, dass auf diesem Tisch unendlich (kontinuierlich) viele Koordinaten vorhanden sind. Ob der Rest des Universums um ihn herum ins Unendliche geht, ist so oder so egal. Wenn das "echte" Universum diskret ist, würde das Problem verschwinden ...
Aber du hast ein ähnliches Problem. Wenn das Universum unendlich ist, gibt es unendlich viele mögliche Konfigurationen und die Wahrscheinlichkeit jeder Konfiguration ist null.
Sicher... die Frage bezieht sich aber nicht auf den Zustand des gesamten Universums, sondern auf den "lokalen" Zustand (vgl. die erste Frage, ob es eine "Mindestdistanz", also eine Verpixelung des Universums gibt...).
Ja. Ich behandle hier das allgemeine Problem, die gleichen Beobachtungen gelten mehr oder weniger für den lokalen Fall.
Aber Sie haben Recht, das war nicht klar, also habe ich meine Antwort aktualisiert, danke.
Tatsächlich reicht es für das Paradoxon nicht aus, unendlich zu sein. Betrachten Sie das Spiel, bei dem ich wiederholt eine Münze werfe, bis ich zum ersten Mal Zahl erhalte: Es gibt unendlich viele mögliche Ergebnisse (null Kopf, eins Kopf, zwei, ...), aber jedes hat eine endliche Wahrscheinlichkeit.
Aber jede unendliche Folge hat eine Nullwahrscheinlichkeit. Oder wenn Sie unendlich viele Münzen werfen, hat jedes Ergebnis eine Nullwahrscheinlichkeit.

Richtig, ich glaube, ich habe eine Antwort darauf, aber ich kann nicht herausfinden, wie man Mathematik darin schreibt, also haben Sie Geduld mit mir. (Und bitte sagt mir jemand, wie man Mathematik formatiert, kann es in der Formatierungshilfe nicht finden.)

Wie auch immer, ich glaube nicht unbedingt, dass die Chance gleich Null ist. Beginnen wir damit, dass Sie bei 10 Punkten eine Chance von 1 zu 10 haben, einen einzelnen Punkt zu treffen. Die Chance ist der reziproke Bruchteil der Anzahl der Punkte, also wird 10/1 zu 1/10. Jetzt würden unendliche Punkte technisch gesehen keine Chance von 0 ergeben, sondern die Chance wäre 1/unendlich. Nun ist es offensichtlich unmöglich, diese Chance zu messen, aber es scheint eine Chance ungleich Null zu sein.

Wenn Sie N Punkte oder N / 1 haben, beträgt die Chance, einzelne Punkte zu treffen, 1 / N

Für jeden Wert N , der größer als 0 ist, haben Sie eine Chance größer als null. Sie können den Wert von N unendlich erhöhen, während Sie immer noch die Chance haben, einen bestimmten Punkt zu treffen.

Das oder ich muss wirklich an meinen mathematischen Fähigkeiten arbeiten.

Für mathematische Symbole siehe Philosophy.meta.stackexchange.com/a/3239/2953 .
@Keelan Ich habe hauptsächlich nach einer Möglichkeit gesucht, Exponenten zu machen. (10 hoch -N, da dies immer eine Zahl ungleich Null für jeden Wert N ergibt.) Ich werde Ihr Plugin wahrscheinlich in Zukunft verwenden, da es einige nützliche Symbole zu haben scheint.
Wenn ich Sie richtig verstehe, können Sie 10<sup>N</sup>dafür verwenden. Dies ist auch im Plugin enthalten, das vierte Symbol in der obersten Reihe (x-squared / hochgestellt).
Unendlich ist keine Zahl, und Division ist darauf nicht definiert. Stattdessen sollten Sie die Grenze von 1/x berücksichtigen, wenn x beliebig groß wird. Das ist tatsächlich 0.
@Canyon Wie das? Bei der Gleichung N / 1 ist für jeden Wert N der Kehrwert 1 / N eine Zahl ungleich Null. Wenn Sie N erhöhen , reduzieren Sie die Zahl nur als Bruch, sodass Sie sie niemals auf eine echte Null reduzieren können, egal wie unendlich weit Sie vorgehen. Es kann für alle Berechnungen, die Sie ausführen, effektiv Null sein, aber es wird nie wirklich Null erreichen.
Das ist das Problem mit der Unendlichkeit: Es ist eine reine Definitionssache. Und @Canyon hat absolut Recht, denn so werden die Dinge normalerweise definiert. Unendlichkeit ist keine Zahl und kann nur im Rahmen von Grenzen effektiv bearbeitet werden.
Google „Maßtheorie“, darum geht es. Auch ziemlich interessant.
Habe ich ein Paradoxon gefunden, oder ist das Universum digital? Oder liege ich einfach falsch? [abgeschlossen]
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v