Anyons nur in 2 + 1 Raumzeitdimensionen - bessere Erklärung

Bitte lassen Sie mich Sie zunächst auf die Originalarbeit von Leinaas und Myrheim verweisen, in der die Existenz von Anyonic-Statistiken zuerst vor ihrer tatsächlichen Entdeckung vorhergesagt wurde. Alle Bestandteile des Verständnisses der besonderen Eigenschaften des zweidimensionalen Falls sind bereits in diesem alten Artikel vorhanden, aber ich werde versuchen, ihn in eine modernere Terminologie zu fassen:

Durch den Übergang zu einem polaren Massenmittelpunkt entsteht der Konfigurationsraum zweier skalar identischer Teilchen$\mathbb{R}^n$kann dargestellt werden als:

$$\frac{\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n}{\sim } = \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^+\times \frac{S^{n-1}}{\mathbb{Z}_2}$$

Wo:$\sim$ist die Äquivalenzrelation identischer Teilchen, die$\mathbb{R}^n$auf der rechten Seite sind die Schwerpunktkoordinaten,$\mathbb{R}^+$ist die radiale Koordinate, und$\frac{S^n}{\mathbb{Z}_2}$sind die Winkelkoordinaten. Die dem Austausch in den Winkelkoordinaten entsprechende Äquivalenzrelation ist einfach die Identifizierung der Antipodenpunkte auf der Kugeloberfläche, die den Faktor ausmachen${\mathbb{Z}_2}$im Nenner. Der Massenmittelpunkt und die radialen Koordinaten sind für den Austausch transparent, daher können wir uns auf die Winkelkoordinaten konzentrieren, die eigentlich aus den realen projektiven Räumen bestehen:

$$RP^n = \frac{S^n}{\mathbb{Z}_2}$$

Diese Räume sind nicht einfach verbunden, ihre Grundgruppen können leicht aus der Kontraktionsfähigkeit der geschlossenen Schleifen auf der Kugel mit der Identifizierung der Antipodenpunkte abgeleitet werden, wie in der Frage angegeben:

$$\pi_1(RP^n ) = \mathbb{Z}_2, n>1$$

$$\pi_1(RP^1 ) = \mathbb{Z}$$

Der übliche Weg, auf einer nicht einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit zu quantisieren, besteht darin, Wellenfunktionen auf der universellen Abdeckung mit geeigneten Transformationseigenschaften beim Austausch zu konstruieren:

$$\psi(x^a) = e^{i\phi} \psi(x)$$

Wo$x^a$ist der Antipodenpunkt zu$x$. Natürlich kann die Transformation nur eine Phasenmultiplikation sein, denn die Wahl des Punktes bzw. seines Antipoden soll die Erwartungswerte der Observablen nicht verändern, da beide Punkte demselben physikalischen Punkt auf dem Konfigurationsraum entsprechen.

Außerdem seit$S^n$Angeschlossen wird dann einfach die Karte$S^n \rightarrow RP^n$ist eine überdeckende Karte, also$RP^n = \frac{S^n}{\pi_1(RP^n ) }$. Die Phasentransformation muss eine Darstellung von sein$\pi_1(RP^n )$. In unserem Fall wann$n>2$,$\mathbb{Z}_2$hat nur zwei Phasendarstellungen, die triviale Darstellung und die alternierende Darstellung.

Im zweidimensionalen Fall können wir jedoch eine Darstellung wählen$\gamma$in dem der Generator$\Gamma$von$\mathbb{Z}$wird durch eine willkürliche konstante Phase dargestellt$e^{i\phi}$, dann die Darstellung eines beliebigen Elements in$\mathbb{Z}$wird sein:

$$\gamma(\Gamma^n) = e^{in\phi}$$

Nun denken Sie bitte daran, dass im geometrischen Bild der Fundamentalgruppe die Erzeuger durch geschlossene Schleifen dargestellt werden, also die Darstellung$\gamma$ordnet jeder geschlossenen Schleife eine Phase zu (so dass sich das Zusammensetzungsgesetz der Schleifen in der Multiplikation der Phasen widerspiegelt). Diese Zuordnung kann als Existenz inäquivalenter Quantisierungen beschrieben werden, die dem Kartensatz entsprechen:

$$\mathrm{Hom}(\pi_1(RP^n ), U(1))$$

Wenn$n>2$, diese Menge enthält nur zwei Klassen (Bosonen und Fermionen), während when$n=2$, diese Menge ist unendlich.

Zusammenfassend wird es eine Menge möglicher Quantisierungen geben, in jeder Menge sollte die Winkelwellengleichung mit einer anderen Bedingung beim Austausch der Antipodenpunkte auf der Kugel gelöst werden. Die Lösung entspricht einem anderen Partikeltyp.

Leinaas und Myrheim lösten das Problem des identischen zweidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators mit Wellenfunktionen, die sich bei der antipodischen Identifizierung mit einer beliebigen Phase transformieren, und stellten fest, dass das Spektrum vom Transformationsphasenfaktor abhängt.

Nun kann nach dem Klassifikationssatz der flachen Verbindungen jede (projektive) Darstellung der Fundamentalgruppe einer flachen Verbindung zugeordnet werden$A$so dass:

$$\gamma(\Gamma) = e^{\int_{\Gamma} A_{\gamma}}$$

Dieser Zusammenhang ist wesentlich für die Konstruktion der Quantenoperatoren, die den klassischen Funktionen auf dem Phasenraum nach der Koopman-Van-Hove-Darstellung entsprechen:

$$\hat{O}_{\gamma} = O - i \hbar X_{O} -A_{\gamma} (X_{O} )$$

Wo$O$ist eine Funktion im Phasenraum,$\hat{O}_{\gamma}$ist der entsprechende Quantenoperator, und$X_O$das entsprechende Hamiltonsche Vektorfeld ist.

Übrigens, wenn der Konfigurationsraum ist$S^1$, diese flache Verbindung ist die berühmte Aharonov-Bohm-Verbindung.

Weitere Informationen zur Klassifizierung inäquivalenter Quantisierungen finden Sie in den folgenden beiden Artikeln von NP Landsman und von Doebner Šťovíček und Tolar . Tatsächlich hat der Erstautor (Landsman) Vorbehalte (Fußnote 13 im Artikel) gegenüber der üblichen Erklärung mit parallelem Transport und bevorzugt die induzierte Darstellungslogik, der ich zu folgen versucht habe.