Kitaev-Honeycomb: Kann die Wilson-Schleife nicht quadrieren, um +1 zu erhalten

Ich bin neu hier, liebe diese Website und habe einige Schwierigkeiten mit dem Wilson-Loop-Operator in Kitaevs Wabenmodell.

Problemstellung Das Kitaev-Modell ( Kitaev, 2006 ist die Originalarbeit) besteht aus Spins, die sich an den Gitterplätzen eines Wabengitters befinden, mit separaten nn-Kopplungen für die drei Richtungen, die für die Bindungen identifiziert wurden. Der Wilson-Loop-Operator ist$w_p=\sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6$, wo die Indizes$i \in\{1,...,6\}$weisen auf die hin$6$an der hexagonalen Schleife beteiligte Gitterplätze (siehe Bild).

In dem Buch von Jiannis K. Pachos (Einführung in die topologische Quantenberechnung, 2012) stellt der Autor dies fest$(w_p)^2=1$, die ich versuche, selbst zu finden. Eigentlich sollte das gar nicht schwer sein, aber ich stecke leider fest.

Lösungsversuch Ich habe folgendes versucht

$$(w_p)^2 = \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = -\sigma^x_1 \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = -\sigma^y_2 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = + \sigma^z_3 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = + \sigma^x_4 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = - \sigma^y_5 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^z_6 \\ =-1$$

Wo ich gezogen habe$\sigma_1$durch zuerst, als nächstes die$\sigma_2$, etc. Und ich habe verwendet$\{\sigma^\alpha_i , \sigma^\beta_j \}= 2 \delta_{i,j}\delta_{\alpha,\beta} I_2$(damit jede Vertauschung ungleich$\sigma$'s gibt ein Minuszeichen und$\sigma^\alpha_i\sigma^\alpha_i =I_2$).

Also bekomme ich$(w_p)^2=-1$, was ich nicht finden wollte. Alle Texte zu diesem Thema besagen das$w_p$Einwirken auf eine Gitterkonfigurationsausbeute$w_p=\pm1$woraus leicht geschlossen werden kann$(w_p)^2=1$(den Ausdruck habe ich nicht bekommen).

Ich vermute, dass meine Kommutierungsbeziehungen nicht korrekt sind, aber ich bin mir nicht sicher. Wer kann mir helfen? Ein großes Dankeschön im Voraus!

Am besten, l