Geschlossene Formel für [H^,[H^,...[H^,c^†μ,σ]]...]][H^,[H^,...[H^,c^μ, σ†]]...]][\hat{H},[\hat{H},...[\hat{H},\hat{c}^\dagger_{\mu,\sigma}]] ...]]

Angesichts des Wechselwirkungsteils eines allgemeinen Vielkörper-Hamiltonian,

H ^ = ∑ a , β , γ , δ , σ , σ ' Ö a , γ , σ β , δ , σ ' C ^ a , σ † C ^ β , σ ' † C ^ δ , σ ' C ^ γ , σ ,
Ich definiere
C ^ 1 = [ H ^ , C ^ μ , σ ] ,
C ^ N = [ H ^ , C ^ N − 1 ]   für jeden   N > 1.

Ich habe mich gefragt, ob es eine geschlossene Formel für gibt C N , oder zumindest eine schönere Rekursionsrelation. C 1 Und C 2 sind einfach zu berechnen. Ich habe auch gerechnet C 3 , das ist schon eine ziemlich langwierige und unordentliche Berechnung! Aber ich habe kein Muster gesehen, und ich war nicht in der Lage, einen allgemeinen Ausdruck für aufzuschreiben C N . Ist sowas bekannt? Ist dies möglich?

Dies kann mit der Baker-Campbell-Hausdorff-Identität zusammenhängen: en.wikipedia.org/wiki/…
Ich habe einige Zeit damit gespielt, bin aber nicht weitergekommen: Ich habe nur neue nichtlineare rekursive Beziehungen gefunden, die nicht einfacher waren.

Antworten (1)

Hinweis: Dies ist eine verdrehte Art, die Störungstheorie in das Heisenberg-Bild zu bringen.

  1. Definieren Sie einen Satz von Generierungsoperatoren als

    G ^ μ σ ( z ) = ∑ N = 0 ∞ z N N ! [ H ^ , [ H ^ , . . . [ H ^ , C ^ μ , σ † ] ] . . . ] ] ⏟ N th − verschachtelten Kommutator bestellen   = BCH   e z H ^ C ^ μ , σ † e − z H ^
    Und
    G ¯ ^ μ σ ( z ) = ∑ N = 0 ∞ z N N ! [ H ^ , [ H ^ , . . . [ H ^ , C ^ μ , σ ] ] . . . ] ] ⏟ N th − verschachtelten Kommutator bestellen   = BCH   e z H ^ C ^ μ , σ e − z H ^ .

  2. Notiz

    D D z G ^ μ σ ( z )   =   [ H ^ , G ^ μ σ ( z ) ]
    Und
    D D z G ¯ ^ μ σ ( z ) = [ H ^ , G ¯ ^ μ σ ( z ) ] .

  3. Verwenden Sie Kommutierungs-/Anti-Kommutationsbeziehungen.

  4. Integrieren Sie die resultierenden Gleichungen zwischen [ 0 , z ] und iteriere, um Taylor-Entwicklungskoeffizienten von zu finden G ^ μ σ ( z ) Und G ¯ ^ μ σ ( z ) .

  5. Überprüfen Sie, ob Sie ein Muster finden können.

Das scheint eine nette Idee zu sein; bei mir mit dem BCH war es ähnlich. Aber ich habe nichts davon, ich drehe mich nur im Kreis, um die Definitionen wiederzufinden. War das nur ein kurzer Vorschlag, oder wissen Sie eigentlich, dass Sie das Problem mit diesem Ansatz wirklich lösen können?
@Qwertuy Dieser Vorschlag ist ziemlich schnell (Intuition kommt von der Bewegungsgleichungsmethode in Greens-Funktionsmethoden, Baumerweiterungen in QFT, allgemeiner, störungsdiagrammatischen Methoden zum Lösen nichtlinearer Gleichungen). Obwohl ich keine explizite Antwort habe.
Geschlossene Formel für [H^,[H^,...[H^,c^†μ,σ]]...]][H^,[H^,...[H^,c^μ, σ†]]...]][\hat{H},[\hat{H},...[\hat{H},\hat{c}^\dagger_{\mu,\sigma}]] ...]]
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