Skalarprodukt im Fock-Raum und Coulomb-Wechselwirkung in der zweiten Quantisierung

Dies ist ein Zweifel, auf den ich bei dem Versuch gestoßen bin, die Form der Coulombschen Wechselwirkung in der zweiten Quantisierung auf der Grundlage ebener Wellen zu berechnen.

Lassen$k$bezeichnen den Impuls und$r$die Position, und lassen Sie mich verwenden$a$Und$b$für Spin-Variablen, also zum Beispiel$\vert r a \rangle$bezeichnet einen Zustand eines Teilchens mit Position$r$und drehen$a$Und$\vert k b \rangle$Zustand eines Teilchens mit Impuls$k$und drehen$b.$Zu wissen, dass dies gilt (unter der Annahme, dass die Normalisierungskonstante zur Vereinfachung der Notation eins ist).$\langle ra \vert kb \rangle = \exp(i kr) \delta_{a,b},$Ich möchte das folgende Skalarprodukt im Fock-Raum berechnen:

$$\langle k a, k^\prime a^\prime \vert r b, r^\prime b^\prime \rangle.$$

Mein Argument: Per Definition$\vert r b, r^\prime b^\prime \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\vert r b \rangle \otimes \vert r^\prime b^\prime \rangle-\vert r^\prime b^\prime \rangle \otimes \vert r b \rangle \right)$und analog für$\langle k a, k^\prime a^\prime \vert.$Daher findet man schnell heraus, dass das Skalarprodukt nur die Determinante der aus allen möglichen Paarungen bestehenden Matrix ist, also:

$$\langle k a, k^\prime a^\prime \vert r b, r^\prime b^\prime \rangle=\langle ka \vert rb \rangle \langle k^\prime a^\prime \vert r^\prime b^\prime \rangle- \langle ka \vert r^\prime b^\prime \rangle \langle k^\prime a^\prime \vert rb\rangle,$$ was das Ergebnis liefert: $$\exp(-ikr-ik^\prime r^\prime)\delta_{a,b}\delta_{a^\prime,b^\prime}-\exp(ikr^\prime+ik^\prime r)\delta_{a,b^\prime} \delta_{a^\prime, b}.$$

Sobald ich das habe, möchte ich dieses Ergebnis verwenden, um das Matrixelement zu berechnen$\langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle$der Coulomb-Wechselwirkung, die per Definition (in adäquaten Einheiten) erfüllt:

$$\langle r_1 b_1,r_2 b_2 \vert V \vert r_3 b_3,r_4 b_4 \rangle=\frac{1}{\vert r_1-r_2 \vert}\delta(r_3-r_1)\delta(r_4-r_2)\delta_{b_3,b_1}\delta_{b4,b2}.$$ Indem wir die doppelte Auflösung der Identität verwenden, haben wir: $$\langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle=$$ $$\sum_{ b_1,b_2,b_3,b_4 } \int dr_1 dr_2 dr_3 dr_4 \langle k_1 a_1,k_2a_2 \vert r_1 b_1,r_2b_2 \rangle \langle r_1 b_1,r_2 b_2 \vert V \vert r_3 b_3,r_4 b_4 \rangle \langle r_3b_3,r_4b_4 \vert k_3a_3,k_4a_4 \rangle.$$ Mit dem obigen Skalarprodukt erhalte ich: $$\sum_{b_1,b_2}\int dr_1 dr_2 \left( e^{-ik_1r_1-ik_2 r_2}\delta_{a_1,b_1}\delta_{a_2,b_2} -e^{ik_1r_2+ik_2 r_1}\delta_{a_1,b_2} \delta_{a_2, b_1}\right)$$ $$\times \frac{1}{\vert r_1-r_2 \vert} \left( e^{-ik_3r_1-ik_4 r_2}\delta_{a_3,b_1}\delta_{a_4,b_2}-e^{ik_3r_2+ik_4 r_1}\delta_{a_3,b_2} \delta_{a_4, b_1}\right).$$

Als nächstes setze ich dieses Ergebnis in die Erweiterung ein

$$\sum_{k_1 s_1,k_2 s_2,k_3 s_3, k_4 s_4} \langle k_1 a_1,k_2 a_2 \vert V \vert k_3 a_3,k_4 a_4 \rangle c^{\dagger}_{k_1 s_1}c^{\dagger}_{k_2 s_2}c_{k_4 s_4}c_{k_3 s_3}$$

ABER (das ist das Problem) Ich bin nicht in der Lage, daraus die zweitquantisierte Form der Coulombschen Wechselwirkung abzuleiten, die ist$\frac{1}{2}\sum_{k_1,k_2,q,s_1,s_2} q^{-2} c^{\dagger}_{k_1,s_1}c^{\dagger}_{k_2, s_2}c_{k_4-q,s_2}c_{k_3+q,s_1}.$Die Dinge passen einfach nicht zusammen. Es gibt einige Exponentiale, die falsch platziert zu sein scheinen, und ich sehe nicht, wo ich möglicherweise einen Fehler gemacht haben könnte. Was mache ich falsch?