Arbeit beim Eintauchen einer schwerelosen Kugel, ich bekomme genau die Hälfte des Richtigen, kann jemand auf meinen Fehler hinweisen! [geschlossen]

Die richtige Antwort ist offensichtlich$\bigg[\dfrac{4}{3}\pi\cdot 0.4^3\cdot1000\bigg]\cdot9.8\cdot0.8\approx2102\text{ Joules}\mathrm{~[sic]}$

Dies ist die richtige Antwort, um die Kugel einzutauchen und ihr eine fortgesetzte Abwärtsgeschwindigkeit zu verleihen, indem die volle Gleichgewichts-Eintauchkraft ausgeübt wird, wenn sie nur in das Wasser eindringt, dh wenn weniger Kraft für eine fortgesetzte quasistatische Abwärtsbewegung benötigt wird . Mit anderen Worten, eine konstante Kraft beschleunigt die Kugel erheblich und gibt ihr sowohl kinetische Energie als auch die potenzielle Energie beim Eintauchen.

Um eine langsame Bewegung aufrechtzuerhalten – sodass nur die potenzielle Energie relevant ist – wissen wir intuitiv, dass wir beim Eintauchen zunächst sanft drücken und die Last während des Eintauchens erhöhen müssen. Dies macht den Unterschied zwischen dem Integral der aufgebrachten Arbeit, das einem rechtwinkligen Dreieck entspricht (dessen Basis gleich der Verschiebung und dessen Höhe gleich der Endkraft ist) und einem Rechteck, das dieses rechtwinklige Dreieck enthält, mit der doppelten Fläche.

Diese Faktor-2-Frage stellt sich häufig, wenn es um Arbeit und Energie bei einer Rückstellkraft geht. Allein im Zusammenhang mit dem Aufhängen von Gewichten an Federn und dem Laden von Kondensatoren mit konstanter Spannung müssen auf dieser Seite ein Dutzend Fragen gestellt werden.

EDIT: Vielleicht zwei Dutzend. Siehe Berechnung der elastischen Energiekonstante , Falsche Berechnung der an einer Feder geleisteten Arbeit, was ist falsch? , Arbeit einer Batterie und potentielle Energie eines Kondensators , Was passiert mit der Hälfte der Energie in einem Stromkreis mit einem Kondensator? , Energie sparen beim Aufladen des Kondensators , Auf eine Feder gefallene Masse , 2 verschiedene Antworten erhalten, wenn die Federkonstante ermittelt wird$k$Wenn die Schwerkraft beteiligt ist , wenn die Saite nur durch Gewicht gedehnt wird, wohin geht die potentielle Gravitationsenergie, wenn nur die Hälfte in elastische potentielle Energie umgewandelt wird? , Warum ist die Arbeit an der Feder anders? , Wohin geht die Hälfte der potentiellen Energie? , Seltsamer Faktor von 2 im Hooke'schen Gesetz , Warum wird Energie von der Batterie absorbiert, wenn die Platten eines Parallelplattenkondensators auseinandergezogen werden? , In einem Kondensator gespeicherte Energie vs. Arbeit, die die Batterie verrichtet , Was ist die maximale Kompression einer idealen Feder? , Ist an einer Feder verrichtete Arbeit = elastische potentielle Energie? ,Wo wird die Hälfte der Arbeit, die beim Laden eines Kondensators geleistet wird, vernichtet? , Falsche Berechnung der an einer Feder geleisteten Arbeit, inwiefern ist sie falsch? , Annäherungen an Sand auf einem Förderband .

Die richtige Antwort ist offensichtlich$\bigg[\dfrac{4}{3}\pi\cdot 0.4^3\cdot1000\bigg]\cdot9.8\cdot0.8\approx2102\text{ Joules}$

Nein, das ist offensichtlich nicht die richtige Antwort.

Die (offensichtlich) richtige Antwort lautet:

Was bequemerweise der Antwort entspricht, die Sie auf dem Umweg erhalten haben.

Um die Formulierung des Problems weniger zweideutig zu machen, können Sie sich ein alternatives Problem überlegen. Stellen Sie sich eine starre Kugel mit gleichmäßiger Dichte in einer Flüssigkeit vor, die nur von der Auftriebskraft der Flüssigkeit beeinflusst wird. Das bedeutet, das Gewicht der Kugel und jegliche Auftriebskraft aus der Luft zu vernachlässigen, was im Prinzip erheblich sein könnte, wenn die Dichte der Kugel niedrig genug ist. Die Kugel ist anfangs statisch und vollständig eingetaucht, so dass die Oberseite der Kugel tangential zur Oberfläche der Flüssigkeit ist. In dieser Situation ist leicht zu erkennen, dass die Kugel von der Flüssigkeit nach oben gedrückt wird, bis sie vollständig mit nicht-$0$vertikale Geschwindigkeit. Wir können dann fragen, wie viel Arbeit die Auftriebskraft von dieser Ausgangskonfiguration bis zu dem Zeitpunkt verrichtet, an dem die Kugel vollständig aus der Flüssigkeit ausgetreten ist. Natürlich entspricht die Menge an kinetischer Energie, die von der Kugel aufgenommen wird, der Menge an Arbeit, die von der auf den Körper wirkenden Nettokraft verrichtet wird, die in diesem Fall nur die Auftriebskraft ist.

Dies ist gleichbedeutend mit der Frage, wie viel Arbeit eine externe vertikale Kraft verrichtet, um eine (schwerelose) Kugel in die Flüssigkeit zu schieben, sie gerade vollständig untergetaucht zu lassen und die kinetische Energie zu erhalten, die sie ursprünglich hatte. Unter dieser Einschränkung, die Menge an kinetischer Energie aufrechtzuerhalten, ist die Arbeit, die durch die Nettokraft geleistet wird, extern plus Auftrieb, notwendig$0$, sodass jeder Beitrag in der Größenordnung übereinstimmt.

Kommen wir zurück auf das Problem eines statischen untergetauchten Körpers, der aus der Flüssigkeit austritt, und versuchen wir, das Problem eines allgemeineren starren Körpers zu untersuchen. Nehmen wir an, die Dichte der Flüssigkeit ist$\rho_f$, und nehmen wir an, der Körper hat eine einheitliche Dichte$\rho_0$. Nehmen wir auch an, dass der Körper genügend Symmetrie um die vertikale Achse genießt, damit der Auftriebsschwerpunkt während der gesamten Ausstoßung des Körpers in derselben Vertikalen wie der Massenschwerpunkt liegt. Dies impliziert, dass der Auftrieb kein Drehmoment um den Massenmittelpunkt erzeugt. Wir nehmen diese vertikale Achse als die$y$Achse, um der Notation der Übung zu entsprechen, was sie auch zum Ursprung der macht$x$-$z$Ebene. Die horizontale Querschnittsfläche beschreibt dann vollständig die Form des Körpers und bestimmt die Lage des Masseschwerpunkts$Y_\textrm{CM}$.

Da der Körper beschleunigt, ist ein am Massenmittelpunkt befestigter Rahmen nicht träge. Wählen wir stattdessen die Oberfläche der Flüssigkeit, wo sich die Symmetrieachsen als Ursprung unseres Laborrahmens schneiden. Da der Körper zunächst untergetaucht ist, haben wir, dass die Position des Massenschwerpunkts ist$\mathbf{R_\mathrm{CM}}(t) = \left(0, Y_\textrm{CM}(t), 0\right)$mit$Y_\textrm{CM}(0) < 0$. Die Bewegungsgleichung lautet dann

Die Arbeit, die die Auftriebskraft vom Ausgangszustand bis zum Austritt des Körpers aus der Flüssigkeit verrichtet, beträgt dann

Sie tauchen den oberen Teil mit der gleichen Kraft wie den unteren Teil ein, so dass Ihr Ergebnis zwei Halbkugeln sind, die nebeneinander eingetaucht werden, natürlich ist Ihr Ergebnis die Hälfte. Für die obere Hälfte haben Sie die Kraft, um den unteren Teil unter Wasser zu halten + die Kraft für die neuen Scheiben.