"Aufwärts fallen" - wie weit muss man von der Erde entfernt sein, um auf den Mond zu fallen?

Question

"Aufwärts fallen" - wie weit muss man von der Erde entfernt sein, um auf den Mond zu fallen?

raffb3

Als sie mit meiner 9-jährigen über die Schwerkraft sprach, fragte sie, wann wir anfangen, zum Mond "nach oben zu fallen". In welcher Entfernung ist die Anziehungskraft des Mondes höher als die der Erde und lässt Sie daher auf ihn zu beschleunigen, und wie kommt man zu dieser Antwort?

Jold

Um das zu ergänzen, was die anderen sagen, sind etwa 300.000 km etwa 85 % oder 17/20 der Entfernung von der Erde zum Mond. Nur um diese große Zahl ins rechte Licht zu rücken :).

Muhende Ente

Oh mein Gott, die Antwort von Rob Jeffries wirft eine interessante Frage auf. Die Entfernung, in der die Anziehungskraft des Mondes größer ist als die der Erde, und die Entfernung, in der Sie auf den Mond zubeschleunigen, sind zwei völlig unterschiedliche Entfernungen . Es gibt einen Punkt, an dem die Anziehungskraft der Erde eine stärkere Schwerkraft hat, aber wenn Sie sich "in der Umlaufbahn" befinden, beschleunigen Sie aufgrund der Rotation trotzdem auf den Mond zu. Welche Nummer suchst du genau? HDE226868, maxpesa, user46147 und user64976 fanden gleiche Schwerkraft, Michael und RobJeffries fanden Beschleunigung.

ProfRob

@MooingDuck Genau; Die Frage fragt nach beiden, und eigentlich habe ich das gegeben.

raffb3

Ich glaube, ich habe nicht genug über die Frage nachgedacht oder wusste ich genug über das Thema der richtigen Benutzerbegriffe. Mir wurde klar, dass es nicht so einfach sein würde, wie ich es mir vorstellen konnte, aber ich hatte nicht alles berücksichtigt, was den "Fall zum Mond" beeinflussen könnte. Aber ich glaube, dass die Frage von einem 9-jährigen Standpunkt aus nur die Schwerkraft berücksichtigen und alle anderen Auswirkungen aufgrund der Umlaufbahn und so weiter völlig ignorieren würde.

Jorge Leitao

Nette Frage von einem 9-jährigen Kind.

Rick

Wow, ich bin beeindruckt von deinem 9-jährigen... Ich hoffe, er/sie stellt diese Fragen weiterhin.

Antworten (8)

"Aufwärts fallen" - wie weit muss man von der Erde entfernt sein, um auf den Mond zu fallen?

Um das zu ergänzen, was die anderen sagen, sind etwa 300.000 km etwa 85 % oder 17/20 der Entfernung von der Erde zum Mond. Nur um diese große Zahl ins rechte Licht zu rücken :).
Oh mein Gott, die Antwort von Rob Jeffries wirft eine interessante Frage auf. Die Entfernung, in der die Anziehungskraft des Mondes größer ist als die der Erde, und die Entfernung, in der Sie auf den Mond zubeschleunigen, sind zwei völlig unterschiedliche Entfernungen . Es gibt einen Punkt, an dem die Anziehungskraft der Erde eine stärkere Schwerkraft hat, aber wenn Sie sich "in der Umlaufbahn" befinden, beschleunigen Sie aufgrund der Rotation trotzdem auf den Mond zu. Welche Nummer suchst du genau? HDE226868, maxpesa, user46147 und user64976 fanden gleiche Schwerkraft, Michael und RobJeffries fanden Beschleunigung.
@MooingDuck Genau; Die Frage fragt nach beiden, und eigentlich habe ich das gegeben.
Ich glaube, ich habe nicht genug über die Frage nachgedacht oder wusste ich genug über das Thema der richtigen Benutzerbegriffe. Mir wurde klar, dass es nicht so einfach sein würde, wie ich es mir vorstellen konnte, aber ich hatte nicht alles berücksichtigt, was den "Fall zum Mond" beeinflussen könnte. Aber ich glaube, dass die Frage von einem 9-jährigen Standpunkt aus nur die Schwerkraft berücksichtigen und alle anderen Auswirkungen aufgrund der Umlaufbahn und so weiter völlig ignorieren würde.
Wow, ich bin beeindruckt von deinem 9-jährigen... Ich hoffe, er/sie stellt diese Fragen weiterhin.

ProfRob · Answer 1

Das Hauptdiagramm unten zeigt die potentielle Energie einer Masse im Erde-Mond-System unter der unrealistischen Annahme, dass das System nicht rotiert .

dh dies spiegelt (derzeit) alle bis auf eine der 4 gegebenen Antworten wider, indem angenommen wird, dass dieser Punkt definiert ist, wo die Gravitationskraft auf eine Masse aufgrund der Erde und des Mondes gleich und entgegengesetzt ist (dh an dem Punkt, an dem das Gesamtpotential Energie [rote Kurve] ist maximal, denn Kraft ist natürlich der Gradient des Potentials, und ich zeige dies als schwarze Linie).

Das ist falsch , weil es das durch die Orbitalbewegung verursachte Zentrifugalpotential vernachlässigt. Während die Einbeziehung dieses Potentials nur die dritte signifikante Zahl der Energiemenge ändert, die benötigt wird, um etwas zum Mond zu bringen, verschiebt es den Punkt, an dem ein mitrotierendes Objekt beginnt, auf den Mond zu fallen, erheblich näher an die Erde.

In der Darstellung habe ich die mittlere Erde-Mond-Entfernung von 384.000 km verwendet. Der Punkt P, an dem die Kraft (bei Vernachlässigung der Zentrifugalkraft) Null ist, liegt bei etwa 344.000 km .

Das Einbeziehen des Zentrifugalpotentials (siehe Diagramm unten: Kredit NASA) in den mitrotierenden Rahmen und das Berechnen des "L1-Punkts", an dem das Potential tatsächlich maximiert ist, wird hier beschrieben und beinhaltet das Lösen einer Quintenfunktion. Da die Mondmasse jedoch viel geringer ist als die Erdmasse, können wir die "Hügelkugel" -Näherung verwenden, durch die der L1-Punkt vom Mond getrennt ist $r= R (M_2/3M_1)^{1/3}$ , wo $R$ ist die Erde-Mond-Trennung und $M_2/M_1$ ist das Masseverhältnis Mond/Erde. Das Eingeben der Zahlen ergibt $R-r=$ 323.000 km , das ist also keine kleine Korrektur.

Beachten Sie jedoch, dass ein Körper, der den Punkt L1 passiert, der zuvor die Erde umkreiste, nicht einfach auf den Mond fallen kann. Es hat zu viel Drehimpuls. Der L1-Punkt markiert den Punkt, an dem er aufhört, die Erde zu umkreisen, und beginnt, den Mond zu umkreisen. In diesem Sinne "fällt" es auf den Mond zu.

Bearbeiten: Letzte Komplikationen sind, dass (i) der Abstand Erde-Mond nicht konstant ist und der L1-Punkt auch nicht. Tatsächlich ist es besser, die Lösung zu zitieren, dass das Gravitationskraftgleichgewicht bei 90% der Entfernung Erde-Mond erreicht wird, während die Entfernung, in der das Objekt auf den Mond fällt, etwa 84% der Entfernung Erde-Mond beträgt. (ii) Das Erde-Mond-System ist nicht isoliert und die Schwerkraft der Sonne spielt eine Rolle.

Ich stelle auch fest, dass dies Teil des Missionskonzepts für die SMART-1- Mission zum Mond war, bei der eine Umlaufbahn so entworfen wurde, dass der Satellit spiralförmig von der Erde nach außen zum Punkt L1 fuhr und dann vom Mond eingefangen wurde. Es "flog in freier Drift durch eine Position, die 310.000 km von der Erde und 90.000 km vom Mond entfernt war".

Erde-Mond-Potential unter Vernachlässigung des Zentrifugalpotentials

Einschließlich der Auswirkungen des Zentrifugalpotentials.

Darstellung des Erde-Mond-Potentials einschließlich Zentrifugalpotential (Credit:NASA)

Ich bin mir nicht sicher, was die Relevanz des letzten Bildes ist. Es sieht aus wie ein nicht maßstabsgetreues Erde-Sonne-Lagrange-Punktdiagramm, aber diese Frage betrifft das Erde-Mond-System.
@ user2357112 Schön, dass jemand aufpasst - ich habe gerade das falsche Diagramm eingefügt - jetzt behoben. Vielen Dank.

HDE226868 · Answer 2

Stellen Sie die Kräfte auf das Testteilchen von Erde und Mond gleich ein:

F_{E} = F_{M}

$F_E=F_M$

G \frac{M_{E} M_{Testpartikel}}{R_{E}^{2}} = G \frac{M_{M} M_{Testpartikel}}{R_{M}^{2}}

$G\frac{M_EM_{\text{ test particle}}}{R_E^2}=G\frac{M_MM_{\text{ test particle}}}{R_M^2}$ Das

G

$G$ s und

M_{test particle}

$M_{\text{ test particle}}$ s stornieren und lassen Sie mit

\frac{M_{E}}{R_{E}^{2}} = \frac{M_{M}}{R_{M}^{2}}

$\frac{M_E}{R_E^2}=\frac{M_M}{R_M^2}$ aber das weißt Du

R_{M}

$R_M$ , die Entfernung zwischen dem Testteilchen und dem Mond, ist die Entfernung zwischen der Erde und dem Mond minus der Entfernung zwischen dem Testteilchen und der Erde (

R_{E}

$R_E$ ). Wir vereinfachen und erhalten

\frac{M_{E}}{R_{E}^{2}} = \frac{M_{M}}{(D_{E \to M} - R_{E})^{2}}

$\frac{M_E}{R_E^2}=\frac{M_M}{(D_{E \to M}-R_E)^2}$ und dann

D_{E \to M}^{2} - 2 R_{E} \times D_{E \to M} + R_{E}^{2} = R_{E}^{2} \frac{M_{M}}{M_{E}}

$D_{E \to M}^2-2R_E \times D_{E \to M}+R_E^2=R_E^2\frac{M_M}{M_E}$ Dies vereinfacht zu

(1 - \frac{M_{M}}{M_{E}}) R_{E}^{2} - 2 R_{E} \times D_{E \to M} + D_{E \to M}^{2} = 0

$\left(1-\frac{M_M}{M_E} \right)R_E^2-2R_E \times D_{E \to M} + D_{E \to M}^2=0$ Sie können diese Gleichung lösen, um zu erhalten:

R_{E} = \frac{D_{E \to M}}{1 + \sqrt{\frac{M_{M}}{M_{E}}}}

$R_E=\frac{D_{E \to M}}{1+\sqrt{\frac{M_M}{M_E}}}$

$F_E$ ist die Kraft der Erde auf das Testteilchen.

$F_M$ ist die Kraft des Mondes auf das Testteilchen.

$M_E$ ist die Masse der Erde.

$M_M$ ist die Masse des Mondes.

$G$ ist die universelle Gravitationskonstante.

$M_{\text {test particle}}$ ist die Masse des Testteilchens.

$R_E$ ist die Entfernung vom Testteilchen zum Erdmittelpunkt.

$R_M$ ist die Entfernung vom Testteilchen zum Mittelpunkt des Mondes.

$D_{E \to M}$ ist die Entfernung zwischen der Erde und dem Mond.

Kommentare sind nicht für längere Diskussionen gedacht; diese Konversation wurde in den Chat verschoben .

David · Answer 3

Die Erde ist etwa 100x massiver als der Mond, und seitdem $F \propto M / r^2$ , müsste die Entfernung von der Erde zum Astronauten etwa betragen $\sqrt{100}$ = 10x weiter als vom Mond zum Astronauten. Daher fällt der Astronaut etwa 90% des Weges zum Mond "auf".

[Die früheren Antworten gehen viel detaillierter (und sind technisch genauer), aber es lohnt sich eine schnelle Annäherung, da nur wenige Neunjährige Lagrange-Punkte verstehen werden.]

Guter Beitrag und möglicherweise die 9-jährig-freundlichste Version hier (nicht dass meine jemals wirklich so gedacht war).
Ich werde @RobJeffries unterstützen. Es ist wahrscheinlich das einfachste hier und führt zu einem wirklich intuitiven Ergebnis.

Michael · Answer 4

Michael

Am Lagrange-Punkt L1 . Speziell für Erde-Mond L1 zeigen diese Berechnungen 326054 km.

Karl Witthöft

Das ist eher die Definition von L1 als eine Antwort auf die Frage.

Michael

@CarlWitthoft: 326054 km antwortet "In welcher Entfernung ist die Anziehungskraft des Mondes höher als die der Erde" und der 2. Link antwortet "wie man zu dieser Antwort kommt".

Adam D. Ruppe

Das bedeutet L1 überhaupt nicht, was diese Antwort falsch macht! Lagrange-Punkte sind keine Gravitationsaufhebungspunkte, sie sind ein Ort, an dem die kombinierte Kraft eine gleiche Umlaufzeit ergibt. An jedem Lagrange-Punkt muss eine Kraft ungleich Null zur Erde hin wirken, um als Zentripetalkraft für die Umlaufbahn zu wirken!

Markieren

L1 ist der Punkt, an dem die Nettogravitationskraft die Zentripetalkraft für ein Objekt ausgleicht , das den größeren Körper mit der Winkelgeschwindigkeit des kleineren Körpers umkreist . Bei einem nicht umlaufenden Körper liegt der Gleichgewichtspunkt etwas weiter außen.

ProfRob

@Markieren Sie eine bessere Denkweise, L1 ist der Punkt, an dem Sie einen mondsynchronen Satelliten haben würden. dh. Ein Körper hier umkreist die Erde mit der gleichen Periode, in der der Mond die Erde umkreist. Daher ist das richtige zu berücksichtigende Potential das Roche-Potential, und eine radiale Verschiebung zum Mond führt dazu, dass das Objekt "fällt".

Michael

@AdamD.Ruppe: Meine Lesart der Frage ist nicht "Schwerkraft-Aufhebungspunkt", sondern "Punkt, über den hinaus ein Körper auf den Mond fallen würde". L1 ist nicht stabil; ein Körper, der ihn passieren würde, wird auf den Mond fallen.

Benutzer46147 · Answer 5

Um dies selbst zu berechnen, müssen Sie wissen, dass die auf ein Objekt (z. B. Sie) ausgeübte Schwerkraft gleich ist $F=GMm/r^2$ , wo $G$ ist die Schwerkraft konstant, $M$ ist die Masse des großen Objekts ( $M_m$ für Mond, $M_e$ für Erde), $m$ ist die Masse eines kleinen Objekts. $r$ ist der Abstand vom Massenmittelpunkt.

Jetzt müssen Sie die Massen von Erde und Mond und die Entfernung zwischen ihnen kennen. Der Punkt, an dem Erde und Mond Sie mit der gleichen Kraft anziehen (nach dem Sie auf den Mond fallen), wird durch diese Gleichungen angegeben: $GM_m m/r^2_m=GM_e/r^2_e$ und $r_m+r_e=\text{Distance Between Moon And Earth}$

Beachten Sie, dass der Mond Sie nach diesem Punkt besser anzieht als die Erde, sodass Sie anfangen zu fallen.

In der ersten Gleichung können Sie einen von ersetzen $r$ ist mit $\text{Distance Between Moon And Earth}-\text{another R}$ Außerdem Schwerkraft konstant $G$ kann reduziert werden.

Alle benötigten Daten finden Sie auf Wikipedia

Beachten Sie, dass dies eine vereinfachte Lösung ist, die davon ausgeht, dass Sie direkt zum Mond aufsteigen. Mond und Erde befinden sich in ständiger Bewegung, daher müssen Sie im Falle von Raumschiffen einige bessere und komplexere Berechnungen durchführen.

maxpesa · Answer 6

Verwenden Sie einfach eine Gleichung, die von den beiden Kräften abweicht, die die Objekte ziehen (universelle Gravitation), um den Gleichgewichtspunkt zu erhalten, etwa (bereits vereinfacht): M/d^2 = m/(384000000 - d)^2

Wobei M die Masse der Erde, m die Masse des Mondes und d die Entfernung von der Erde ist. Wenn d größer als dieser Wert wird, fängst du an, in den Mond zu fallen

Ich bekomme einen Wert von ungefähr 3,4 10 ^ 8 Metern (aber ich benutze meinen Taschenrechner nicht, also rechne noch einmal, sorry!)

Benutzer64976 · Answer 7

Meine Distanz betrug 346 084 km. Hier sind die Mathematik, die ich verwendet habe:

( $E_m$ ) Masse der Erde = $5.9736\times10^{24}$ kg
( $M_m$ ) Mondmasse = $7.3477\times10^{22}$ kg
( $D_{em}$ ) durchschnittliche Entfernung Erde-Mond = 384 467 km
( $G$ ) Gravitationskonstante = $6.67384\times10^{-11}$
( $W$ ) mein Gewicht = 85kg
( $D_{fe}$ ) Entfernung von der Erde = ?

Die Anziehungskraft zwischen zwei Objekten errechnet sich aus

F = \frac{G M_{1} M_{2}}{d^{2}}

$F=\frac{G M_1 M_2}{d^2}$ Also die Anziehungskraft von der Erde ist

F_{e} = \frac{G E m W}{D_{f e}^{2}}

$F_e = \frac{G Em W}{D_{fe}^2}$ und die Anziehungskraft vom Mond ist

F_{m} = \frac{G M_{m} W}{(D_{e m} - D_{f e})^{2}}

$F_m = \frac{ G M_m W}{(D_{em}-D_{fe})^2}$

Ich habe ein Skript erstellt, das mit begann $D_{fe} = 1$ km, berechnet $F_e$ und $F_m$ , und wenn $F_e$ war höher als $F_m$ , $D_{fe}$ würde sich um 1km erhöhen und die Kräfte würden neu berechnet. Bei $D_{fe}$ = 346 084 km, $F_e$ ist 282 922,71 N und $F_m$ ist 282 923,03 N und das ist der Punkt, an dem die Anziehungskraft des Mondes stärker ist als die der Erde.

@RobJeffries: und dieses Ding beantwortet die falsche Frage: "Was ist der Punkt, an dem im Trägheitsbezugssystem die Schwerkraft des Mondes der Schwerkraft der Erde entspricht", eher die ursprüngliche Frage: "Was ist der Punkt, den man erreichen muss, um auf den Mond zu fallen?" . Die 4 ähnlichen Antworten berücksichtigen nicht, dass das Erde-Mond-System im Trägheitsreferenzrahmen nicht statisch ist, sodass der entsprechende Referenzrahmen, in dem das System statisch ist, um den Schwerpunkt Erde + Mond gedreht wird. Die richtige Antwort, die das im Lagrange-Punkt L1 ausmacht, wie in Ihren und meinen Antworten.
@Michael, um fair zu sein, das OP führt tatsächlich beide Fragen zusammen. Wo sind die Gravitationskräfte gleich und entgegengesetzt und wo fällt ein Objekt auf den Mond?

DBPhysik · Answer 8

So bin ich vorgegangen, um dieses Problem zu lösen:

Die Kraft auf das Objekt (Masse m) von der Erde (Masse Me) muss gleich der Kraft vom Mond (Masse Mm) sein.
Die Entfernung des Objekts von der Erde ist R, und wenn Rem die Entfernung zwischen Erde und Mond ist, dann ist die Entfernung vom Mond Rem-R

Newtonsches Gesetz: G.Me.m/R^2 = G.Mm.m/(Rem-R)^2 Auflösen nach R: R=Rem(Me-(sqrt(MeMm))/Me-Mm

Mit dieser Rechnung erhalte ich ein Ergebnis von 346.019 km (variiert je nach den Werten für Me, Mm und Rem).

"Aufwärts fallen" - wie weit muss man von der Erde entfernt sein, um auf den Mond zu fallen?

raffb3

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