Bahndrehimpuls von Elektronen

In einer QM-Klasse begannen wir zum Studium des Wasserstoffatoms mit der Definition des Hamilton-Operators H für ein zentrales Potential, dann erschien ein Bahndrehimpulsoperator als Teil von H , dann tauchten später sphärische Harmonische und Wahrscheinlichkeiten auf, Elektronen in einigen Regionen um den Kern herum zu finden. Wir haben nie gesagt, dass es ein Elektron gibt, das den Kern umkreist (wie wir es vermutlich in der klassischen Mechanik getan hätten) – das wäre Bohrs Modell. Im QM-Modell gibt es keine "Trajektorie" des Elektrons, daher bin ich mir nicht sicher, ob wir auf eine klassische Interpretation zurückgreifen und sagen könnten, dass das Elektron tatsächlich einen Bahndrehimpuls trägt, wie es ein Planet tut. Gibt es wirklich für das Elektron a R und ein P die wir beobachten können und mit denen wir rechnen könnten R × P ?

Es ist also die richtige Art, die Situation zu betrachten, dass es ein System gibt, das zufällig am besten mit einigen Observablen modelliert wird, die zufällig einer Drehimpulsalgebra folgen, aber nicht versuchen, diesen zu viel klassische Bedeutung beizumessen J 'S ( J 2 , J X , J j , J z , J + , J − )?

Antworten (1)

Der Drehimpuls ist derjenige, der bei Drehungen erhalten bleibt. Entsprechend sind die Drehimpulsoperatoren die Erzeuger von Rotationen. Dies gilt sowohl klassisch als auch quantentechnisch durch (Versionen von) Noethers Theorem.

Definition von "Winkelimpuls" als X → × P → klassisch zu zeigen und dann zu zeigen, dass es konserviert ist, macht es aus der Lagrange- und Hamilton-Perspektive falsch herum, und es ist die Hamilton- Perspektive, die der Ausgangspunkt für die kanonische Quantisierung ist. Sie sollten also wirklich damit beginnen, sich die Rotationsgeneratoren anzusehen S Ö ( 3 ) .

Trotzdem, sogar quantitativ, L = X × P , wie Sie durch Rechnen überprüfen können [ L ich , L J ] und dass dieser Operator auch die Kommutierungsbeziehungen von erfüllt S Ö ( 3 ) .

Das bedeutet nicht , dass es „einen gibt X und ein P " (im Sinne von Eigenwerten) für jeden Drehimpuls-Eigenzustand, aus dem wir den Drehimpuls berechnen könnten, weil die Operatoren X Und P pendeln nicht mit L , also können wir einen wohldefinierten Drehimpuls eines Zustands haben, ohne einen wohldefinierten Ort oder Impuls zu haben.

Das dachte ich mir also: Es gibt einen Operator L in QM mit etwas Algebra und etwas Erhaltungssatz, und wir haben einfach großes Glück, dass es sich herausstellt R × P , obwohl es eigentlich keine gibt R oder P für das Elektron.
Können wir sagen, dass der Drehimpuls irgendwie nur die Rotationsinvarianz des betrachteten Systems modelliert?
@Frank: Nein, wir haben kein "Glück", es ist ein eingebautes Feature! Die kanonische Quantisierung verwandelt die klassischen Poisson-Klammern in Kommutatoren, sodass die klassischen Generatoren einer beliebigen Gruppe auch auf die Quantengeneratoren derselben Gruppe abgebildet werden. Das einzige, was schief gehen kann, ist, dass das klassische Objekt in seiner quantisierten Form nicht hermitesch ist, aber es ist wirklich kein Glück, dass es quantisiert ist L sieht aus wie der Klassiker L . (Vormerkung: Es kann Quantenoperatoren geben, die nicht aus der kanonischen Quantisierung hervorgehen, z. B. Spin.)
Zeigt Ihr Vorbehalt nicht, dass wir in dem Sinne "Glück" haben, dass das genauere QM-Bild sehr wohl anders hätte sein können - ich meine, es gibt ein gewisses Maß an Willkür bei der Entscheidung, wie das kanonische Quantisierungsverfahren durchgeführt werden soll, und bereits zu drehen passt nicht :-) Wie wäre es, wenn wir die Geschichte anders erzählen: Es gibt Rotationssymmetrie, also gibt es eine Erhaltungsgröße, die wir " J ", das zusammen mit J + Und J − einer für Rotationssymmetrien typischen Algebra folgt? Von diesem Ausgangspunkt aus sollten wir in der Lage sein, die Symmetrie im Hamilton-Operator auszudrücken,
dann lösen, um sphärische Harmonische zu finden, mit einer bequemen Auswahl von Koordinaten, z R , θ , ϕ . Es ist nicht nötig, von einer klassischen Analogie auszugehen, bei der das Elektron ein a hätte J weil es den Kern umkreist? Das einzige, was mich an dieser Geschichte stört, ist, dass wir uns für eine entscheiden z Achse an einem Punkt, was die sphärische Symmetrie des Systems bricht.
@Frank: 1. Ich stimme zu, dass es im Prinzip besser ist, die Quantentheorie ohne Rückgriff auf die klassische Theorie zu behandeln. 2. Es gibt keine Willkür in der kanonischen Quantisierung, die kanonischen Kommutierungsbeziehungen fixieren eindeutig die quantisierte Theorie durch das Stone-von-Neumann-Theorem. Auch hier wird jedoch nicht jedes Quantensystem durch kanonische Quantisierung erhalten. 3. Wir "wählen" nur die z -Achse, um eine Möglichkeit zu haben, eine Basis für die Darstellungen mit festem Drehimpuls festzulegen. Es ist keine "physische" Wahl, Sie können jederzeit eine andere Achse wählen.
Bahndrehimpuls von Elektronen
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