Bei einem Raumfahrzeug, das einen Planeten umkreist, ist die Umlaufgeschwindigkeit umgekehrt proportional zum Umlaufradius. Aber die Geschwindigkeit muss erhöht werden, um den Umlaufradius zu vergrößern?

Die Gleichung, die Sie dort geschrieben haben, gilt nur für eine kreisförmige Umlaufbahn, aber die Umlaufbahn ist nicht kreisförmig, während das Raumschiff in eine höhere Umlaufbahn aufsteigt. Wenn das Raumschiff in Richtung der höheren Umlaufbahn steigt, verlangsamt sich seine anfänglich erhöhte Geschwindigkeit, da kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt wird.

Eine einfache Möglichkeit, den Übergang von einer Kreisbahn zu einer größeren zu berechnen: Beginnen Sie mit der Erhöhung der Geschwindigkeit. Die Umlaufbahn wird zu einer Ellipse. Wie Kirby betont, nimmt die Geschwindigkeit ab, wenn sich der Satellit entfernt. Erhöhen Sie auf der anderen Seite der Ellipse die Geschwindigkeit erneut, um den Satelliten in einen größeren Kreis zu bringen. (Berechnen Sie mit Energie- und Drehimpulserhaltung.)

Wenn Sie sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn mit Radius befinden$r_1$und sich auf eine höhere kreisförmige Umlaufbahn mit Radius bewegen möchten$r_2$, dann hast du recht; Ihre Geschwindigkeit in der$r_2$Umlaufbahn wird niedriger sein als die$r_1$Orbit. Irgendwann beim Übergang in die neue Umlaufbahn müssen Sie also an Geschwindigkeit verlieren.

Sie können sich jedoch nicht einfach auf magische Weise dorthin teleportieren$r_2$und dann bremsen. Und wenn Sie zuerst langsamer werden (bei$r_1$), werden Sie dann an Ihrer aktuellen Position zu langsam für eine kreisförmige Umlaufbahn fliegen, sodass Sie tiefer fallen und nicht steigen$r_2$(Die resultierende Flugbahn ist eine elliptische Umlaufbahn mit dem höchsten Punkt bei$r_1$). Also das einzige, was Sie tun können, um zu versuchen, dorthin zu gelangen$r_2$ist zu beschleunigen.

Wenn Sie von einer kreisförmigen Umlaufbahn aus beschleunigen$r_1$, Sie reisen dann schneller als die Kreisbahngeschwindigkeit bei$r_1$. Die Schwerkraft wird Ihre Flugbahn nicht "schnell genug" biegen können, um auf demselben Radius zu bleiben; Ihre neue Flugbahn wird Sie höher bringen. Das wollen wir. Wenn Sie den zu beschleunigenden Betrag genau berechnen, können Sie eine Ellipse gerade berühren$r_2$an seinem höchsten Punkt u$r_1$an seinem tiefsten Punkt, an gegenüberliegenden Enden der Ellipse.

Auf einer elliptischen Umlaufbahn ist Ihre Geschwindigkeit, anders als im Sonderfall einer kreisförmigen Umlaufbahn, nicht konstant; Die Schwerkraft beschleunigt Sie und verlangsamt Sie im Laufe einer Umlaufzeit. Eine andere Möglichkeit, dies zu betrachten, ist, dass Ihre Gesamtenergie konstant bleibt (wenn Sie Ihre Triebwerke nicht zünden, um die Geschwindigkeit zu ändern), aber Ihre potenzielle Gravitationsenergie ist höher, wenn Sie sich dem oberen Ende Ihrer Umlaufbahn nähern, sodass weniger von Ihrer Gesamtenergie übrig bleibt Energie, die durch kinetische Energie aufgenommen werden kann. Daher muss Ihre Umlaufgeschwindigkeit am oberen Ende der Ellipse niedriger sein als am unteren Ende.

Wenn Sie dabei sind$r_1$Sie reisen zu schnell für eine kreisförmige Umlaufbahn (deshalb steigen Sie auf$r_2$auf der anderen Seite der Umlaufbahn). Und wenn Sie dabei sind$r_2$Sie reisen zu langsam für eine kreisförmige Umlaufbahn (deshalb fallen Sie auf zurück$r_1$über die andere Seite der Umlaufbahn). Wenn Sie also warten, bis Sie genau am höchsten Punkt der Ellipse sind, können Sie dann beschleunigen, bis Sie die Kreisbahngeschwindigkeit erreichen$r_2$.

Also (durch diese einfache Reihe von Manövern) zünden Sie Ihre Triebwerke tatsächlich zweimal, um in eine kreisförmige Umlaufbahn überzugehen$r_2$, und beide Male schießt du, um schneller zu werden. Zwischen den beiden Anläufen rollst du jedoch auf einer elliptischen Bahn, auf der du allmählich an Geschwindigkeit verlierst; Sie verlieren so viel, dass selbst nach einer doppelten Geschwindigkeitserhöhung Ihre Geschwindigkeit immer noch niedriger ist als bei der ursprünglichen Reise in einer kreisförmigen Umlaufbahn$r_1$.

Sie sehen also, es gibt keinen Widerspruch zwischen höheren kreisförmigen Umlaufbahnen, die langsamer sind, und der Notwendigkeit, Ihre Flugbahn zu ändern, um eine höhere Umlaufbahn zu erreichen. Sie haben die Zwischenellipse vergessen, die die beiden Umlaufbahnen verbindet, wo Sie auch an Geschwindigkeit verlieren.

Bei einer kreisförmigen Umlaufbahn ist die Gesamtenergie (bei der Standardauswahl von$U \to 0$bei$\infty$) ist gegeben durch

Wie geht das, wenn man diese Energie zunächst in Form von kinetischer Energie über Booster zuführen muss? Sobald Sie dies getan haben und sich radial nach außen in Richtung des höheren Radius bewegen, verrichtet die Schwerkraft negative Arbeit, da sie der radialen Komponente Ihrer Bewegung entgegengesetzt wirkt, dh die von Ihnen hinzugefügte kinetische Energie wird in potenzielle Gravitationsenergie übersetzt .