Berechnen Sie Bahnänderungen nach der Beschleunigung

Was Sie im Grunde fragen, ist, wie Sie Anfangsbedingungen, Position und Geschwindigkeit in Orbitalelemente umwandeln können . In diesem Fall sind sowohl Position als auch Geschwindigkeit 2D-Vektoren mit einem Referenzrahmen, der im Zentrum des Himmelskörpers positioniert ist, mit Gravitationsparametern$\mu$, und die Orbitalelemente: "Länge des aufsteigenden Knotens" und "Neigung" müssen nicht definiert werden, da die Orbitalebene gleich der 2D-Ebene ist, die einzige Information, die Sie speichern müssen, ist, ob sie sich im Uhrzeigersinn dreht oder gegen den Uhrzeigersinn. Also für eine gegebene Bezugsrichtung$\Upsilon$, du musst wissen:

• Große Halbachse$a$
• Exzentrizität$e$
• Argument der Periapsis$\omega$(jetzt definiert als der Winkel zwischen$\Upsilon$und dem Positionsvektor an der Periapsis)
• Wahre Anomalie$\nu$zur Epoche (ein Bezugszeitpunkt)
• Richtung$\lambda$(-1 für im Uhrzeigersinn und 1 für gegen den Uhrzeigersinn)

Für Ihre Frage werde ich definieren$\Upsilon$als Positionsvektor an der Periapsis der Anfangsbahn (also$\omega=0$) und die Epoche als Moment der$\Delta v$wird angewandt. Die Position und Geschwindigkeit in Polarkoordinaten können aus den Bahnelementen unter Verwendung der folgenden Gleichungen ermittelt werden,

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu},$$

$$\theta = \lambda \nu + \omega,$$

$$v_{r} = \sqrt{\frac{\mu}{a(1-e^2)}}e\sin\nu,$$

$$v_{\theta} = \lambda\sqrt{\frac{\mu}{a(1-e^2)}}(1+e\cos\nu).$$

In Ihrem Fall müssten Sie einige Werte zu den Geschwindigkeitskomponenten hinzufügen, um die Position und Geschwindigkeit nach dem Anwenden von zu finden$\Delta v$.

Jetzt möchten Sie diese Werte wieder in Orbitalelemente umwandeln. Die große Halbachse kann anhand der spezifischen Orbitalenergie gefunden werden .

$$a = \frac{\mu r}{2\mu - (v_r^2 + v_\theta^2)r}.$$

Die Exzentrizität lässt sich anhand des spezifischen Relativdrehimpulses ermitteln .$h=|v_\theta| r=\sqrt{\mu a(1-e^2)}$,

$$e = \sqrt{1 - \frac{v_\theta^2 r^2}{\mu a}} = \sqrt{1 + \frac{v_\theta^2 r}{\mu} \left(\frac{(v_r^2 + v_\theta^2)r}{\mu} - 2\right)}.$$

Für die wahre Anomalie können Sie die Gleichung für verwenden$r$und die neuen Werte für$a$Und$e$,

$$\cos\nu = \frac{a(1-e^2)-r}{er},$$

Sie könnten den Arkuskosinus dieses Werts erhalten$\nu$, dieser kann jedoch nur einen Wert zwischen haben$0$Und$\pi$. Um die andere Hälfte der Umlaufbahn abzudecken, können Sie sich geschickt zunutze machen, dass Ihre Radialgeschwindigkeit nach dem Apoapsis-Durchgang nur negativ sein kann, also wenn Sie den Bereich von einschränken$\nu$Zu$-\pi\geq\nu\geq\pi$dann kann es geschrieben werden als

$$\nu = \frac{|v_r|}{v_r}\cos^{-1}\left(\frac{a(1-e^2)-r}{er}\right).$$

Die Richtung der Umlaufbahn findet man mit

$$\lambda = \frac{|v_\theta|}{v_\theta}.$$

Und zuletzt kann das Argument der Periapsis mit gefunden werden,

$$\omega = \theta - \lambda \nu.$$