Kinematik und Dynamik eines abstürzenden Satelliten

Ein Satellit in einer niedrigen, kreisförmigen Umlaufbahn um die Erde erfährt Widerstand (Reibung) und dringt langsam spiralförmig in die Erdatmosphäre ein. Dann dringt es in die Erdatmosphäre ein, heizt sich katastrophal auf und verbrennt.

Ich versuche die Kräfte zu verstehen, die auf den Satelliten einwirken und dieses Ergebnis sichern.

Satellit

Nehmen wir den Fall, dass die Widerstandskraft nur kurz wirkt. Die Intuition sagt uns, dass die Widerstandskraft F D verringert die Tangentialgeschwindigkeit v und die Zentripetalkraft F C (die Gravitationskraft) 'zieht' den Satelliten dann in eine niedrigere Umlaufbahn, dh mit kleinerem Radius R .

Aber es gibt eine Schlange im Gras: die Tangentialgeschwindigkeit v wird gegeben von:

(1) v = G M R

Kleinere Umlaufbahnen laufen also bekanntlich mit höheren Tangentialgeschwindigkeiten, nicht mit niedrigeren !

Oder nehmen Sie ein anderes Szenario, in dem ein Triebwerk auf den Satelliten kurzzeitig eine Kraft parallel und in die gleiche Richtung ausübt F C , wodurch der Satellit nach innen "gedrückt" wird. In Übereinstimmung mit ( 1 ) würden wir erwarten v erhöhen. Aber wo ist die Kraft, die diese tangentiale Beschleunigung verursacht?

Lässt sich aus der Energieeinsparung etwas lernen? Forderung T die Gesamtenergie des Systems, U seine potentielle Energie und K seine kinetische Energie:

T = U + K

Für eine stabile Kreisbahn:

T = − G M M R + 1 2 G M M R = − 1 2 G M M R

Angenommen, wir erledigen eine Menge Arbeit W auf dem Ausgangssystem T 0 :

T 0 + W = T 1

− 1 2 G M M R 0 + W = − 1 2 G M M R 1

W = 1 2 G M M R 0 − 1 2 G M M R 1

W = G M M 2 ( 1 R 0 − 1 R 1 )

R 0 > R 1 ⇒ W < 0

Was passt denn bei der Schleppkraft:

D W = F D . D S = F D D S cos ⁡ π = − F D D S

Aber es erhellt nicht viel.

Ich denke, aufgrund der Reibung wird die Umlaufbahn elliptisch:

Elliptische Umlaufbahn

Auf diese Weise die Anziehungskraft G M M R 2 kann in eine Normalkomponente und eine Tangentialkomponente zerlegt werden.

Aber es bleibt unklar, was die Dynamik (Kräfte) ist, die bewirkt, dass die Umlaufbahn von einer höheren, kreisförmigen Umlaufbahn zu einer niedrigeren, elliptischen Umlaufbahn übergeht?

Warte gespannt auf Erkenntnisse. Denke immer noch darüber nach!
Da die Umlaufbahn spiralförmig nach innen verläuft, ist die Geschwindigkeit nicht senkrecht zum Radiusvektor (die Umlaufbahn ist kein exakter Kreis), daher gibt es eine Schwerkraftkomponente ungleich Null, wenn auch klein, die parallel zur Geschwindigkeit ist und die Tangentialbeschleunigung liefert .

Antworten (3)

Dies beantwortet nur den „kurzen Impuls“-Teil der Frage. Wenn Sie mit einer kreisförmigen Umlaufbahn beginnen, haben wir einen Ausdruck für die Größe der Umlaufgeschwindigkeit:

v C = G M R

Wenden Sie dann einen kurzen Impuls auf den Satelliten an, so dass die Größe seiner Geschwindigkeit beträgt v ≠ v C ohne seine Richtung zu ändern, dann tritt es in eine Umlaufbahn ein, so dass seine Geschwindigkeit bei diesem Radius:

  • haben keine radiale Komponente;
  • betragsmäßig gleich sein v .

Es gibt immer eine solche Umlaufbahn, aber sie ist niemals kreisförmig. In dem Fall wo v ≤ v C dann ist die Umlaufbahn eine Art Ellipse mit ihrem Höhepunkt an der Stelle, an der der Impuls angelegt wurde. Wir können herausfinden, was die Ellipse ist, indem wir den Ausdruck für die Umlaufgeschwindigkeit einer elliptischen Umlaufbahn verwenden:

v = G M ( 2 R − 1 A )

Wo R ist der aktuelle Radius und A ist die große Halbachse. Beachten Sie, dass sich dies auf den Ausdruck für eine kreisförmige Umlaufbahn reduziert, wenn R = A Natürlich. Wenn wir dies neu anordnen, erhalten wir

A = ( 2 R − v 2 G M ) − 1

Das sagt uns A , und das bedeutet, dass wir sowohl die Apogäumsentfernung ( R ) und der Perigäumsabstand ( 2 A − R ), was ausreicht, um die Umlaufbahn zu charakterisieren.

Allgemeiner gesagt, wenn Sie einen Impuls so anwenden, dass sich die Geschwindigkeit auch in Richtung ändert, landen Sie in der Umlaufbahn, die diese Geschwindigkeit bei diesem Radius (oder, umständlicher, an dieser Position) hätte. Auch hier gibt es immer eine solche Umlaufbahn, aber die Lösung dafür ist schwieriger.

Danke! Aber ich verstehe dieses Bit nicht: "Dann tritt es in eine Umlaufbahn ein, so dass seine Geschwindigkeit bei diesem Radius keine radiale Komponente hätte . " So wie ich es sehe, hat keine stabile Umlaufbahn jemals eine radiale Komponente?
Gert! Ich erinnerte mich gerade an eine gute Beschreibung dieses Prozesses in einem Buch von J. Craig Venter über Novas, Supernovae und die Dynamik von Akkretionsscheiben, ich glaube, es hieß "kosmische Katastrophe" oder so ähnlich - hast du es?
@Gert Elliptische (und hyperbolische und parabolische) Umlaufbahnen haben radiale Geschwindigkeitskomponenten, außer am Apogäum und Perigäum. Aus diesem Grund wissen Sie, dass es unmittelbar nach dem Impuls am Apogäum sein muss (oder am Perigäum, wenn es verstärkt wurde).
Ich verstehe. Danke schön. Genehmigt.
@niels Hast du so ein Buch? Es scheint, dass J. Craig Venter nie ein solches Buch geschrieben hat. Zumindest wird es auf seiner Wiki-Seite nicht erwähnt.
AH! Ich habe den Namen falsch verstanden – Venter war Biochemiker – lassen Sie mich darauf zurückkommen – Niels
es ist J. Craig WHEELER! mein Fehler! -NN

Da die Schwerkraft eine Kraft ist und daher Energie verändern kann, ist es im Allgemeinen nicht sinnvoll, direkt über die Umlaufgeschwindigkeit nachzudenken. Die Geschwindigkeit verhält sich im Orbit anders als auf der Erdoberfläche. Ihre Intuition kann täuschen.

Ja, eine niedrigere Umlaufbahn hat eine größere Geschwindigkeit. Aber es hat eine kleinere Energie! Daher bringt Reibung, die Energie reduziert, ein Objekt in eine niedrigere Umlaufbahn.

Stellen Sie sich einen augenblicklichen Reibungsimpuls vor. Es verringert die Geschwindigkeit an diesem Punkt in der Umlaufbahn. Es ist jetzt zu niedrig für eine kreisförmige Umlaufbahn und beginnt daher, auf eine niedrigere Höhe zu „fallen“, wenn es sich um die Umlaufbahn dreht. Aber dadurch kann die Schwerkraft (die jetzt teilweise entlang des Geschwindigkeitsvektors wirkt) das Objekt beschleunigen. In seiner niedrigsten Höhe bewegt er sich jetzt zu schnell und beginnt aufzusteigen, um schließlich den ursprünglichen Punkt zu erreichen: Die Umlaufbahn ist jetzt eine Ellipse statt eines reinen Kreises.

Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit zunahm, die durchschnittliche Höhe abnahm und nach dem Reibungsenergieverlust die Gesamtenergie konstant blieb.

Aber es bleibt unklar, was die Dynamik (Kräfte) ist, die bewirkt, dass die Umlaufbahn von einer höheren, kreisförmigen Umlaufbahn zu einer niedrigeren, elliptischen Umlaufbahn übergeht?

Wenn die Geschwindigkeit zunächst mit der kreisförmigen Umlaufbahn übereinstimmt und wir plötzlich Reibungskraft einführen, ist diese neue Kraft die einzige Kraft, die auf den Satelliten wirkt. Diese verrichtete Arbeit ist negativ und senkt die Geschwindigkeit unter die für eine kreisförmige Umlaufbahn erforderliche, daher nähert sich der Satellit dem Zentrum (aufgrund der Anziehungskraft der Schwerkraft).

Aber wo ist die Kraft, die diese tangentiale Beschleunigung verursacht?

Wenn sich der Satellit in Richtung Zentrum bewegt, leistet die Schwerkraft positive Arbeit an ihm, wodurch seine kinetische Energie (und Geschwindigkeit) erhöht wird.

Nachdem der Abstand von der anfänglichen kreisförmigen Umlaufbahn abnimmt, hat die Nettokraft immer eine Komponente ungleich Null in der gleichen Richtung wie die Geschwindigkeit. Diese Komponente entsteht durch die Schwerkraft, die Reibungskraft hebt sie nur teilweise auf.

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