Geschwindigkeit des Satelliten, um auf die Erde zu stürzen

Ich habe heute diesen Beitrag gelesen und war sehr beeindruckt von der Resonanz, die gegeben wurde. Doch was müsste mit der Geschwindigkeit passieren, um mit der Erde zu kollidieren?

Geschwindigkeit der Satelliten größer als die erforderliche Geschwindigkeit

Ich dachte daran, eine Gleichung wie folgt aufzustellen. Wenn sich die Umlaufbahn von einer Kreisbahn in einiger Höhe ändert H mit Geschwindigkeit v , dann entsteht eine elliptische Umlaufbahn, wenn die Geschwindigkeit auf abnimmt λ v , für einige λ ∈ ( 0 , 1 ) .

Aus dem zuvor gemachten Beitrag wissen wir, dass die ursprüngliche Geschwindigkeit gegeben ist durch

v 0 2 = G M R E + H
und die neue Geschwindigkeit ist gegeben durch
λ 2 v N 2 = λ 2 ( G M ( 2 R E + H − 1 A ) ) .
Daher lösen
λ 2 v N 2 ≤ G M R E .
Sollte eine praktikable Einschränkung ergeben λ 2 .

Aber das gibt mir nicht, was ich will. Ein Satellit sollte auf die Erde stürzen, wenn er die Atmosphäre durchbricht, also wann H < R E + R A , Wo R A ist die atmosphärische Höhe.

Wie stelle ich das fest R A aus der allgemeinen Theorie?

Mir ist bewusst, dass die Fluchtgeschwindigkeit gegeben ist durch v E = G M R E + H .

Sie können die Dicke der Atmosphäre nicht aus der Theorie bestimmen - Sie müssen hingehen und nachsehen. Es ist auch eine unscharfe Grenze: Einige Umlaufbahnen stürzen einfach ab, aber wenn Sie nur den Rand der Atmosphäre streifen, kommen Sie wieder heraus, aber Ihre Umlaufbahn wird langsam zerfallen und Sie werden schließlich abstürzen, obwohl es viele Monate dauern kann.

Antworten (1)

Alles, was Sie tun müssen, ist die Perigäumsentfernung zu berechnen R P das ist die Entfernung der engsten Annäherung. Dann wenn R P < R A Ihr Satellit wird abstürzen und brennen.

Wir gehen wieder von der vis-viva-Gleichung aus:

(1) v 2 = G M ( 2 R − 1 A )

Der Parameter A ist die große Halbachse der Ellipse und hängt wie unten gezeigt mit den Perigäums- und Apogäumsradien zusammen:

Apogäum und Perigäum

Also haben wir:

2 A = R P + R A

was die vis-viva-Gleichung (1) umwandelt in:

v 2 = 2 G M ( 1 R − 1 R P + R A )

Am Höhepunkt R = R A Und v = v A und diese in unsere neue Gleichung einzusetzen ergibt:

v A 2 = 2 G M ( 1 R A − 1 R P + R A )

Und wir müssen dies nur umstellen, um die Gleichung für die Perigäumsentfernung zu erhalten:

(2) R P = R A 2 G M v A 2 R A − 1

Kommen wir nun zu Ihrer konkreten Frage. Wir nennen den Aufprallradius R , Wo R wäre mindestens der Radius der Erde, aber etwas größer, um die Atmosphäre zu berücksichtigen. Wir suchen also die Umlaufbahn mit Perigäumsabstand R P = R . Der Satellit startet in einer kreisförmigen Umlaufbahn mit einem Radius R 0 Die Umlaufgeschwindigkeit ist also :

v 0 = G M R

Und wir fragen, was passiert, wenn wir die Geschwindigkeit auf reduzieren λ v 0 . Alles, was wir tun müssen, ist Gleichung (2) zu nehmen und die neue Geschwindigkeit einzusetzen v = λ v 0 , der Apogäumsradius R A = R 0 und setzen Sie den Perigäumsradius auf den Kollisionsradius R P = R und wir bekommen:

R = R 0 2 G M λ v 0 2 R 0 − 1

Und beim Auswechseln v 0 = G M / R 0 dies vereinfacht zu:

R = R 0 2 λ − 1

Und Neuordnung für λ gibt:

(3) λ = 2 R R + R 0

Wenn Sie also Ihren anfänglichen Kreisbahnradius angeben R 0 Gleichung (3) sagt Ihnen den Wert von λ Sie müssen Ihren Satelliten zum Absturz bringen und brennen lassen.

Danke für die ausführliche Antwort, aber ich denke, das beantwortet meine Frage nicht ganz. Mir geht es eher um den Zustand der Geschwindigkeit. Angenommen, wir beginnen mit einer kreisförmigen Umlaufbahn in einer Höhe R E + H und eine Geschwindigkeit v . Eine Abnahme der Geschwindigkeit aus v Zu λ v wird eine elliptische Umlaufbahn induzieren. Vorausgesetzt R P = R E + H Und R A = R E , welche Geschwindigkeiten würden wir vergleichen, um zu sehen, wie stark sich die Geschwindigkeit ändern muss, damit der Satellit "abstürzt und brennt"?
@Jordan: Ich habe meine Antwort erweitert, um die Berechnung klarer zu machen
Danke, aber wenn Sie Ihre Berechnung durchsehen, sind Sie sicher, dass es das nicht ist
λ = 2 R E 2 R E + R 0 ?
@Jordanien: R ist der Radius, unterhalb dessen der Satellit zum Absturz und Verbrennen verurteilt ist. Wenn Sie die Atmosphäre dann ignorieren R = R E , sondern in der Praxis R ist etwas größer als R E weil Sie die Höhe der Amosphäre einbeziehen müssen. Es gibt keinen einfachen Weg, um genau herauszufinden, was der Wert von ist R liegt daran, dass der atmosphärische Widerstand auf nicht triviale Weise von der Größe und Form des Satelliten und seiner Geschwindigkeit abhängt.
@Jordan: Woher hast du diesen zweiten Faktor? 2 aus? Es ist offensichtlich falsch, denn wenn Sie festlegen R = R 0 die Gleichung muss geben λ = 1 . Ihre Gleichung würde geben λ = 2 / 3 .
Verzeihen Sie, ja, Sie haben Recht. Ich habe darüber nachgedacht, wie wir dies verwenden könnten, um die Aufprallgeschwindigkeit zu bestimmen. Ich erwarte, dass die Aufprallgeschwindigkeit gegeben wird durch
v C 2 = G M E ( 2 H + R E λ 2 ) ( R E + H ) R E .
Ich habe jedoch viele der Berechnungen durcheinander gebracht. Wie würden Sie die obigen Berechnungen verwenden, um die Aufprallgeschwindigkeit zu bestimmen?
@Jordan: Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Vis-Viva-Gleichung, mit der wir begonnen haben. Verwenden Sie alternativ einfach die Energieerhaltung, dh die Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der Abnahme der potentiellen Energie.
Die Geschwindigkeit des Satelliten, wenn er auf die Erde trifft, sollte nicht die Geschwindigkeit sein, die durch die Vis-Viva-Gleichung gegeben ist, oder?
@Jordan: Ja, warum nicht? Die Vis-Viva-Gleichung leitet sich im Wesentlichen aus der Energieerhaltung ab.
Dann sicher R A Und R P ändern, um dies zu berechnen?
@Jordan: Wenn Sie dies weiterverfolgen möchten, sollten wir im Chatroom fortfahren
Das klingt gut
Geschwindigkeit des Satelliten, um auf die Erde zu stürzen
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