Berechnung der Beschleunigung etc. eines Räderwerks mit mehreren angetriebenen Zahnrädern

Die gleichung$\alpha = \frac {\tau}{m\,r^2}$gilt nur für ein Punktobjekt oder so etwas wie einen Reifen, bei dem die gesamte Masse den gleichen Radius hat. Für so etwas wie ein Zahnrad, bei dem ein Teil der Masse näher am Drehpunkt liegt, müssen Sie die Masseelemente berücksichtigen, die sich in einem anderen Abstand befinden.

Sie würden es normalerweise durch ersetzen$\alpha = \frac{\tau}{I}$, Wo$I$ist das Trägheitsmoment der Scheibe. Da verschiedene Gänge unterschiedliche Trägheitsmomente haben können, können Sie das nicht ausfallen lassen$r^2$Begriff so einfach.

Sie können jedes Zahnrad, das ein anderes berührt, und jedes Zahnrad, das sich eine Welle teilt, als eine andere Gleichung betrachten, die alle gleichzeitig gelöst werden müssen. Wenn es keine Lösung gibt (außer für$\omega = 0$), dann können Sie die Zahnräder nicht drehen.

Wenn die Zahnräder kämmen, dann sind die linearen Geschwindigkeiten am Rand gleich und entgegengesetzt.$v_1 = -v_2$. Wenn sich die Zahnräder eine Welle teilen, ist die Winkeldrehung von jedem gleich.$\omega_1 = \omega_2$. Wenn Sie das für Ihr unmögliches Set einrichten, werden Sie feststellen, dass keine Rotation ungleich Null eine Lösung ist.

Ich denke, ich werde diese Frage selbst beantworten, weil ich denke, dass ich es herausgefunden habe, aber es fiel mir sehr schwer, Ressourcen für die Fragen zu finden, die ich hatte. Hoffentlich hilft dies jemandem, der ähnliche Arbeiten durchführt.

( Für diese Antwort werde ich dieses System als Beispiel verwenden . Ich werde auch die Tatsache ignorieren, dass Zahnräder das Vorzeichen wechseln, nur um die Gleichungen etwas klarer zu machen. )

Lemma 1: Alle Zahnräder in einem Zug haben die gleichen linearen Werte (lineare Geschwindigkeit/Beschleunigung, Kraft usw.), während alle Zahnräder, die sich eine Achse teilen, die gleichen Winkelwerte haben (Winkelgeschwindigkeit/Beschleunigung, Drehmoment usw.).

Das bedeutet, dass Sie zur Berechnung der Nettokraft eines Getriebezugs einfach die Drehmomente dividiert durch die Radien summieren, und zur Berechnung des Nettodrehmoments an einer Achse summieren Sie einfach die beitragenden Drehmomente und Kräfte von jedem Zahnrad multipliziert mit ihrem Radius.

$$F_{NetAB}=\frac{\tau_a}{r_a}+\frac{\tau_{bc}}{r_b}\\ \tau_{NetBC}=\tau_{bc}+F_{AB}\cdot r_b+F_{DC}\cdot r_c$$

Um die Summe für ein ganzes System zu erhalten, kombinieren Sie die beiden – multiplizieren Sie mit dem Radius, wenn Sie von einer Achse zu einem Zug wechseln, und dividieren Sie ihn, wenn Sie zurückwechseln. Beachten Sie, dass sowohl Drehmoment als auch Kraft davon abhängen, welchen Gang Sie als Referenz wählen, da wir sowohl Züge als auch Achsen betrachten (die Ergebnisse sind jedoch dieselben). Ich werde von jetzt an A verwenden.

$$F_{Net\ (A)}=\left(\left(\frac{\tau_g}{r_g}\right)r_e\frac{1}{r_d}+\frac{\tau_d}{r_d}\right)r_c\frac{1}{r_b}+\frac{\tau_{bc}}{r_b}+\frac{\tau_a}{r_a}$$

Um die Beschleunigung des Systems zu ermitteln, können Sie nicht einfach durch Masse dividieren, wie @BowlOfRed betonte, Sie müssen in Drehmoment umwandeln und dann durch das Gesamtträgheitsmoment dividieren.

$$a_A=\frac{\tau_{Net}}{I_{Net}}\cdot r_a=\frac{F_{Net}\cdot r_a^2}{I_{Net}}$$

Dies mag zunächst wie ein Problem erscheinen, da wir mit multiplizieren$r_a^2$und dann Teilen durch eine Konstante, was bedeutet, dass zwei Zahnräder mit unterschiedlichen Radien im selben Zug mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten (linear) beschleunigen. (Das hat mich lange verblüfft, und obwohl ich nicht wusste, welche Auswirkungen es hatte, war es einer der Gründe, warum ich die Frage überhaupt gestellt habe.) Aber wie sich herausstellt,$I$ist nicht für jedes Mitglied eines Räderwerks konstant. Schaut man sich die Formel genauer an:

$$I_{Net}=I_a + \left(\frac{r_a}{r_b}\right)^2\left(I_b+I_c+\left(\frac{r_c}{r_d}\right)^2\left(I_d+I_e+\left(\frac{r_e}{r_g}\right)^2\left(I_g\right)\right)\right)$$ (Quelle)

Nicht nur$I$Änderung basierend auf dem Referenzgang, aber es ist tatsächlich proportional zum Fehlen$r_a^2$! Die beiden obigen Faktoren heben sich auf, die lineare Beschleunigung bleibt konstant und die obige Beschleunigungsformel ist korrekt. Wenn du die Beschleunigung des Referenzzahnrads herausgefunden hast, kannst du sie mit einfachen Verhältnissen und Lemma 1 für alle anderen Zahnräder bestimmen.